1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写教案制作上页下页铃结束返回首页第一节 中值定理第四章 中值定理与导数的应用一.费尔马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理极极 值值 的的 定定 义义设函数设函数 y=f(x)在在 x0 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,定义定义如果对于邻域内任意的如果对于邻域内任意的 x x0,恒有恒有则称则称 f(x0)为为 f(x)的一个的一个极大极大(小小)值值.f(x)f(x0)x0 x0函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,函数取得极值函数取得极值的点的点x0称为称为极值点极值点.上页下页铃结束返回首页oxyy=(x
2、)Mm123ab2.极值与最值 由极值定义知:极值是函数 的局部形态.即只是函数在一个邻域内的比较,故它只可能在(a,b)的内部取得.而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间a,b的整体形态,不仅可在a,b的内部取得(此时最值也是极值)，也可在a,b的端点取得.一个函数可能有若干个极小值或极大值.而且可以 处的极小值 却比 处的极大值还大.1 2 但在定义区间内一般却最多只有一个最大最小值.上页下页铃结束返回首页.,(),fa b取极大(小)值若存在 .0)(f一.费尔马(Fermat)定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.设 在区间 上有定义,且在区间内部某点
3、()f x,a b则必有上页下页铃结束返回首页Oxy)(xfy abP费尔马定理的几何解释 如何证明？.,(),fa b取极大(小)值若存在 .0)(f设在区间上有定义，且在区间内部某点 f x,a b则必有上页下页铃结束返回首页处且在 x),(f取极大值则有)(U )()(xfxf则存在若 ,)(f ,0)()(lim)(0 xfxffx ,0)()(lim)(0 xfxffx于是.0)(f（极小值类似可证）证证设在区间上有定义，f x,a b.,(),fa b取极大(小)值若存在 .0)(f设在区间上有定义，且在区间内部某点 f x,a b则必有上页下页铃结束返回首页)()(bfaf)b
4、,()(aCxf存在在),()(baxf 可保证在内部一点取到极值Oxy)(xfy abAB()0 f切线是水平的上页下页铃结束返回首页二.罗尔(Rolle)中值定理则至少存在一点.0)(,),(fba使得设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)(a)=(b);(,)ab是中间的一个值,几何意义：几何意义：abAByox()yf x12证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得),(ba这样.0)(f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最
5、值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使，则则由费尔马引理由费尔马引理,.0)(fxyabAB注意：注意：f(x)仅不满足条件仅不满足条件(1)f(x)仅不满足条件仅不满足条件(3)f(x)仅不满足条件仅不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。如果函数如果函数y f(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间a,b上连上连续，续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存则至少存在一点在一点 (a,b)，使得使得f ()0。上页
6、下页铃结束返回首页例1.验证函数 在区间-1,2 上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的值.32()4710f xxxx 注注3.3.罗尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个它只肯定了至少存在一个,而不能而不能肯定肯定 的个数的个数,也没有指出实际计算也没有指出实际计算 的值的方法的值的方法.但对某些简但对某些简单情形单情形,可从方程中解出可从方程中解出.解：因(x)是一初等函数,其定义域为(,).则(x)在 1,2 上连续,在(1,2)内存在,即(x)在(1,2)可导.2()387fxxx ()0fx 437,3 则满足题意的点为4373x 23870 xx 而(
7、1)=(2)即(x)在 1,2上满足罗尔定理的条件.由4373 而而舍舍去去.=0.上页下页铃结束返回首页 ,dcbadcba皆为实数设,)()()()(dxcxbxaxxf .,0)(并指出根所在区间有且仅有三个实根证明方程 xf ,),()(dccbbaCxf,0)()()()(dfcfbfaf又,),(,)(内可导在是四次多项式xf得上运用罗尔中值定理在,dccbba .0)()()(321fff例1证证其中,.),(,),(,),(321dccbba.0)(至少有三个实根即 xf上页下页铃结束返回首页,)(是四次多项式xf ,)(是三次多项式xf.0)(至多有三个实根 xf综上所述,0
8、)(有且仅有三个实根 xf.),(),(),(中分别在dccbba,)()()()(dxcxbxaxxf .0)()()(321fff其中,.),(,),(,),(321dccbba1223)(34xxxxf2612)(23xxxf上页下页铃结束返回首页证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx .),(内至少有一根在ba0)()()()(222xfabafbfx0)()()()(222xfabafbfx)()()()(222afabafbfa)()()()(222bfabafbfb)()(22afbbfa连续可微端点函数值相等例2分析,f xC
9、a b)()(22afbbfa上页下页铃结束返回首页证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx .),(内至少有一根在ba例2证证)()()()()(222xfabafbfxxF令 ,)(得的连续性和可导性则由xf,),()(,),()(内可导在baxFbaCxF)()()()(22afbbfabFaF又由罗尔定理,至少存在一点使得),(ba0)()()()(2)(22fabafbfF.),(内至少有一根方程在即ba,f xCa b上页下页铃结束返回首页 分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.上页下页铃结束返回首页例3.设(x)在a,b上连续
10、,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点,使得()().ff ()(),xF xf x e令()()0,ff 于于是是证证:由于F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即F(x)满足罗尔定理的条件,.因此在(a,b)内至少存在一点 ,使得()()()0,(,b)Fffea ()(),(,b).ffa 故故()()0ff ()()(),xFxfxf x e则 上页下页铃结束返回首页如何构造辅助函数？(1)要证存在 ,使()()()()0,fgfg()()()()0,fx g xf x g x()()()F xf x g x()()
11、()()().F xfx g xf x g x(2)使()()()()0,fgfg()()()()0,fx g xf x g x()()()f xF xg x2()()()()().()fx g xf x g xF xgx要证存在 ,上页下页铃结束返回首页(3)要证存在 ,使()()0,ff()()0,f xxfx()()F xxf x()()().F xf xxfx(4)要证存在 ,使2()(1)()0,ff2()(1)()0,f xxfx2()(1)()F xxf x()(1)2()(1)().F xxf xxfx上页下页铃结束返回首页(5)要证存在 ,使()()0,ff()()0,fxf
12、 x()()xF xef x()()().xF xefxf x(6)要证存在 ,使()()()0,fgf()()()0,fxg x f x()()()g xF xef x()()()()().g xF xefxg x f x上页下页铃结束返回首页例例4 4,),(,)(,0)()(内内可可导导在在上上连连续续在在设设babaxfbfaf .0)()(),(ffba使使求求证证分析：分析：是谁的导数？是谁的导数？)()(xfxfx?)()(2是谁的导数是谁的导数xxfxfx ,)()(xxfxF 令令.0)(),(Fba使使.0)()(ff即即证明：证明：,)()()(2xxfxfxxF 则则
13、由于F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即F(x)满足罗尔定理的条件.上页下页铃结束返回首页 ,)(仍满足罗尔定理条件xf 如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?上页下页铃结束返回首页书P153 例4-4设 f x0,1在上二阶可导,010,ff证明:至少存在一点0,1,使得 20.ff分析:200,fxxfxf xxfx设 ,g xf xxfx 00000,gff 11gf 但是如果有11110,gff不一定等于 .0g 1g1,使得由 100,0,gg利用罗尔定理知:10,对存在10,使得 20.ff 0,g即是否存在1110,ff1,使得 0,
14、0,f xxfxxf x由想到设 .F xxf x一般结论出现两阶导数，证明时要用两次中值定理上页下页铃结束返回首页Oxy)(xfy ABABPabafbff)()()(如何描述这一现象 实际上,切线与弦线 AB 平行.ab上页下页铃结束返回首页三.拉格朗日(Lagrange)中值定理则至少存在一点 ,),(使得baabafbff)()()(设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间 a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;)()(bfaf罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有，)()()(abfafbf之之间间和和介介于于ba 拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的
15、表达方式：3.拉格朗日定理拉格朗日定理 定理的叙述及其证明定理的叙述及其证明 i)在在 闭区间闭区间 a,b 内内 连续连续，ii)在在 开区间开区间 (a,b)内内 可导可导，.)()()(,),(abafbffba：使得则必至少存在一点0)()()(xabafbfxf;0)()()(xxabafbfxf：满足则令)(,)()()()(xgxabafbfxfxg)()()()()()()()(aabafbfafbabafbfbfagbg定理的三个条件罗尔满足即)(,)()(xgbgag0)()()()()()(abafbffabafbff证明：0)()()()()(ababafbfafbf设
16、函数设函数 f(x).)()()(0)(:),(abafbffgba上页下页铃结束返回首页12 ()0,.,fxxa bxxa,b若则2121()()()(),f xf xfxx推论 1()0,(),.fxa bf xCxaxb 若则 .)()(21xfxf证证不妨设12,xx则 f x在12,x x上应用拉格朗日定理有，12,axxb()0,fxxa b 而故 0,f由此得由的任意性可知，在内是一个常数12,x x f x,a b而而 2)0(f,证证明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx,1,1 x 设设 xxxfarccosarcsin)(,1,1 x 01111)(22 x
17、xxf,1,1 x Cxf)(,1,1 x 例例4 4证证由推论由推论1知知,上页下页铃结束返回首页推论 2()(),fxg xxa b若 ()()()0,F xfxg xxa b()(),fxg xxa b若(C 为常数)()()(),.F xf xg xCxa b()(),.f xg xCxa b则证证则设 ()()(),F xf xg x由推论即得上页下页铃结束返回首页 ,0 时当证明：ba.lnaababbab1lnln1 ,()babbaa,b ,ln)(axxxf令,)(理条件上满足拉格朗日中值定在则baxf故lnln,()1 baabba 其中由于证证 1lnfxxxabafbf
18、f)()()(只要证11,1ba1lnln1 .()babbaa从而利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式 例例8上页下页铃结束返回首页yxyx sinsin,Ryx,特特别别,xx sin,Rx.不不妨妨设设yx ,令令ttfsin)(,在在 yx,上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理：而而 1cos ,特特别别,令令0 y，得得 xx sin.例例9 9 证明证证利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式，)()()(abfafbf拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：,sinsincos(),x yyxyx 使使 之之间间和和介介
19、于于ba sinsinyxyx 故故上页下页铃结束返回首页四.柯西(Cauchy)中值定理则至少存在一点 ,),(使得ba()()().()()()f bf afg bg ag(3)(,),()0.xa bg x 均均有有(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)上可导；若函数(x),g(x)满足下列条件：xxg)(上页下页铃结束返回首页有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,),()(,)(baCxgxf,),()(,)(内可导在baxgxf)()()()()()(gfagbgafbf故,0)(xg且条件满足拉格朗日中值定理上在 ,)(,)(baxgxf
20、相同吗？两个()()()(),()()()().f bf afbag bg agba上页下页铃结束返回首页请同学们看书或课后自己完成。请同学们看书或课后自己完成。)()()()()()()(xfagbgxgafbfxF 令令)()()()()()(gfagbgafbf 要证要证0)()()()()()(fagbggafbf上页下页铃结束返回首页)()()()()()()(xfagbgxgafbfxF令 ,bax.),()(,),()(内可导在则baxFbaCxF)()()()()()(afbgbfagbFaF又故 由罗尔中值定理至少存在一点 ,),(ba使得0)()()()()()(fagbg
21、gafbf即 ,0)(F)()()()()()(gfagbgafbf亦即.),(ba证证上页下页铃结束返回首页)()()()()()(gfagbgafbf例设 0,abf x在,a b上连续,在,a b内可导,证明至少存在一点,a b使得 ln.bf bf afa证证相当于要证 ,1lnlnf bf afba只需设 ln,g xx则在上满足柯西中值定理的条件,因此由 ,f xg x,a b()()(),()()()f bf afg bg ag即()()().1lnlnf bf afba,a b与分开将上页下页铃结束返回首页例证明至少存在一点1,e使得sin1cosln.分析sin1sinln,
22、e要证sinlnsinln1cosln.e首先尝试拉格朗日中值定理()(),f bf afba sinln,f xx则sinlnsinln1cosln11,ee)()()()()()(gfagbgafbf为了消去，想到设 1ln,g xxg设1上页下页铃结束返回首页例证明至少存在一点1,e使得sin1cosln.证证 sinln,f xx设 ln,g xx)()()()()()(gfagbgafbf则在上满足柯西中值定理的条件,因此 ,f xg x1,e()(1)(),1,.()(1)()f effeg egg 即1coslnsinlnsinln1,1lnln1eesin1cosln.所以尝试
23、拉格朗日中值定理后,用 (cauchy定理)乘以或除去一个因子.g上页下页铃结束返回首页书P153 例7设()f x在1,2上连续，在内可导，证明：(1,2)存在、(1,2),使得2()3().ff分析相当于要证().()32ff()()()()()()f bf afg bg ag2(),g xx想到设则 2.g把有的项分别放一边，尝试用某一中值定理,上页下页铃结束返回首页证证取2()g xx,则(),()f x g x在1,2上满足柯西定理的条件,故存在(1,2),使(2)(1)()(2)(1)()fffggg即2(2)(1)().212fff而 在 上也满足拉格朗日定理的条件,故有 使()
24、f x1,2(1,2)(2)(1)()(2 1),(1,2)fff(*)代入(*)式即得()().32ff有 两个中间值,一般在证明过程中要用两次中值定理.,().()32ff要证()()(),()()()f bf afg bg ag上页下页铃结束返回首页作业 P1571.3.4.(1)5.8.上页下页铃结束返回首页补充题1：1.设 在 内连续可导,处处有()f x(),a b证明()f x(),a b在内至多一个零点.补充题2：设 在 内连续,在 可导,a b()f x(),a b()()1,f af b=求证:在(),a b存在两点,x h使得提示:反证法,并设 .xf xg xe ,f
25、xfx 1.eff 高等院校非数学类本科数学课程脚本编写教案制作上页下页铃结束返回首页洛必达洛必达(LHospital)法则法则0sinlim1.xxx 原原式式极极限限存存在在0,0 在第二章中我们已经知道,型的极限也可能存在.例:通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算的极限,为未定式的极限.下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限的简便而有效的法则 洛必达法则.)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax(1 1)0)(lim)(lim xgxfaxax；(3 3)Axgxfax )()(lim(或或),00设设函函数数)(xf和和)(xg在在点点ax 的的 定理
26、定理(洛必达法则洛必达法则)某去心邻域内有定义且可导某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：且满足下列条件：简要说明：简要说明：因求 与(a)及g(a)无关,()lim()xaf xg x 则可定义(a)=g(a)=0.()()lim()()xaf xf axag xg axa ()lim()xaf xg x()lim.()xafxg x ()()fag a 上页下页铃结束返回首页例例1 1解解:0sinlim.xxx求00sin(sin)limlim()xxxxxx0coslim1xx1.)00(设函数(x),g(x)满足条件，则有()()limlim().()()xaxaf xfxAg
27、xg x或(1)lim()lim()0;xaxaf xg x分子分母分别求导上页下页铃结束返回首页)()(limxgxf 转化)()(limxgxf洛必达法则洛必达法则上页下页铃结束返回首页2coslim0 xeexxx例例1 00()0limsinxxxeex型00limlimsinsinxxxxxxeeeexx解：设函数(x),g(x)满足条件，则有()()limlim().()()xaxaf xfxAg xg x或(1)lim()lim()0;xaxaf xg x)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1.ax 可可改改为为 x；2 2.)(lim)(limxgxfax
28、ax时时洛洛必必达达法法则则仍仍成成立立；3 3.若若不不是是“00”或或“”未未定定式式,不不能能使使用用洛洛必必达达法法则则；说明说明：)()(lim)()(limxgxfxgxfxx 4.4.应用洛必达法则时要应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数切忌不要把函数当做整个分式当做整个分式来求导来求导.洛必达法则仅限于除法的形式。上页下页铃结束返回首页例例3 3解解:arctan2lim.1xxx求2211lim1xxx原式22lim1xxx1.例例4 4解解:0lnlim.lnxaxbx求01lim1xaaxbbx原式)00()(121lim11xx
29、上页下页铃结束返回首页lnyx例例4 4解解:2+lnlim.求 xxx211limlim0.22原式xxxxx)(2+lnlim0 xxx因此当 时，x2ln.xx1.说明 趋向 的速度要比 快很多.ln x2x上页下页铃结束返回首页例例5.5.解解:0lim.xtgxx求220001seccoslimlimlim1.11xxxtgxxxx)00(由此亦可知当 时，.tgxx0 x sincosxx上页下页铃结束返回首页例例2,1)1(lim0 xxx 1)1(lim10 xx.)00(第二章时的方法太繁：第二章时的方法太繁：,1)1(tx令.1)1(xx (为非零实常数).由此亦可知当 时
30、，0 x 30sin5limxxxx 例30(sin)lim()xxxx 原原式式201coslim3xxx 0sin1lim.66xxx注注3.3.在求未定式极限时可多次连续使用洛必达法则在求未定式极限时可多次连续使用洛必达法则;0 0解解是是型型,有有如果在使用洛必达法则后,仍是)()(limxgxf,00型或则可继续使用洛必达法则.3321326lim1xxxxxx 例3232211(32)33limlim(1)321xxxxxxxxxx 原原式式16lim62xxx 注注1.1.不是未定式不是未定式,使用洛必达法则使用洛必达法则,导致错误导致错误.16lim16x63.42 )00(使
31、用洛必达法则要注意观察条件是否满足,不然会出错.上页下页铃结束返回首页.sinlim xxxx求sin limxxxx.1)sin1 (lim sinlim xxxxxxx实际上小 心！例9解解lim(1 cos)xx求导后极限不存在极限不存在)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax洛必达法则失效。洛必达法则失效。在运用洛必达法则时,不存在如果)()(lim xgxf但也不是无穷大,则不能说明不存)()(limxgxf在.此时应重新另找其它方法进行计算.)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax(3 3)Axgxfax )()(lim(或或),则则
32、 上页下页铃结束返回首页.sintanlim 0 xxxxx求00 xxxxxxxxcos11seclimsintanlim200 xxxxsinsectan2lim202cos2lim30 xx(化简，不用再继续求导)在使用洛必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单.连续使用洛必达法则00例4解解上页下页铃结束返回首页例7.求2lim.3xtgxtg x解:2lim3xtgxtg x222seclim3sec 3xxx2221cos 3lim3co00sxxx22cos3sin331lim32cossinxxxxx22sin3cos3limlimsincosxxxxxx2sin33
33、lim3.sinxxx 在运用洛必达法则求极限过程中,极限并不等于零的因子可以提出来,这样可使问题简化.上页下页铃结束返回首页.|ln|lncoslim axaxeeaxx求|ln|lncoslimaxaxeeaxx|ln|lnlimcoslimaxaxaxeeaxx)(limcosaxeeeaxaxaxaxeeeaaxaxxaxlim1limcosxaxaeealimcosacos运用洛必达法则时,定式因子如有非零极限应单独分出计算，这样可以简化计算过程.例5解解1()cos lim1xaxxaxaaeee,其中其中a为常数.上页下页铃结束返回首页 利用洛必达法则求极限时注意与原有求极限方法
34、（共轭利用洛必达法则求极限时注意与原有求极限方法（共轭因子法、变量替换等）的综合运用：因子法、变量替换等）的综合运用：年考研试题）的值求：99()1ln(sin1tan1lim20 xxxxxxxxxxxxxxsin1tan11)1ln(sin1tan1lim0）（原式解：)1ln(sintanlim210 xxxxxx)1ln(cos)cos1(sinlim210 xxxxxxxxxxx)1ln(cos1lim11210)1(ln()cos1(lim210 xxxx111sinlim210 xxx)1(sinlim210 xxxx.21上页下页铃结束返回首页例6解解22220 sin lim
35、.sinxxxxx求22220 sin limsinxxxxxxxxxxxx220sin)sin)(sin(limxxxxxxxxxsinsinlim sinsinlim20030sinlim2xxxxxx sin203cos1lim2xxx221cos1xx31321lim2220 xxx0020sinlimsinxxxxxxx上页下页铃结束返回首页在运用洛必达法则求极限过程中,可以运用等价无穷小替代方法,可使问题得到简化.0 x 当时请记住以下几个常用的等价无穷小量:1.sin x x,2.tan x x,3.ln(1+x)x,4.arcsin x x,27.1cos,2xx 8.(1)1
36、,xx 6.1,xex5.arctan x x,1,xa xlna1(1)1.2xx 。年研究生入学试题）的值求：92(111sinlim20 xxexx.1)sin(lim0代入洛必达xexx)00(211sinlim20 xxexxxxexxcoslim0洛必达1)(11sinlim2120 xxexx（原式解上页下页铃结束返回首页以下各类极限称为不定型的极限：,00,0,1,00.0其中,;0表示无穷小量;表示无穷大量.1 1为极限的变量表示以不定型的极限不定型的极限100sinlim1,lim 1.txtxtex 洛必达法则只限于求,00型的极限和其它类型的不定型应首先化成除法的形式才
37、能用洛必达法则.)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax100sinlim1,lim 1.txtxtex,0,1,00.0上页下页铃结束返回首页下面的介绍的是利用倒数法或取对数法将其它的不定型转化为可以运用洛必达法则计算的.0 0和型 型：)()(limxgxf)(1)(limxgxf00)(1)(limxfxg乘法除法.lnlim 0 xxx求0 xxxxxx1lnlimlnlim000)(lim11lim020 xxxxx利用倒数法,将乘法转换成除法,用另一种形式颠倒行不行?行,但繁些.存在一个选择问题.例9解解1lnxx步骤步骤:,10 .0100 或或上页下页铃
38、结束返回首页例例7 72lim.xxx e 求求2limxxex 原原式式2limxxe.步骤步骤:,10 .0100 或或将乘法转换成除法,解解0lim2xxex 例例8.xxxtanseclim2xxxcossin1lim2xxxsincoslim2)cossincos1(lim2xxxx=00101 0000 型型）2步骤步骤:通分，将减法转换成除法.ln11 lim 1xxxx求这种形式可以直接通分,将减法换成除法，xxxxxxxxxxln)1()1(ln lim ln11 lim 110012例10解解0101 0000 型型）2步骤步骤:上页下页铃结束返回首页例4-22 求21li
39、mln 1xxxx解:211limln 1lim1ln 1xxxxxxxx11ln 1lim1xxxx211ln 1lim1xxxx20ln 1limtttt0111lim2ttt0lim2 1tttt1.2 00 0 1 00 0取对数法最后只需用洛必达法则讨论这两种极限()()g xf x00ln00 ln000eee()ln()()ln(),g xf xg xf xee幂指函数变为除法变为乘法型：,1 ,000例例9.xxx 0limxxxlnlim0e00limlnlnlim1xxxxxx)(lim0 xx=01lim 00exxxln0lim exxx021lim1xxx()()g
40、xf x幂指函数上页下页铃结束返回首页例12求1lim.4xxtgx1xt1解:1144lnln1limlimlim4xxtgtgxxxxxxtgeex而1ln41limlnlim14xxtgxxtgxx0ln4limttgtt000020sec4lim24tttgt2e幂指函数上页下页铃结束返回首页例例91limxxx llnlimlim101xxxxxeee1limnnn01lnlnlimlimxxxxexxe1limnnn这是数列的极限上页下页铃结束返回首页.)(111 lim 2nnnn求这是数列的极限xxnnxxnn)()(111 lim 111 lim22211ln (1)lim1
41、xxxxe20ln(1)limtt tte xt1e洛必达例13解解此题也可用重要极限的方法来求解.211ln(1)limxxxxe 上页下页铃结束返回首页2211 11 1 22111lim111limnnnnnnnnnnnn .e10lim 1.ttte此题也可用重要极限的方法来求解.上页下页铃结束返回首页抽象函数利用洛必达法则求极限：抽象函数利用洛必达法则求极限：例例11 设f(x)有导数,并且0(sin)1(0)(0)1,lim.ln()xfxfff x求求0(sin)1limln()xfxf x解解0 0型利用洛必达法则有利用洛必达法则有0(sin)cos=lim1()()xfxxf
42、 xf x(0)111(0)(0)fff上页下页铃结束返回首页作业 P1641.(1)(3)(5)(7)(11)(13)(15)(17)(18)(19)(21)(22)高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制作：主要内容主要内容:函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 工具工具:一阶导数一阶导数 工具工具:二阶导数二阶导数xyo)(xfy T0 xM引言引言0tan().fx由导数的几何意义知，由导数的几何意义知，)(xfy),(00yx曲线曲线在其上一点在其上一点的切线斜率为的切线斜率为02tan0 xyo0 x xfy2tan0观察上升曲线上每一点的切线，有什么
43、共同点？观察上升曲线上每一点的切线，有什么共同点？观察下降曲线上每一点的切线，观察下降曲线上每一点的切线，有什么共同点？有什么共同点？.0 xf.0 xf上页下页结束返回首页铃 函数函数y f(x)的图象有时上升的图象有时上升,有时下降有时下降.如何判断函如何判断函数的图象在什么范围内是上升的数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降在什么范围内是下降的呢？的呢？上页下页结束返回首页上页下页铃结束返回首页动画演示 f(x)0 f(x)0 观察结果观察结果 导数大于零时函数单调增加导数大于零时函数单调增加,导数小于零时函数单导数小于零时函数单调减少调减少.下页观察与思考观察与思考 函数的单
44、调性与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调性的判定定理函数单调性的判定定理定理定理设函数设函数 y=f(x)在在 a,b 上上连续连续,在在(a,b)内内可导可导.(1)如果如果 f (x)0,x(a,b),则则 f(x)在在 a,b 上上 (严格严格)单调单调增加增加;(2)如果如果 f (x)0 xyOy=f(x)f (x)0 xyO1212()()xxf xf x1212()()xxf xf x函数单调性的判定定理函数单调性的判定定理证证:(1)任取任取 x1,x2 (a,b),满足满足 x1 0故故 f(x1)0,x(a,b),则则 f(x)在在 a,b
45、上上 (严格严格)单调单调增加增加;(2)如果如果 f (x)0,所以函数所以函数 y x 0.5sin x 在在0,2 上的严格单调增加上的严格单调增加.函数单调性的判定法函数单调性的判定法 设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导.(1)如果在如果在(a,b)内内f (x)0,则则f(x)在在a,b上严格单调增加上严格单调增加 (2)如果在如果在(a,b)内内f (x)0,则则f(x)在在a,b上严格单调减少上严格单调减少.246824680.5sinyxx上页下页铃结束返回首页 因为在因为在(,0)内内y 0,所以函所以函数数 y ex x 1在在0,)上单
46、调增加上单调增加.解解 函数函数y ex x 1的定义域为的定义域为(,).y ex 1.例例2.讨论函数讨论函数 y ex x 1的单调性的单调性.00 y上页下页铃结束返回首页我们已经知道:,)(则内可导在区间若函数Ixf 0)(xf)(Ixf 0)(xf)(Ixf .)(0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf上页下页铃结束返回首页yxo说明:1)单调区间的分界点也可是导数不存在的点.例如,23,(,)yxx 13322 133yxx 0 xy23yx上页下页铃结束返回首页.82 的单调性讨论xxy),0()0 ,(:定义域282xy)4(222xx得令,0 y,2 ,221xxxy
47、y)2,(20),2(02),0(2),2(00例1解不存在，若y.03x得,0,2,2321），（划分定义域以xxx上页下页铃结束返回首页xxy82 ,函数综上所述(,2 ,2,)在 2,00,),(2 .在内单调减少 列表可使问题明朗化单调增加xyy)2,(20),2(02),0(2),2(00上页下页铃结束返回首页xf(x)f(x)例例4.确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间.解解 这个函数的定义域为(,).f(x)6x218x126(x1)(x2),导数为零的点为x11、x22.列表分析 函数f(x)在区间(,1和2,)内单调增加,在区间1,2上单调减少.(,1 1,2 2,
48、)y2x39x212x3例例3 3求函数求函数 y=的单调性的单调性.解解f(x)在在(,0 上单调递减上单调递减;在在 0,+)上单调递增上单调递增.32x当当 x=0时时,导数不存在导数不存在.xf(x)f(x)(,0)(0,)0列表分析列表分析 导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点可能可能是单调区间是单调区间的分界点的分界点驻点驻点方法方法:用用驻点驻点和不可导点来划分函数的和不可导点来划分函数的定义区间定义区间,然后判断区间内导数符号然后判断区间内导数符号.总结总结:注意：如果函数在某点是，但两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,3xy ,32xy .00 xyyox3
49、xy 00fx上上严严格格单单调调增增加加。在在),()(xfxf(x)f(x)(,0)(0,)0 上页下页铃结束返回首页3,(,)yxx Oxy3xy,03)(23xxy,0 时且仅当x,0 y3(,).x 而,),(时x说明()0 ()0),fxfx如果 )(,0)(上严格单调增仍在区间则现Ixfxf ).(严格单调减少加 0)(xf)(Ixf 但只在个别点处出如果如果 f (x)0,x(a,b),则则 f(x)在在a,b上上严格单调严格单调增加增加;举例.)1ln(,0 xxx时：证明,),0 ,)1ln()(xxxxf令由于,)0(,0111)(时xxxf故,)(),0 xf从而 ,)
50、0(,0)0()(xfxf即.)1ln(,0 xxx时0.00020.00040.00060.00080.0011 10-72 10-73 10-74 10-75 10-7()ln(1)0,(0).f xxxx利用函数的单调性证明不等式：利用函数的单调性证明不等式：例14证:要证明不等式只需证明f(x)0.上页下页铃结束返回首页.)1ln(,0 xxx时：证明 ()ln(1),f xxx令,)(),0 xf(0)0,f()0,fx ,)0(,0)0()(xfxf0.00020.00040.00060.00080.0011 10-72 10-73 10-74 10-75 10-7()ln(1)0
