1、第三章第三章1第一节第一节 导数引例导数引例0tt,)(0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求函函数数为为设设变变速速直直线线运运动动的的路路程程ttst,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于,0ttt 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度ttstts )()(00,0时时当当 t取极限得取极限得ttsttst )()(lim000瞬时速度瞬时速度ttsttst )()(lim000 v(一一)物体作变速直线运动的瞬时速度问题物体作变速直线运动的瞬时速度问题2自自由由落落体体221)(tgts,求求速速度度函函数数 )(tv.解解所以所以tstvt 0lim)()21(lim0tgtgt
2、.tg 例例1 1221tgttg 2221)(21gtttgs tgtgts 213(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置4(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置5(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置6(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置7(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置8(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置9(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置10(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置11(二二)切线问
3、题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置12(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置13 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线 tank00)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx 割线割线 MN 的斜率为的斜率为切线切线 MT 的斜率为的斜率为14求求抛抛物物线线2xy 在在1 x处处的的切切线线方方程程.解解,)1(21 xy.012 yx即即例例2 21xy因此切线方程为因此切线方程为221)1(xy,22xx ,2xx
4、y 切线斜率为切线斜率为xykx 0lim)2(lim0 xx ,2 15第二节第二节 导数概念导数概念(一一)导数的定义导数的定义,)()(00内内有有定定义义的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数xUxxfy 定义定义xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000如果对于自变量如果对于自变量 x 在点在点0 x的增量的增量x)(00 xUxx 和相应的函数值的增量和相应的函数值的增量)()(00 xfxxfy ,xy 当当0 x时时有有极极限限，比值比值 则则称称函函数数)(xf在在点点0 x可可导导，称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在点点0 x处处的的导导数数，并并记记
5、作作)(0 xf,即即 16000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000记记xxx 0,则则0 x等等价价于于0 xx,形式形式1形式形式2)(0 xf ，0ddxxxy 也可记为也可记为，0 xxy 等等。0d)(dxxxxf 17 这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，在实际应用中，常把导数在实际应用中，常把导数0ddxxxy 称为变量称为变量 y 对变量对变量 x 在在0 x点的点的变化率变化率,变化的快慢。变化的快慢
6、。它表示函数值的变化相对于自变量的它表示函数值的变化相对于自变量的变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等功率就是所作的功对于时间的变化率，等等.速度可以说成速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率。是行走的路程对于时间的变化率。18导函数导函数如果函数如果函数)(xfy 在开区间在开区间 I 中的每一点都可导，
7、中的每一点都可导，则称函数则称函数)(xf在区间在区间 I 上可导上可导.这时这时,对每一个对每一个Ix,xxfxxfxfx )()(lim)(0)()(Ixxf 可以看成是定义在可以看成是定义在 I上的一个新的函数，上的一个新的函数，称称它它为为原原来来的的函函数数)(xf的的导导函函数数(或或简简称称导导数数),也也可可以以说说成成 y 对对 x的的导导数数，并并记记作作y 或或 xydd.19用定义求导数的基本步骤：用定义求导数的基本步骤：;)()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限20例例3 3解解求求
8、线线性性函函数数 bxay 的的导导数数。)()(bxabxxay ,xa ,axy .lim0axyyx 21例例4 4解解21)1(xx 求求函函数数xy1 的的导导数数。xxxy11 )(xxxx )(1xxxxy xyyx 0lim)(1lim0 xxxx 21x 22例例5 5解解xx21)(求求函函数数xy 的的导导数数。,xxxy xxxxxy )(xxxxx ,1xxx xyyx 0limxxxx 1lim0.21x 23例例6 6解解233)(xx 求函数求函数 3xy 的导数。的导数。33)(xxxy ,)()(33322xxxxx xxxxxxxy 322)()(33,)
9、(3322xxxx xyyx 0lim)(33lim220 xxxxx .32x 类似可证类似可证 1)(nnxnx（n 为正整数），为正整数），以后证明，以后证明，1)(xx(为任意非零实数为任意非零实数)。24,0,00,1sin)(xxxxxf011/1/xy所所以以)(xf在在0 x处处连连续续；极限不存在极限不存在,但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx所所以以)(xf在在0 x处处不不可可导导。)(lim0 xfx例例7 7 用定义讨论函数用定义讨论函数在在0 x处处的的连连续续性性与与可可导导性性。解解xxx1sinlim0 0,
10、)0(f 25(二二)导数的几何意义导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 在几何上，函数在几何上，函数)(xfy 在点在点0 x处处的导数的导数)(0 xf 表示曲线表示曲线)(xfy 在点在点)(,(00 xfxM处的切线的斜处的切线的斜率，即率，即 tan)(0 xf，其中，其中 为为切线的倾角。切线的倾角。26求曲线求曲线xy1 在点在点)1,1(处的切线方程和法线方程。处的切线方程和法线方程。例例8 8解解切线斜率切线斜率 1)1(yk，,12xy 所以切线方程为所以切线方程为,)1(
11、1 xy即即 02 yx；法线方程为法线方程为)1(111 xy，即即0 yx。27求求双双曲曲线线xy1 的的平平行行于于直直线线L：054 yx的的切切线线的的方方程程.练习：练习：解解201xk ,41 所求切线方程为所求切线方程为)2(4121 xy044 yx即即设设切切点点为为)1,(00 xx，,2 0 x所所求求切切点点为为)21,2(和和)21,2(，或或)2(4121 xy或或.044 yxL的斜率的斜率28(三三)左、右导数左、右导数2 2、右导数右导数：1 1、左导数左导数：;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(
12、lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导 左导数左导数)(0 xf 和右和右 导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.29例例9 9.0|)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解)0(f0)0()(lim0 xfxfx,1.1 ),0()0(ff.0|点点不不可可导导在在函函数数 xxyxxx|lim0 xxx 0lim)0(f0)0()(lim0 xfxfxxxx|lim0 xxx 0lim30设设 0 ,0 ,00 ,)(32xxxxxxf,求求)0(f .所所以以 0)0(f.例例10
13、10解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx20lim,0 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx30lim,0 xyo31(四四)可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 函数在可导点处必连续函数在可导点处必连续.证证.)(0连续连续在点在点所以函数所以函数xxf由由于于)(xfy 在在0 xx 处处可可导导,所所以以 yx 0lim xyx 0lim 存存在在且且为为)(0 xf ,xxyx 0lim xxyxx 00limlim 0)(0 xf,0,)()(00 xfxxfy 32例如例如,0,0,)(2 xxxxxf,1)0(,0)0(ff注意注意：该定理的逆定理不成
14、立该定理的逆定理不成立：连续未必可导连续未必可导。xy xyo|)(xxf.0处处不不可可导导在在 xxy2xy xy O1、设设函函数数)(xfy 在在0 x处处连连续续，但但)()(00 xfxf ，则则称称0 x为为函函数数)(xf的的尖尖点点。函函数数在在尖尖点点不不可可导导。33.0处处不不可可导导在在 x(或称导数无穷大或称导数无穷大)注意：注意：此时存在铅直切线。此时存在铅直切线。例如，例如，3xy 在在0 x处连续处连续,但但,)()(limlim0000 xxfxxfxyxx0)0()(lim0 xfxfxxxx30lim,2、设设函函数数)(xfy 在在0 x处处连连续续，
15、但但 称称函函数数)(xf在在点点0 x处处有有无无穷穷导导数数(不不可可导导)。34,0,00,1sin)(xxxxxf例如例如,011/1/xy所所以以)(xf在在0 x处处连连续续.极限不存在极限不存在,但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx3、设设函函数数)(xfy 在在0 x处处连连续续，但但0 x处处的的左左右右导导数数都都不不存存在在(指指摆摆动动不不定定)，则则0 x处处不不可可导导。所所以以)(xf在在0 x处处不不可可导导.,)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx 35设设 1 ,1 ,)(23xbxaxxxf,
16、求求适适当当的的a,b,使使 )(xf在在1 x处处可可导导.1lim)(lim311 xxfxx,因因为为)(xf在在1 x处处可可导导，从从而而连连续续，所所以以 因因为为)(xf在在1 x处处可可导导,所所以以a23，21,23 ba.babxaxfxx )(lim)(lim211,例例1111解解，3)1(lim21 xxx11lim)1(31 xxfx11lim)1(21 xbxafx1lim21 xaxax，a2,1 ba,1 ab )1(lim1 xax第三节第三节 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则(一一)常数的导数常数的导数，为常数为常数设设)()(CCxf h
17、xfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即hh0lim0 则则37(二二)幂函数的导数幂函数的导数，为正整数为正整数设设)(nxyn hxhxynnh )(lim0lim12210 nnnnhhhxCxn,1 nxn.)(1 nnxnx即即以后证明：以后证明：)0()(1 xx)(x特别特别，12121 x,21x)1(x11)1(x.12x xx21)(21)1(xx hxhhxChxCxnnnnnnnh 222110lim则则(三三)代数和的导数代数和的导数设设)(xuu ,)(xvv 可可导导,则则vu 也也可可导导,且且有有 证证vuvu )(注注：公式
18、：公式可推广到有限多个函数的可推广到有限多个函数的代数和代数和。.)()(xvxu )(vuxxvxuxxvxxux )()()()(lim0 xxvxxvxxuxxuxx )()(lim)()(lim00例例1 1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：xxxxysin452323 .cos45492xxxy 40(四四)乘积的导数乘积的导数设设)(xuu ,)(xvv 可可导导,则则vu也也可可导导,且且有有 证证vuvuuv )(因因为为)(xv可可导导,必必连连续续,故故)()(lim0 xvxxvx ,于于是是)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xxvxuxxvxx
19、u )()()()(xvxuxxvxu ,)()(vxuxxvu xvxuxxvxuxyxxxx 0000lim)()(limlimlim.)()()()(xvxuxvxu vuvuuv )(1、ucuc )(；推论推论wuvwvuvwuuvw )(证证wuvwuvuvw )()()(wuvwvuvu )(.wuvwvuvwu 2、可推广到有限多个函数的乘积，如可推广到有限多个函数的乘积，如 一般地，有一般地，有nnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)(42例例2 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：)23)(21(.123xxxy )23(223xxy)49)(21(2xxx
20、 .432423xxx 2.)50()2)(1()(xxxxf,求求)2(f .)50()4)(3)(1()(xxxxxf!48 或用定义：或用定义：2|)50()4)(3)(1()2(xxxxxf2)50()3)(2)(1(lim)2(2 xxxxxfx)50()4)(3)(1(lim2 xxxxx!48 43(五五)商的导数商的导数设设)(xuu ,)(xvv 可导可导,且且0 v，则，则vu也可导也可导,且有且有 证证2)(vvuvuvu )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()()()(xvxxvxxvxuxvxxu )()()()()()()()()()(xvxxvxv
21、xuxxvxuxvxuxvxxu ,)()()()(xvxxvvxuuxv 因因为为)(xv可可导导,必必连连续续,故故)()(lim0 xvxxvx ,于于是是.)()()()()(2xvxvxuxvxu )()()()(xvxxvvxuuxvy 所以所以)()()()(xvxxvxvxuxuxvxy )(lim)(lim)(lim)(lim0000 xxvxvxvxuxuxvxyyxxxx 452)(vvuvuvu 2)1(vvv 特特别别地地，如如果果1)(xu，则则有有 46例例3 3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1122 xxy22)1(xy)1(22 xx)1(22 xx.
22、)1(422 xx或解或解12122 xxy,1212 x2)1(vvv 22)1(22 xxy.)1(422 xx47(六六)对数函数的导数对数函数的导数,ln xy 设设hxhxyhln)ln(lim0 axxaln1)(log xx1)(ln hxhh)1ln(lim0 .1x 即即)0()1ln(xxxhxhh/lim0 Natural log is natural.,lnlnlogaxxa 由对数换底公式由对数换底公式对一般的对数函数对一般的对数函数)1,0(log aaxya，(七七)指数函数的导数指数函数的导数haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax
23、aaaxxln)(xxe)e(即即特别地特别地,)0(ln1 xaxax，设设)1,0()(aaaxfxhahahxlnlim0(八八)三角函数的导数三角函数的导数,sin xy 设设hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 hhxhh)2cos(2sin2lim0 .cos x xxcos)(sin 即即类似有类似有xxsin)(cos )2cos(lim2sin2lim00hxhhhh 例例4 4.tan的的导导数数求求xy 解解)(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 xx2sec)(tan xx2csc)(c
24、ot 类似可得类似可得即即)cossin(xx，x2sec 51例例5 5.sec的的导导数数求求xy 解解)(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin xxxcotcsc)(csc 类似可得类似可得即即xxxtansec)(sec )cos1(x2)1(vvv 52)(sin x,cos x)(cos x,sin x )(tan x,sec2x)(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx)(csc x.cotcscxx 三角函数的导数公式三角函数的导数公式53例例6 6 求下列函数的导数：求下列函数的导数：xxxxylncossin2 xxx
25、xxxxxy1coslnsincos2sin22 .cos)12(sin)ln1(xxxxxx 54例例7 7.cos1sin5的导数的导数求求xxy 解解例例8 8.sectan的导数的导数求求xxxy 解解2)cos1(5xy 2)cos1(1cos5xx .cos15x xxytan21 xx2sec .tansecxx)cos1(cosxx)sin(sinxx 55训练训练：求导数：求导数,ee )1(ee xyx.ee1e xyx,lncot )2(xxxxyn .lncsccot21112 nnxxnxxxxxy2)ln1(1)ln1()ln1(1xxxxxy .)ln1(22xx
26、 ,ln1ln1 )3(xxy 或解：或解：1ln12 xy56(九九)复合函数的导数复合函数的导数定理定理 设函数设函数)(xu 在点在点 x 处可导，函数处可导，函数)(ufy 在在对应的点对应的点)(xu 处可导，则复合函数处可导，则复合函数)(xfy 在在点点 x 处可导，且其导数为处可导，且其导数为 xuuyxydddddd 或或 )()(ddxgufxy .推广推广),(),(),(xhvvguufy 设设的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xhgfy .)()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy 证略证略例例9 9.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.
27、sin,lnxuuy xuuyxydddddd xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解92)1(10dd xxyx2.)1(2092 xx例例1111解解求求函函数数21xy 的的导导数数。xxy21212 .12xx 58例例1212解解例例1313解解求函数求函数)1ln(2xxy 的导数。的导数。211xxy ）（211xx .e1sin的导数的导数求函数求函数xy xy1sine x1cos)1(2x 2221)1(1xxxxx .112x .1cose11sin2xxx 2211)1ln(xxx 59例例1414求函数求
28、函数nxxyncossin 的导数的导数.解解.)1cos(sin1xnxnn sinsincoscossin1nxxnxxxnn xnyn 1sin xcos nxcos xnsin)sin(nx n sinsincoscos)cos(60例例1515求求幂幂函函数数 xy 的的导导数数。解解)(x)e(ln x xx )e(lnxx .1 x1)(xx61训练训练：求导数：求导数,)sin23()1(5xy )cos2()sin23(54xxy .)sin23(cos104xx ,1tan )2(xy )1(1sec22xxy ,)13csc()3(3 xy33)13cot()13csc(
29、xxy.)13cot()13csc()13(9332 xxx,2 )4(lnxxy xxyln2 2ln.ln1ln2xx 2)13(3 x3.1sec122xx 62(十十)反函数的导数反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数证略证略63(十一十一)反三角函数的导数反三角函数的导数例例1616.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(
30、sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内内有有在在)1,1(xI)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x 211)(arccosxx 211)(arcsinxx )(sin1 y类似有类似有oxy1 12 2 例例1717.arctan的导数的导数求函数求函数xy 解解,tan yx )(arctan xy2sec1 y2tan11 .112x 211)(arctanxx 211)cotarc(xx )(tan1 y类似有类似有xx22tan1sec xy2 2 65)(arcsin x)(arctan x,112x )(arccos x,1
31、12x ,112x )cotarc(x.112x 反三角函数的导数公式反三角函数的导数公式66例例18 18 求下列函数的导数：求下列函数的导数：axaxaxyarcsin22222 )0(a2221xay 22222222212121xaaxaxxa .22xa 22222xaxx aaxa1)(11222 22222121xaxa 67(十二十二)隐函数的导数隐函数的导数如如果果二二元元方方程程0),(yxF确确定定了了一一个个函函数数)(xyy ，称称之之为为隐隐函函数数。问题问题：隐函数隐函数能否不经显化而直接求导能否不经显化而直接求导?求由方程求由方程222ayx 所确定的隐函数所确
32、定的隐函数)(xyy 的导数的导数.方方程程两两边边关关于于 x求求导导(将将 y视视为为 x的的函函数数),得得 解解得得 yxy .显显化化后后,22xay ,另另一一分分支支:22xay ,例例1919解解x2比较：比较：22xaxy ；yx 22xaxy .yx y2 y，0 69求求由由方方程程pxy22 所所确确定定的的隐隐函函数数)(xyy 的的导导数数.解解例例2020pyy22 解得解得.ypy 方程两边关于方程两边关于 x 求导求导,得得 求求由由方方程程yxyln 所所确确定定的的隐隐函函数数)(xyy 的的导导数数.解解例例2121yyxyy 1ln解得解得.lnxyy
33、yy 方程两边关于方程两边关于 x 求导求导,得得 70求求由由方方程程ee xyy所所确确定定的的隐隐函函数数)(xyy 在在0 x处处的的导导数数.例例2222解解当当0 x时时,1 y,ye，解解得得xyyy e .e1|0 xy注注：先代入数值，再解方程，较简便。：先代入数值，再解方程，较简便。y y yx ，0 01e y.e1|0 xy方程两边关于方程两边关于 x 求导求导,得得 71方程方程 422 yxyx 确定确定 y 是是 x 的函数，求其的函数，求其曲线上在点曲线上在点)2,2(处的切线方程和法线方程。处的切线方程和法线方程。解解例例2323022 yyyxyx所求切线方
34、程为所求切线方程为方程两边关于方程两边关于 x 求导求导,得得 将将2,2 yx代代入入，,04224 yy解得解得1 y，,)2(12 xy即即04 yx；法法线线方方程程为为)2(12 xy，即即0 yx。72解解 先变形为先变形为,)ln(21arctan22yxxy ,2221)/(112222yxyyxxyyxxy ,yyxyyx .yxyxy 再再两边关于两边关于 x 求导求导，22lnarctanyxxy 确定确定 y 是是 x 的函数，求的函数，求y。例例242473(十三十三)取对数求导法取对数求导法观察函数观察函数方法方法：先在方程两边先在方程两边取对数取对数，然后利用隐函
35、数的然后利用隐函数的求导方法求出导数求导方法求出导数。适用范围适用范围：.)()(的的情情形形函函数数较较复复杂杂的的函函数数以以及及幂幂指指用用乘乘、除除、根根式式表表达达比比xvxu.,e)4(1)1(23xxxyxxxy 例例2525解解142)1(3111e)4(1)1(23 xxxxxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln142)1(3111 xxxyy.e)4(1)1(23的的导导数数求求函函数数xxxxy 注意：需把注意：需把 y 换回成原来表达式换回成原来表达式。上式上式两边关于两边关于 x 求导求导,得得75严格讲严格讲,取
36、对数时应取绝对值取对数时应取绝对值,如如|ln2ln2xx ,但但 说明：说明：,0 x)|(ln x,0 x)(1 xx,1x )ln(x所以所以.1)|(lnxx ;1)(lnxx )|(ln x故省略绝对值。故省略绝对值。76练习：练习：解解)41312111()4)(3()2)(1(21 xxxxxxxxy等式两边取对数得等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy)41312111(21 xxxxyy.)4)(3()2)(1(的的导导数数求求函函数数 xxxxy上式上式两边关于两边关于 x 求导求导,得得77例例2626解解.),0(yxxyx 求求设
37、设等式两边取对数得等式两边取对数得,lnlnxxy ,1ln xyy)1(ln xyy.)1(ln xxx或解或解)(xx)e(ln xx)e(ln xx)ln(eln xxxx)1(lneln xxx.)1(ln xxx对数恒等式对数恒等式)(lne)(xfxf 上式上式两边关于两边关于 x 求导求导,得得78例例2727解解.dd,xyyxxy求求设设 等式两边取对数得等式两边取对数得,lnlnyxxy,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 方程方程两边关于两边关于 x 求导求导,得得79思考：思考：解解?,sin yxxyx则则设设,xxu 设设,)1(ln xxu
38、x.cos)1(ln xxxyx 所以所以用对数求导法得用对数求导法得-局部对数求导法局部对数求导法?)sinln(xxx 80例例2828求求幂幂函函数数 xy 的的导导数数。解解)(x)e(ln x xx )e(lnxx .1 x1)(xx81(十四十四)由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得xttyxydddddd txtydd1dd ，)()(tt 即即若参数方程为若参数方程为 )()(tytx 确定了确定了 y 是是 x 的函数，则称此函的函数，则称此函数为由参数方程所确定的函数数为由参数方程所确定的函数
39、设设函函数数)(tx 具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数)(1xt ，于于是是)(1xy ,再再设设)(),(tytx 都都可可导导，且且0)(t，.ddttxyxy 例例2929解解设设 ttytxarctan)1ln(2，求，求.ddxy tytyxydddddd 2212111ttt .2t 83例例3030解解txtyxydddddd，ttcos1sin taatacossin 1dd2 txy.2)cos1()sin(处处的的切切线线方方程程在在求求摆摆线线 ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为，)12(axay.)22(axy即即
40、xyotaMPSNQ84(十五十五)导数公式导数公式)(C,0)(x,1 x)(x)1(x,21x,12x )(xa)e(x)(log xa,lnaax)(ln x,ex,ln1ax,1x)(sin x,cos x)(cos x.sin x )(tan x,sec2x)(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx)(csc x.cotcscxx )(arcsin x,112x )(arccos x,112x )(arctan x,112x )cotarc(x.112x vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu )()()(xufxf ucuc )()(1)(1xfxf
41、 )()(dd,)()(ttxytytx 86第四节第四节 高阶导数高阶导数问题：问题：变速直线运动的加速度。变速直线运动的加速度。),(tfs 设路程函数为设路程函数为)()(tftv 则则瞬瞬时时速速度度为为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva)()()(tftvta如果如果)(xfy 的导数的导数)(xfy 仍可导仍可导,则则)(xf称为称为)(xf的二阶导数的二阶导数,记为记为)(xfy 或或22ddxy.一般一般,如果如果)(xf的的)1(n阶导数仍可导阶导数仍可导,则它的导数则它的导数称为称为)(xf的的n阶导数阶导数,记记)()(xfn或或nnxydd.)d
42、d(ddxyx87解解例例1 1 求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数：bxay )1(nxycos )2(xysine )3(xytanln )4(1),ay .0 y(2),sinnxny .cos2nxny (3),cosesinxyx xxyxxsinecosesin2sin .)sin(cose2sinxxx (4)xxytansec2 xxcossin1,2sin2x.2sin2cos42xxy 88例例2 2解解21ln21/11/122 xxxy.ln1arctanyxxxy 求求设设，21ln21112 xx.21)1(2 22xxxy 所所以以，xxxyln211ar
43、ctan 89例例3 3解解)11(1122xxxxy .)1ln(2yxxy 求求设设，211x )11(2 xyxx2)1(21232 .)1(232xx 212)1(x90例例4 4求求 n 阶导数：阶导数：.),0()(nyxy求求设设 解解，1 xy)(1 xy，2)1(x，3)2)(1(xy .)1()1()(nnxny 则则不不为为正正整整数数若若,)(ny,!n)!()1(nyn,0 则则为为正正整整数数若若,n，nxy ，1 nnxy，2)1(nxnny，91例例5 5.,1)(nyxy求求设设 解解,2,1 ,!)1()1(1)(nxnxnnn,12xy .!)1(1)(n
44、nnxny,23xy ,324xy 92例例6 6.,ln)(nyxy求求设设 解解，xy1 .!)1()1(1)(nnnxny ,2,1 ,!)1()1(1)(nxnxnnn93例例7 7.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos ,)2sin(x)2cos(xy)22sin(x,)22sin(x,2,1 ,)2sin()(sin)(nnxxn,2,1 ,)2cos()(cos)(nnxxn 类似可得类似可得归纳可证归纳可证94xy2sin,求求)(ny.xxycossin2 2)1(2sin21)(nxynn，x2sin,22cos1sin2xx ,)2sin()(sin)(nxxn)
45、2cos()(cos)(nxxn例例8 8)()2(sinnx)22sin(2 nxn解解或解或解)(2)(sinnx)22cos(221 nxn.)22cos(21 nxn常用常用 n 阶导数公式：阶导数公式：nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)6(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxe)e()(1)(!)1()1()5(nnnxnx(不为正整数不为正整数)96第五节第五节 函数的微分函数的微分实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形
46、金属薄片受热后面积的改变量.,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正正方方形形面面积积2020)(xxxA .)(220 xxx (1)(2)(1),;xA的线性函数 且为的主要部分(2).x 的高阶无穷小(一一)微分的定义微分的定义是是否否所所有有的的y 都都能能分分成成两两部部分分：一一部部分分是是x 的的线线性性部部分分，其其余余部部分分是是x 的的高高阶阶无无穷穷小小？3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx 问题：问题：再如，设函数再如，设函数3xy 在点在点0 x处的改变量为处的改变量为x 时，时，则函数则函数的改变量为的改变量为当当0 x时时，(
47、1)是是x 的的线线性性部部分分，(2)是是x 的的高高阶阶无无穷穷小小)(xo ，(1)(2)及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数0,)(xxfy 定义定义)()(00 xfxxfy 如如果果,0无无关关的的常常数数而而与与是是仅仅依依赖赖于于其其中中xxA)(xoxAy 时可表示为时可表示为当当0 x是是比比)(xo ，高高阶阶的的无无穷穷小小量量x 即即或或记记作作,|d|d00 xxxfy 则则称称函函数数)(xfy 在在点点0 x可可微微，并并称称xA 为为)(xf在在点点0 x相相应应于于自自变变量量x 的的微微分分,xAyxx 0|d,0在在这这区区间间内内xx di
48、fferential99定理定理证证(1)必要性必要性,)(xxoAxy xyx 0lim 则则,A)(lim0 xxoAx xxoAx )(lim0函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可导导，且且有有xxfy )(d0.若若函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可微微，即即 即函数即函数)(xfy 在点在点0 x处处可导，可导，且有且有Axf )(0.,)(xoxAy 100函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可导导，且且有有x
49、xfy )(d0.定理定理证证(2)充分性充分性设设函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可导导，即即 于于是是 )(xoxAy ,即即 )(xoxAy ,)(lim00 xfxyx ,A记记,0)(lim0 Axyx,0lim0 xxAyx由由微微分分的的定定义义知知，函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可微微.101可导可导可微可微.)(d)(xxfyxfy 的的微微分分为为函函数数Axf )(0 xxfyd)(d 时时，当当xxf)().(ddxfxy 所以导数也称为所以导数也称为“微商微商”.)(xoxAy .1dd xxxy 所所以以，1)(xf102(二二)微分的几何意义微分
50、的几何意义)(xfy 0 xMNTydy)(xo ）yxo x 几何意义几何意义：(如图如图).d,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当yy xx0 P.,|MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 以直代曲以直代曲)(xoxAy xyy d103例例1 1解解求求函函数数xysin 在在点点0 x和和2 x的的微微分分.xxyd)(sind ,dcosxx 所以所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例例2 2解解.02.0,23时的微分时的微分当当求函数
