1、第25讲 矩阵的概念及运算知识点概要1.矩阵：个实数排成行列的矩形数表叫做矩阵。记作，叫做矩阵的维数。矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。3.线性方程组矩阵的三种变换：互换矩阵的两行；把某一行同乘（除）以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行。4.矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B）.运算律：加法交换律：A+B=B+A；加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（2）矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A.运算律：
2、分配律：； 结合律：；（3）矩阵的乘积：设A是阶矩阵，B是阶矩阵，设C为矩阵。如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积，记作：Cmn=Amk Bkn.运算律：分配律：，； 结合律：，；注意：矩阵的乘积不满足交换律，即.换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。精选同步练习一、填空题1方程组对应的增广矩阵为_【答案】【分析】利用增广矩阵的定义即可求解.【解析】方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组对应的增广矩阵为，故答案为：2已知一个关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵是，则_
3、【答案】【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式为，由此能求出的值.【解析】由二元线性方程组的增广矩阵是，可得到二元线性方程组的表达式为，解得：，所以，故答案为：3计算_【答案】【分析】根据矩阵乘法运算法则求得正确结论.【解析】.故答案为：4已知矩阵，则_；【答案】【分析】根据矩阵的运算求解即可.【解析】因为矩阵，所以，故答案为：5_.【答案】【分析】直接利用矩阵的乘法的性质计算即可得到结论.【解析】由矩阵的乘法的性质可得： 故答案为：.【点睛】本题考查矩阵乘法的运算，注意解题方法的积累，属于基础题.6矩阵的第2行的行向量是_【答案】【分析】根据行向量定义即可得结果.【解
4、析】的第2行的行向量是,故答案为：【点睛】本题考查矩阵行向量概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7已知，则_.【答案】【分析】直接根据矩阵运算法则得到答案.【解析】.故答案为：.【点睛】本题考查了矩阵的运算，属于简单题.8，则_【答案】【分析】直接利用矩阵的运算法则计算得到答案.【解析】.故答案为：.【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力和对于矩阵运算的理解和掌握.9若线性方程组的增广矩阵是，解为，则_；【答案】12【分析】根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将代入线性方程组即可得到的值，即可得答案【解析】由题意，此增广矩阵对应的线性方程组为：将代入方程组得：.故答案为：.
5、【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数，属于基础题.10计算：_【答案】【分析】根据矩阵乘法的计算法则即可计算出来。【解析】根据矩阵乘法的计算法则，可知【点睛】本题主要考查了矩阵乘法的计算法则，属于基础题。11在行列矩阵中，若记位于第行第列的数为，则当时，_.【答案】66【分析】观察矩阵,依次写出,进而求和即可【解析】由题, 若记位于第行第列的数为,当时,，, 所以,故答案为：66【点睛】本题考查利用矩阵的特征求值,考查分析探索规律的能力12二阶方阵称距阵为A的转置矩阵记作，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）是“”
6、的充分不必要条件；其中真命题的序号为_.【答案】（1）（2）（4）【分析】根据题意，利用矩阵的加法和乘法运算，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【解析】对于（1），设，正确；对于（2），设，正确；对于（3），故错误；对于（4），若，则，故充分性成立；反之若满足，故必要性不成立，正确.故答案为：（1）（2）（4）【点睛】本题考查了二阶矩阵的新定义，矩阵的加法和乘法运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于中档题.二、单选题13关于、的二元一次方程组的增广矩阵为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得结果.【解析】关于的二元一次方程组的增广矩阵为，故选
7、：C14方程组有非零解是的（ ）A充分条件B充要条件C必要条件D非充分非必要条件【答案】C【分析】化简方程组得，不妨设，则，解得，而是的必要不充分条件，由此可得到正确选项.【解析】由，化简可得，依题意，不妨设，则，解得，而是的必要不成分条件，所以方程组有非零解是的必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查必要条件的判定，二元一次方程组解的存在性，二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想.属于中档题.15对二元一次方程组的增广矩阵经过一系列的初等行变换，得：，则列向量为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先根据题意得到，再代入方程组即可得到答案.【解析】二元一次方程组的增广矩阵经过一系列
8、的初等行变换，得：，所以，所以，即.列向量为.故选：A【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，属于简单题.16矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点在矩阵作用下变换成点，若曲线，在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】设点是曲线上的一点，在矩阵的作用下的点为，可得出，代入方程化简后与方程作比较，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.【解析】设点是曲线上的一点，在矩阵的作用下的点为，即，代入方程，得，即，得，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，解题的关键就是利用待定系数法求出参数的值，考查运算求解
9、能力，属于中等题.三、解答题17求矩阵，满足【答案】【分析】直接根据矩阵的运算法则计算得到答案.【解析】，则.【点睛】本题考查了矩阵的运算，意在考查学生的计算能力和对于矩阵运算的理解和掌握.18用矩阵变换的方法解方程组：.【答案】.【分析】写出方程组的增广矩阵，然后通过矩阵变换求方程组的解.【解析】原方程组的解为.【点睛】本题考查用矩阵变换的方法解方程组，利用矩阵变换解线性方程组的一般过程为：写出方程组的增广矩阵，通过矩阵变换使系数矩阵变成单位矩阵，则增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解；考查运算求解能力，是基础题.19已知矩阵，求矩阵，使.【答案】【分析】设，计算出可得关于诸未知数的方程
10、组，求出其解后可得.【解析】设，则由，得，【点睛】本题考查矩阵方程的解，此类问题常转化为方程组的解，本题为基础题.20已知，其中，若，求（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据矩阵相等得到，利用和差公式计算得到答案.（2）根据结合角度范围得到，得到答案.【解析】（1）由，即，则.（2）得或，故.【点睛】本题考查了相等矩阵，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21已知，求（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接由矩阵的乘法运算法则计算即可；（2）直接由矩阵的乘法运算法则计算即可；（3）由（1）中的，再利用矩阵的
11、乘法运算法则先计算；（4）由，结合（3）的结果可得解.【解析】解：（1）（2）（3）（4）【点睛】矩阵的乘法运算要注意：（1）两个矩阵相乘的前提是前一个矩阵列数与后一个矩阵的行数相同（2）矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律，属于基础题.22设二阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵时，点、经矩阵变换后得到点分别是、，求经过点、的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析
12、】（1）由给出的变换矩阵定义求出、的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；（2）设直线方程为：，求出其上点关于矩阵变换后的点也满足直线的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；（3）因为点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，所以有： ，解之得： ，再根据，得出即可.【解析】（1）由题意得：，即，解之得： ，所以；，即，解之得： ，所以，则，所以方程为 ，即；（2），即 ，设：（不全为），：，即，由题知，与重合得，所以或，得，得或，即，；（3）因为与关于直线对称，所以有： ，解之得： ，故，所以.【点睛】本题考查矩阵变换问题，考查矩阵的求法，考查运算能力与转
13、化思想，属于中档题23矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，记，且.（1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标；（2）若平面上相异的两点、在矩阵的作用下，分别变换为点、，求证：若点为线段上的点，则点在的作用下的点在线段上；（3）已知的顶点坐标为、，且在矩阵作用下变换成，记与的面积分别为与，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），若变化矩阵为，则.【分析】（1）直接根据矩阵变换的计算，可得点的坐标；（2）先求变换后的坐标，再利用斜率相等，即可证得共线；（3）求出点，利用行列式计算三角形面积即可.【解析】（1）设，则，解得：，.（2）设，三点共线，点在的作用下的点在线段上.（3），.若矩阵为，则.【点睛】本题考查矩阵与变换的综合运用、利用行列式求三角形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，计算量较大.
