1、2017 中考数学专题训练 (三)一次函数和反比例函数结合纵观近 5 年中考试题， 一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容函数和一次函数解析式及解决相关问题类型 1利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式侧重考查用待定系数确定反比例【例1】如图，一次函数y kx b(k0)的图象与x 轴， y 轴分别交于A(1， 0)，B(0， 1)两点，且与反比例函m数 y x (m 0)的图象在第一象限交于C 点，C点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求 C 点坐标及反比例函数的解析式【解析】 (1) 将点 A(1，0)，B(0， 1)代入 y kx b 即可 (2) 将 C 点的
2、横坐标代入公式y kx b 即可求出纵坐m标，再代入y中即可【学生解答】解：(1)由题意得k b0，k 1，y x 1； (2) 当 x2 时， y 2解得一次函数的解析式为b 1.b 1，mm，解得 m 2.所以反比例函数的1 1，所以 C 点坐标为 (2，1)；又 C 点在反比例函数y x (m0)的图象上， 122解析式为 y.x针对练习k1 (2016 重庆中考 )在平面直角坐标系中，一次函数y axb( a 0)的图形与反比例函数y x(k 0)的图象交于第二、四象限内的A， B 两点，与y 轴交于 C 点，过点A 作 AH y 轴，垂足为H ， OH 3， tanAOH 43，点
3、B的坐标为 (m， 2)(1)求 AHO 的周长；(2)求该反比例函数和一次函数的解析式解： (1) 由OH 3，tan AOH 4，得3AH 4.即A( 4， 3)由勾股定理，得AOOH 2 AH 2 5， AHO的周长AO AHOH 34 5 12；(2) 将A 点坐标代入ykx(k 0)，得k 43 12，反比例函数的解析式为 12 12 4ab 3，y x ；当 y 2 时， 2 x，解得 x 6，即 B(6， 2)将 A，B 两点坐标代入y axb，得6a b 2，1，解得 a 2 一次函数的解析式为y1x 1.b 1，2k12 (2016 乐山中考 )如图，反比例函数y x与一次函
4、数 y ax b 的图象交于点A(2，2)， B2，n .(1)求这两个函数解析式；k(2)将一次函数 y ax b 的图象沿 y 轴向下平移 m 个单位长度， 使平移后的图象与反比例函数y x的图象有且只有一个交点，求m 的值解：(1) A(2，2)在反比例函数 y k的图象上， k 4.反比例函数的解析式为y4.又点 B1， n 在反比例xx2函数 y 4的图象上， 11， 8 .由 A(2， 2)，B1， 8在一次函数 y ax b 的图x2n 4，解得 n8，即点 B 的坐标为 222 2a b，a 4，象上，得1解得一次函数的解析式为 y 4x 10； (2) 将直线 y 4x 10
5、向下平移 m 个8 2a b，b 10，单位长度得直线的解析式为y 4x 10 m，直线 y 4x10 m 与双曲线 y4有且只有一个交点，令 4xx 10 m 4x，得 4x2 (m10) x4 0， (m 10)2 64 0，解得 m2 或 18.类型 2 与面积有关的问题【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线y mx 与双曲线 y n相交于 A( 1， a)， B 两点， BC x 轴，垂足 x为 C， AOC 的面积是 1.(1) 求 m， n 的值；(2)求直线 AC 的解析式【解析】 (1) 因为 A(1， a)，所以 B 的横坐标为 1，即 C(1， 0)再由 S AOC 1，
6、得 A( 1， 2)，再代入 y mx 与 y nx即可 (2) 将 A、 C 坐标代入即可【学生解答】解：(1) 直线y mx 与双曲线yn相交于xA( 1， a)， B 两点，B 点横坐标为1，即C(1， 0)， AOC 的面积为1， A(1，2)，将A( 1，2)代入ymx，y nx可得m 2，n 2；(2)设直线AC的解析式 k b 2，为 y kx b，由题意得解得 k 1， b 1，直线AC 的解析式为y x 1.k b0.针对练习m13(2016 宜宾中考 )如图，一次函数 y kx b 的图象与反比例函数y x (x0) 的图象交于 A(2，1) ，B2， n 两点，直线 y2
7、 与 y 轴交于点 C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求 ABC 的面积解： (1)把 A(2， 1)代入反比例解析式得： 1 m，即 m 2，反比例解析式为y 2，把 B1，n 代入2x2n 4，即 B 1， 42k b 1，k 2，反比例解析式得：.把 A 与 B 的坐标代入 y kx b 中得：1解得则一次22k b 4，b 5.函数的解析式为y 2x 5； (2) 设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则点 E 的坐标为 (0， 5)，点 C 的坐标为 (0 ，2)， CE 2 ( 5) 7，点 A 到 y 轴的距离为2，点 B 到 y 轴的距离为1， SABC SACES
8、111 77BCE 72 722224 214 .m的图象相交于A、B 两点，一次函数的图4(2016 泸州中考 )如图，一次函数y kx b(k0) 的图象交于点B，过点B作 BC x 轴于点C，且C 点的坐标为(1，0)(1)求反比例函数的解析式；k(2)点D (a，1)是反比例函数y x(x0)图象上的点， 在x 轴上是否存在点P，使得PB PD最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解： (1) BC x 轴于点 C，且 C 点的坐标为 (1， 0)，在直线y 2x3 中，当 x 1 时， y2 3 5，点 B的坐标为 (1，5)，又点 B(1，5)在反比例函数y k上，
9、 k 155，反比例函数的解析式为y5；(2)将点 D (a，xx5，得：a 5，点 D 坐标为 (5，1)，设点 D (5，1)关于 x 轴的对称点为D(5， 1)，过点 B(1，5)、点 D (5，1)代入 y xk b5，k3，313 1) 的直线解析式为：2直线 BD 的解析式为：y，根y kx b，可得：解得13x25k b 1，b，22据题意知， 直线 BD 与 x 轴的交点即为所求点 P，当 y 0时，得 3x 13 0，解得：x13，故点 P 的坐标为13， 0.22336.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8， 1)， B(0， 3)，反比例函数ky x(x0) 的图象经过
10、点A，动直线x t(0t0， x0) 交于点 A，将直线14 个单位长度后与y 轴y x 与双曲线yy x 向上平移2x2交于点 C，与双曲线 y k(k0， x0) 交于点 B，若 OA 3BC，求 k 的值x【解析】分别过点A、B 作 AD x 轴， BE x 轴， CF BE 于点 F，设 A(3x，3x) ，可得 B( x，1x 4)22【学生解答】解：将直线y 1x 向上平移 4 个单位长度后，与y 轴交于点 C，平移后直线的解析式为y1223x4，分别过点A，B 作 AD x 轴， BE x 轴， CF BE 于点 F，设 A 3x， 2x ， OA 3BC，BC OA，CF x
11、轴，111x 4，点 A，B 在双曲线k31，CFOD，又点 B 在直线 yx 4 上， B x，y(x0) 上， 3x x x x 4322x223 9解得 x 1(x 0 直接舍去 )， k 3121 2.针对练习4k47如图，已知函数y 3x 与反比例函数yx(x0) 的图象交于点A，将 y 3x 的图象向下平移6 个单位长度后k与双曲线y 交于点 B，与 x 轴交于点 C.(1)求点 C 的坐标；OA(2)若 CB 2，求反比例函数的解析式9， 0OAAEOE解：(1)点 C 坐标为 2；(2) 作 AE x 轴于 E 点，BF x 轴于 F 点，Rt OAE Rt CBF ， CB
12、BFCF4412912，设 A 点坐标为a，3a，则 OE a， AE 3a， CF 2a， BF3a ， OF OC CF 22a， B 点坐标为912k4912 a， a ，点 A 与点B 都在 y的图象上， aa ( a) a， a 3，点 A 的坐标为 (3， 4)，把 A(3，223x3223k中，得 k 34 12.反比例函数的解析式为y 124)代入 y xx .k相交于 A， B 两点，点 A 的坐标为 (1， 2)8如图，直线 ymx 与双曲线 yx(1)求反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出当 mxk时， x 的取值范围；x(3)计算线段AB 的长解： (1)把 A(1，2)代入 yk，得 k 2.即反比例函数的解析式是y 2； (2)把 A(1， 2)代入 y mx，得 m 2.即直xxy 2x.解方程组2，得点 B 的坐标是 ( 1， 2)当 mxk时， x 的取值范围是 1 x1 ；线的解析式是y xy 2x，x(3) 过点 A 作 AC x 轴于点 C. A(1，2)， AC 2，OC 1.由勾股定理，得AO 22 12 5.同理求出 OB 5， AB2 5.
