1、 13.3 函数的极限知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x时，f（x）a.（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当xx0时，f（x）a.（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f
2、（x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.2.极限的四则运算法则：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）g（x）=ab; f（x）g（x）=ab; =（b0）.特别提示（1）上述法则对x的情况仍成立；（2）Cf（x）=Cf（x）（C为常数）;（3）f（x）n=f（x）n（nN *）.点击双基1.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C2.f（x）=下列结论正确的是A.=f（x）B.=2，不存在C.f （x）=0, 不存在D.f （x）f （x）答案:D
3、3.函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A4.（2005年西城区抽样测试） =_.解析: =3.答案:35.若=2,则a=_.解析: =2,=2.a=4.答案:4典例剖析【例1】求下列各极限：（1） （；（2）（x）；（3） ；（4） 剖析:若f （x）在x0处连续，则应有f （x）=f （x0）,故求f （x）在连续点x0处的极限时，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0处不连续，可通过变形，消去xx0因式，转化成可直接求f（x0）的式子.解:（1）原式=.（2）原式=a+b.（3）因为=1,而
4、=1，,所以不存在（4）原式=（cos+sin）.思考讨论 数列极限与函数极限的区别与联系是什么？【例2】 （1）设f（x）=;（2）f （x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式.解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,当且仅当b=2时, f （x）= f （x）,故b=2时,原极限存在.（2）由于f（x）是多项式,且=1,可设f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）.又=5,即（4x2+x+a+）=5,a=5,b=0,即f （x）=4x3+x2+5x.评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.（2）初等函数在其定义域内每
5、点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f （x）= x （0x+）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x）的解析式，再判断连续性.解:当0x1时，f （x）= x=x;当x1时，f （x）= x=x=x;当x=1时，f （x）=0.f （x）=f（x）=（x）=1,f（x）= x=1,f（x）不存在.f （x）在x=1处不连续，f （x）在定义域内的其余点都连续.图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.闯关训练夯实基础1.已知函数f （x）是偶函数,且f （
6、x）=a,则下列结论一定正确的是A. f (x)=a B. f （x）=aC. f (x)=|a| D. f（x）=|a|解析：f （x）是偶函数,f （x）=f（x）.又f （x）=a,f（x）=a,f （x）=f （x）,f（x）= f （x）=a.答案：B2.（2004年全国，理2）等于A. B.1 C. D.解析:=.答案:A3.已知函数y=f （x）在点x=x0处存在极限,且f （x）=a22,f （x）=2a+1,则函数y=f （x）在点x=x0处的极限是_.解析:y=f（x）在x=x0处存在极限,f（x）=f（x）,即a22=2a+1.a=1或a=3.f （x）=2a+1=1或7
7、.答案:1或74.若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=_.解析:f（x）在点x=0处连续，f （0）=f （x）,f （x）= = =.答案:5.已知函数f （x）=，试求:（1）f （x）的定义域，并画出图象；（2）求f （x）、f （x）,并指出f （x）是否存在.解:（1）当|x|2时，=1;当|x|2时，=1;当x=2时，=0;当x=2时，不存在.f （x）=f （x）的定义域为x|x2或x=2或x2.如下图:（2）f （x）=1,f （x）=1.f （x）不存在.6.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f （x）=0,f （x）=3,求出这一函数最大值.解:f
8、 （x）=ax2+bx+c是一偶函数,f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）max=f（0）=1.f （x）的最大值为1.培养能力7.在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求.解：设所在圆圆心为O,则C、D、O都在AB的中垂线上,AOD=BOD=.设OA=r.SABC=S四边形AOBCSAOB=r2sinr2sinx=r2sin（1cos）,SABD=S
9、四边形AOBDSAOB=r2tanr2sinx=r2.=.8.当a0时,求.解:原式= =探究创新9.设f（x）是x的三次多项式，已知=1.试求的值（a为非零常数）.解:由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）与（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.这里A、C均为待定的常数.由=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4
10、a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=a（a）=.思悟小结1. f（x）=Af（x）= f（x）=A,f（x）=Af（x）=f（x）=A.2.函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数f（x）在x=x0处及其附近有定义；（2）f（x）存在；（3） f（x）=f（x0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.教师下载中心教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于与的区别.拓展题例【例1】 设f（x）=问k为何值时，有f（x）存在？解: f（x）=2k, f（x）=1,要使f（x）存在，应有2k=1.k=.【例2】 a为常数，若（ax）=0,求a的值.解:（ax）= =0,1a2=0.a=1.但a=1时，分母0,a=1.
