1、一、光速解题学会10种快速解题技法技法1特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证的演算过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的效果.典例1(特殊数值)设f(x)=log24(x-1),x2,12x+1,x3,则x0的取值范围为() A.(-,0)(2,+)B.(0,2)C.(-,-1)(3,+)D.(-1,3)答案C解析取x0=1,则f(1)=12+1=323,故x01
2、,排除B、D;取x0=3,则f(3)=log28=3,故x03,排除A.故选C.对点练1-1已知函数f(x)在定义域-2,2上单调递增,若f(log2m)f(log4(m+2)成立,则实数m的取值范围是()A.14,2B.14,2C.(2,4D.2,4答案A取m=2,则f(1)f(1),矛盾,排除B,D,取m=1,则f(0)f(log43),符合题意,排除C.故选A.典例2(特殊点)如图,点P为椭圆x225+y29=1上的第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PM
3、CN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1S2=()A.1B.2 C.12D.13答案A解析不妨取点P4,95,则S1=3-95(5-4)=65,PD=2,PE=65,所以S2=12265=65,所以S1S2=1.对点练2-1函数y=sin x-1x的图象大致是()答案B设f(x)=sin x-1x.易知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=sin(-x)-1-x=-sin x+1x=-f(x),f(x)是奇函数,排除D.f4=sin4-14=22-40,故排除C.故选B.典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个x1都存在唯一的x2D,使f(x1)f(x2)=1
4、成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:“影子函数”f(x)的值域可以是R;“影子函数”f(x)可以是奇函数;若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是“影子函数”.上述正确命题的序号是()A.B.C.D.答案B解析对于:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)f(x2)=1,所以错.对于:函数f(x)=x(x0),对任意的x1(-,0)(0,+),取x2=1x1,则f(x1)f(x2)=1,又因为函数f(x)=x(x0)为奇函数,所以“影子函数”f(x)可以是奇函数,正确.对于:函数f(x)
5、=x(x0),g(x)=1x(x0)都是“影子函数”,但F(x)=f(x)g(x)=1(x0)不是“影子函数”(因为对任意的x1(0,+),存在无数多个x2(0,+),使得F(x1)F(x2)=1),所以错.综上,应选B.对点练3-1若函数f(x)(xR)是奇函数,函数g(x)(xR)是偶函数,则()A.函数f(x)-g(x)是奇函数 B.函数f(x)g(x)是奇函数C.函数f(g(x)是奇函数 D.g(f(x)是奇函数答案B令f(x)=x,g(x)=x2,对于A,f(x)-g(x)=x-x2,为非奇非偶函数,不正确.对于B,f(x)g(x)=xx2=x3,为奇函数,正确.对于C,f(g(x)
6、=x2,为偶函数,不正确.对于D,g(f(x)=x2,为偶函数,不正确.故选B.典例4(特殊位置)已知E为ABC的重心,AD为BC边上的中线,令AB=a,AC=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则1m+1n=()A.3B.4C.5D.13答案A解析由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.如图,令PQBC,则AP=23AB,AQ=23AC,此时,m=n=23,故1m+1n=3.故选A.对点练4-1如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分
7、,则上、下两部分的体积之比为()A.31 B.21C.41 D.31答案B将P,Q置于特殊位置:PA1,QB,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有VC-AA1B=VA1-ABC=VABC-A1B1C13.因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成了体积比为21的上、下两部分. 典例5(特殊图形)(2018石家庄模拟)在平行四边形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AMNM=()A.20B.15C.36D.6答案C解析不妨设DAB为直角,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则M(12,6),N(8,8),所以AM=
8、(12,6),NM=(4,-2),所以AMNM=124+6(-2)=36,故选C.对点练5-1在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC=()A.35 B.45 C.34D.43答案B不妨令ABC为等边三角形,则cos A=cos C=12,cosA+cosC1+cosAcosC=45.故选B.技法2换元法换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推证.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题
9、移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典例1(三角换元)已知x,yR,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.答案4,12解析已知x2+2xy+4y2=6,即(x+y)2+(3y)2=(6)2,故设x+y=6cos ,3y=6sin ,即x=6cos -2sin ,y=2sin .则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(6cos -2sin )2sin =8-4sin2+6.所以8-4z8+4,即z的取值范围为4,12.对点练1-1在曲线C:x23+y24=1上求一点P,使点P到直
10、线l:2x-y-6=0的距离最大,并求出此最大值.解析设P(3cos ,2sin ),则点P到直线l的距离d=|23cos-2sin-6|5=|4sin(60-)-6|5,当sin(60-)=-1时,dmax=|4+6|5=25,此时点P-32,1典例2(整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x0,的最小值是.答案-1解析设t=sin x-cos x=2sinx-4,则sin xcos x=1-t22,因为x0,所以x-4-4,34,所以t-1,2,所以y=t+1-t22=-12(t-1)2+1,当t=-1时,ymin=-1.对点练2-1已知f(1-cos x)=si
11、n2x,则f(x2)的解析式为.答案-x4+2x2,x-2,2解析f(1-cos x)=sin2x=1-cos2x.令1-cos x=t,t0,2,则cos x=1-t,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t0,2,则f(x2)=-x4+2x2,x-2,2.技法3数形结合法数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.典例
12、1(函数的数值)用mina,b,c表示a,b,c三个数中最小的数,设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为()A.4B.5 C.6D.7答案C解析在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知f(x)=2x(0x2),x+2(2x4),10-x(x4),f(x)的最大值在x=4时取得,为6.对点练1-1函数y=4-2x+x的值域为.答案2,6解析由题意,得4-2x0,x0,解得0x2.设m=4-2x,n=x,则f(x)=m+n,m2+2n2=4(0m2,0n2)表示椭圆m24+n22=1在第一象限的部分,如图所示.设t=m
13、+n,由图可知,当直线n=-m+t过点(0,2)时,t取得最小值,即tmin=2.当直线n=-m+t与椭圆相切于第一象限时,t取得最大值.将n=-m+t代入椭圆方程,得m2+2(t-m)2=4,即3m2-4tm+2t2-4=0.由=16t2-12(2t2-4)=0,解得t=6或t=-6(舍去),所以tmax=6,所以函数f(x)的值域为2,6.典例2(方程的根)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)=log2(x+1),x0,1),12x2-3x+72,x1,+),则关于x的方程f(x)+a=0(0a1)的所有根之和为()A.1-12aB.12a-1C.1-2aD.2a-1答案C解析
14、在平面直角坐标系中作出函数f(x)=log2(x+1),x0,1),12x2-3x+72,x1,+)以及y=-a的图象,由图可知,关于x的方程f(x)+a=0(0a0(aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(0,1B.1,+)C.(0,1)D.(-,1答案A画出函数f(x)的大致图象如图所示,因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-,0和(0,+)上各有一个零点.当x0时,f(x)有一个零点,需1-a0,即a1;当x0时,f(x)有一个零点,需-a0.综上,0a1.故选A.典例3(不等式问题)当0x12时,4xlogax,则a的取值范围是() A.0,
15、22B.22,1C.(1,2)D.(2,2)答案B解析易知0a412,解得a22,22a1,故选B.对点练3-1已知函数f(x)=x2+1,x0,1,xf(2x)的x的取值范围是()A.(0,2-1)B.(-1,2+1)C.(0,2+1)D.(-1,2-1)答案D作出函数f(x)=x2+1,x0,1,xf(2x)等价于1-x20,1-x22x,解得-1x0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为() A.94B.9或1C.10D.18或10答案B在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,FG=8,故AF=2,则xM=OF+FG=9,M的横坐标为9.在图(2)中,G
16、F=8,AF=10+8=18,OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1.故选B.典例5(平面向量的最值范围)设a,b,c是单位向量,且ab=0,则(a-c)(b-c)的最小值为()A.-2B.2-2C.-1D.1-2答案D解析由于(a-c)(b-c)=-(a+b)c+1,因此求(a-c)(b-c)的最小值等价于求(a+b)c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于ab=0,故ab,如图所示,|a+b|=2,|c|=1,当=0时,(a+b)c取得最大值2,故所求的最小值为1-2.对点练5-1已知ABC的三个顶点的坐标满足如下条件:向量OB=(2,0),OC=(2,
17、2),CA=(2cos ,2sin ),则AOB的范围为.答案12,512解析由|CA|=(2cos)2+(2sin)2=2可知,点A的轨迹是以C(2,2)为圆心,2为半径的圆,过原点O作此圆的切线,切点分别为M,N,如图所示,连接CM,CN,则向量OA与OB的夹角的范围是MOBNOB.由图可知COB=4,因为|OC|=22,由|CM|=|CN|=12|OC|知COM=CON=6,所以BOM=4-6=12,BON=4+6=512,所以12512,故AOB的范围为12,512.技法4待定系数法待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解方程(组)问题来解决.待定系
18、数法主要用来解决所求解的数学问题涉及某种确定的数学表达式的情况,例如数列求和、求函数解析式、求曲线的方程等问题.典例1(求曲线方程)(2018贵阳摸底)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为8,则OAB外接圆的标准方程是() A.(x-2)2+(y-2)2=8B.(x-1)2+(y-2)2=8C.(x+2)2+(y-2)2=8D.(x-1)2+(y+2)2=8答案A解析设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),由直线l过点M(2,2),得2a+2b=1.又SOAB=12ab=8,所以a=4,b=4,不妨设A(4,0),B(0,4),设O
19、AB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则将O,A,B的坐标分别代入得F=0,16+4D+F=0,16+4E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-4,所以OAB外接圆的方程为x2+y2-4x-4y=0,化成标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8.对点练1-1过点A(3,-2)且与椭圆x29+y24=1有相同焦点的椭圆方程为()A.x215+y210=1B.x225+y220=1C.x210+y215=1D.x220+y215=1答案A解法一:设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a2-b2=c2=5,且9a2+4b2=1,解方程组a2-b2=5,9a2+4b2=1,得
20、a2=15,b2=10,故所求椭圆方程为x215+y210=1.解法二:椭圆x29+y24=1的焦点坐标为(5,0),设所求椭圆方程为x2+5+y2=1(0),代入点A(3,-2)得9+5+4=1(0),解得=10或=-2(舍),故所求椭圆方程为x215+y210=1.典例2(求函数的解析式)如图,修建的一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=12x3-12x2-xB.y=12x3+12x2-3xC.y=14x3-xD.y=14x3+12x2-2x答案A解析解法一:设三次函数的解析式为y=ax3+bx2+c
21、x+d(a0),则y=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是曲线y=ax3+bx2+cx+d(a0)在点(0,0)处的切线,则y|x=0=-1c=-1,排除选项B、D.又y=3x-6是该曲线在点(2,0)处的切线,则y|x=2=312a+4b+c=312a+4b-1=33a+b=1.只有A选项中的函数符合,故选A.解法二:设所求函数解析式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f (x)=3ax2+2bx+c(a0),由题意知f(0)=d=0,f(2)=8a+4b+2c+d=0,f (0)=c=-1,f (2)=12a+4b+c=3,解得a=12,b=-12,c=-1,d=0,f(x
22、)=12x3-12x2-x.对点练2-1已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示,则f-512的值为.答案-3解析由函数f(x)的最大值为2、最小值为-2可知,A=2;由12T=23-6=2,得T=2,所以=2;当x=6时, f(x)=2,可得sin26+=1,因为|2,所以=6,故f(x)=2sin2x+6,所以f-512=2sin-56+6=2sin-23=-3.技法5构造法构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质,运用已知数学关系式和理论,构造出满足条件或结论的数学对象,从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来,并借助该数学对象方便快捷地
23、解决数学问题的方法.构造法应用的技巧是“定目标构造”,需从已知条件入手,紧扣要解决的问题,把陌生的问题转化为熟悉的问题.解题时常构造函数、构造方程、构造平面图形、构造正方体或长方体等.典例1(构造函数)已知定义在0,2上的函数f(x)的导函数为f (x),且f(x)2f 3B.f(1)f 4D.3f 6f 3答案D解析构造函数g(x)=f(x)sinx,则g(x)=f (x)sinx-f(x)cosxsin2x,根据题意得f(x)cos x0对x0,2恒成立,所以g(x)在0,2上单调递增,所以g6g3,即f612f332,即3f 6f 3.对点练1-1已知m,n(2,e),且1n2-1m2n
24、B.m2+1nD.m,n的大小关系不确定答案A由不等式可得1n2-1m2ln m-ln n,即1n2+ln n0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.因为f(n)f(m),所以nm.故选A.典例2(构造方程)已知16cos C+4sin B+tan A=0,sin2B=4cos Ctan A,其中cos C0,试确定cosCtanA的值.解析令t=4,则由16cos C+4sin B+tan A=0得t2cos C+tsin B+tan A=0.因为cos C0,所以式是关于t的一元二次方程.易得=sin2B-4cos Ctan A=0,所以关于t的一元二次方程有两个相等的实根,且t1=t2
25、=4.由根与系数的关系得:tanAcosC=t1t2=42=16,故tan A0,因此,cosCtanA=116.对点练2-1已知a2-3a=1,b2-3b=1,且ab,则1a2+1b2=.答案11解析由题意可知a,b是方程x2-3x-1=0的两个实数根,由根与系数的关系可知a+b=3,ab=-1,所以1a2+1b2=a2+b2a2b2=(a+b)2-2aba2b2=32-2(-1)=11.典例3(构造图形)已知三棱锥P-ABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,则三棱锥P-ABC的体积为.答案160解析如图所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知
26、三棱锥P-ABC的各棱分别是长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,由已知可得x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,解得x=6,y=8,z=10.从而V三棱锥P-ABC=V长方体AEBG-FPDC-V三棱锥P-AEB-V三棱锥C-ABG-V三棱锥B-PDC-V三棱锥A-FPC=V长方体AEBG-FPDC-4V三棱锥P-AEB=6810-4166810=160.故所求三棱锥P-ABC的体积为160.对点练3-1已知平面平面=a,平面平面=b,平面平面=c,则有下列命题:若ab,则ac,bc;若ab=O,则Oc;若ab,bc,则ac.其中正确的命题是()A.B.
27、C.D.答案D因为ab,且平面平面=b,所以a平面.又平面平面=c,所以ac.由平行公理,得bc,故正确.若ab=O,且平面平面=a,平面平面=b,则O平面且O平面.又平面平面=c,所以Oc,故正确.如图,此时a与c不一定垂直,故错误.故选D.技法6补集法补集法就是在已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,先求解该问题的对立事件,进而利用补集的思想求得问题结果的方法.该方法在概率、函数性质等问题中应用较多.典例1(概率问题)盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任取3张,每张卡片被抽出的可能性都相等,则抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率为.答案47解析事件“抽出的3张卡片上
28、的数字互不相同”记为C,事件“抽出的3张卡片上有两个数字相同”记为D,由题意知C与D是对立事件,因为P(D)=C41C22C61C83=37,所以P(C)=1-P(D)=1-37=47.对点练1-1某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况,从高一,高二,高三三个年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查,若再从中任意抽取两个班级进行测试,则两个班级不来自同一年级的概率为.答案1115解析记高一年级中抽取的1个班级为a,高二年级中抽取的2个班级为b1,b2,高三年级中抽取的3个班级为c1,c2,c3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a,b1),(a,b2),(a,c1),
29、(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种.设“抽取的两个班级不来自同一年级”为事件A,则事件A为抽取的两个班级来自同一年级.两个班级来自同一年级的结果为(b1,b2),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共4种.所以P(A)=415,故P(A)=1-P(A)=1-415=1115.所以两个班级不来自同一年级的概率为1115.典例2(函数问题)已知函数f(x)=ax2-x+ln x在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.答
30、案0,18解析由题意得f (x)=2ax-1+1x.若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,则f (x)0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+1x0,得a121x-1x2.(*)令t=1x,因为x(1,2),所以t=1x12,1.设h(t)=12(t-t2)=-12t-122+18,t12,1,显然函数h(t)在区间12,1上单调递减,所以h(1)h(t)h12,即0h(t)18.由(*)可知,a18.若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,则f (x)0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+1x0,得a121x-1x2.结合可知,a0.综上,若函数f(x)在区间(1,2)上单调,则实数
31、a的取值范围为(-,018,+.所以,若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为0,18.对点练2-1对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a)f(b)0(a,bR,且ab),则函数y=f(x)在区间(a,b)内()A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.零点个数无法判断答案D若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)0,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,也可能有两个、三个或多个零点;但是如果函数y=f(x)不是连续函数,在区间(a,b)上可能没有零点,例如f(x)=2,x=0,1x,x0,此函数不是连续函数,且定义
32、域为R,但没有零点.函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数无法判断.故选D.技法7割补法利用割补法解题需要注意两个方面:一是合理“割补”,要通过最简单的割、补将不规则的几何体转化为规则的几何体,其依据是几何体的结构特征;二是“还原”,即保持割、补前后所求几何体的度量的一致性,弄清补形后的几何体的体积、表面积与原几何体的体积、表面积之间的关系.典例(2018长春质量检测(一)九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为()A.4
33、B.5C.6D.12答案B解析如图,由三视图可还原得几何体ABCDEF,过E,F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN,将原几何体拆分成两个底面积为3,高为1的四棱锥和一个底面积为32,高为2的三棱柱,所以VABCDEF=2V四棱锥E-ADHG+V三棱柱EHG-FNM=21331+322=5,故选B.对点练(补形)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.8+16B.8-16C.8+8D.16-8答案B由三视图可知该几何体是由一个半圆柱去掉一个直三棱柱得到的.其中半圆柱的高为4,底面半圆的半径为2;直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形,高为4.故半圆柱的体积V1=12224=8,
34、直三棱柱的体积V2=12424=16.所以所求几何体的体积V=V1-V2=8-16.故选B.技法8等积转化法等积转化法就是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式,构造关于点到面的距离的方程来求解相关问题的方法.其主要用于立体几何中求解点到面的距离.典例如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且AB=2,AD=EF=1.则平面CBF将几何体EFABCD分成的三棱锥与四棱锥的体积比为.答案14解析由题意可知,平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V四棱锥F-ABCD,V三棱锥F-CBE.过点F作FGA
35、B于点G,因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,FG平面ABEF,所以FG平面ABCD.所以V四棱锥F-ABCD=1312FG=23FG,V三棱锥F-CBE=V三棱锥C-BEF=13SBEFCB=1312FG11=16FG,由此可得V三棱锥C-BEFV四棱锥F-ABCD=14.对点练如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为() A.1B.12C.14D.16答案D依题意,可知VD1-EDF=VF-D1ED,又SD1ED=12,点F到平面D1ED的距离为1,所以VD1-EDF=VF-D1ED=13
36、121=16,即三棱锥D1-EDF的体积为16.故选D.技法9坐标法坐标法是解决平面图形(立体几何中也有坐标法的应用)问题的有力工具,把平面图形放在坐标系中,可以使用平面解析几何、平面向量的方法解决问题.典例已知ABC与BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC平面BCD,且异面直线AB和CD所成的角为,则cos =() A.-154B.154C.-14D.14答案D解析取BC的中点O,连接OA,OD,所以OAOC,ODOC,因为平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,所以OA平面BCD,所以OA,OD,OC两两垂直,以O为坐标原点,OD,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建
37、立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=4,所以B(0,-2,0),D(23,0,0),C(0,2,0),A(0,0,23),所以AB=(0,-2,-23),CD=(23,-2,0),则cos =ABCD|AB|CD|=023+(-2)(-2)+(-23)002+(-2)2+(-23)2(23)2+(-2)2+02=416=14.对点练已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为.答案5解析建立如图所示的直角坐标系,设DC=m,P(0,t),由题意可知,A(2,0),B(1,m),则PA=(2,-t),PB=(1,m-t),
38、PA+3PB=(5,3m-4t),|PA+3PB|=52+(3m-4t)25,当且仅当t=34m时取等号,即|PA+3PB|的最小值是5.技法10估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算获得,从而减少运算量.典例(2017课标全国,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90 B.63C.42 D.36答案B解析(估算法)设
39、以底面直径为6,高为10的圆柱的体积为V圆柱,由题意知,12V圆柱V几何体V圆柱,又V圆柱=3210=90,45V几何体0,|2,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为.若f(x)1对于任意的x-12,3恒成立,则的取值范围是()A.6,3B.12,2 C.12,3D.6,2答案A因为函数f(x)的最小值为-2+1=-1,由函数f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为可得,该函数的最小正周期为T=,所以2=,解得=2.故f(x)=2sin(2x+)+1.由f(x)1,可得sin(2x+)0.因为x-12,3,所以2x-6,23.对于选项B,D,若取=2,则2x+23,76,在,76上,sin(2x+)0,不合题意;对于选项C,若取=12,则2x+12-12,34,在-12,0上,sin(2x+)0,不合题意.故选A.
