1、圆1、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧2、圆周角定理（1）、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 （2）、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是、所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那
2、么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。3、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 4过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个) (3)经过三点的圆 经过在同一直线上三点不能作圆过不在同一直线上三个点可以作且只可以作
3、一个圆作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个5三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆这个三角形叫做圆的内接三角形三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。如图，O为ABC的外接圆，O为ABC的外心，ABC是O的
4、内接三角形。说明：1、锐角三角形的外心在三角形的内部2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。6三角形的“四心”在三角形中：三边垂直平分线的交点叫外心；三角平分线的交点叫内心；三边中线的交点叫重心；三边上高的交点叫垂心7经过四点的圆(1)四点中任意三点都不在同一条直线上，用三条线段将这4个点连接起来，分别作这三条线段的垂直平分线，如果这三条垂直平分线交于一点，则有经过4点的圆，否则没有(2)要判定4点是否共圆，只要看能否找到一点到这4点的距离相等三、典型例题1、如图所示，AB是O的直径，AD
5、=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个2如图2，已知AB是O的直径，BC为弦，A BC=30过圆心O作ODBC交弧BC于点D，连接DC，则DCB= 3如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 .4、在ABC内，AB=20，AC=15，高AD=10,求能完全覆盖ABC的圆的最小半径长5.如图，内接于， D为BC上一点,且AD=5,CD=3,AC=7,AB=10求的外接圆的面积6. 已知AD是ABC的外接圆直径，CEAD交A
6、D于F，交AB于E，求证AC2ABAE7、如图，点A、B、C、D都在O上，OCAB，ADC=30（1）求BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形8、如图，AB是O的直径，=，COD=60（1）AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OCBD9、如图，已知：P为O外一点，过P作O的两条割线，分别交O于A、B和C，D，且AB是O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。（1）求证：OCBD；（2）如果PA=AO4，延长AC与BD的延长线交于E，求DE的长。四、随堂巩固练习1.下列条件,可以画出圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径; C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径2.
7、三角形的外心是( ) A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点3.下列命题不正确的是( ) A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个 C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆4.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形5.等腰直角三角形的外接圆半径等于( ) A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高6.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ) A.1个或3个 B.3个或4个C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个7.如图、O的直
8、径AB长为10，弦AC长为6，的平分线角与，则的长为（）A.7 B.7 C.8 D.98.若等边三角形的边长为12，则他的外接圆的面积为 .9. 在ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求ABC的外接圆半径10. 如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由11.如图，O是ABC的外接圆，BAC的平分线与ABC的平分线相较于点I，延长AI交圆O与点D,连接BD,DC.(1) 试说明BD=DC=DI(2) 若O的半径为10厘米，BAC=120，求BDC的面积12.已知BC为半圆O的直径，
9、ADBC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AEBE，求证：弧AB弧AF AHBC2AFBE易错题1.在ABC中，A=90，AB=3，AC=4，O为外心，以O为圆心，2为半径作圆O，则A点与圆O的位置关系是 ；直线AB与圆O的位置关系是 ；若以A为圆心，r为半径的圆A与线段BC只有一个交点，r的范围 2.在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度为8m，那么油的深度是 3.在圆O中，圆O的半径为6厘米，弦AB的长为6厘米，则弦AB所对的圆周角是 4.在同圆中，弧AB=2弧CD，那么弦AB和CD的关系是 5.已知圆O的半径为13cm,弦ABC
10、D，AB=24cm，CD=10cm,则AB、CD之间的距离是 转换法在垂径定理中的应用1. 如图，已知在O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在O及半径OM、OP上，并且POM=45，则AB的长为 变式：如图，在半径为1米，圆心角为60的扇形中有一内接正方形CDEF，则正方形CDEF面积是 F 2.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，AD=1，DE=3，AG=2，那么OG= 变式：如图，为了测量一圆形工件的直径，一同学想利用一宽为1cm的矩形纸条放在这个圆形工件上，量得ABBC6cm，DE5cm，请你帮助分求得该工件的直径的长度。圆中动点问题的探究1.如图，
11、MN是O的直径，MN=2，AMN=30，B点是弧AN的中点，P是直径MN上的动点，则PA+PB的最小值为 2.如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 垂径定理在坐标系中应用1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标2.如图，已知直径为OA的P与x轴交于O、A两点，点B、C把半圆ABC三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）（1）求证：PODABO；（3）若直线
12、l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式 垂径定理在计算题中应用1.如图，在ABC中，以AB边为直径的O交BC于点D，CEAB分别交O于点E、F两点，交AB于点G，连接BE、DE（1）求证：BED=BCE；（2）若ACB=45，AB=，CD=2，求BE及EF的长垂径定理在实际生活中的应用1.一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。如图所示，AD2.3米，CD2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？变式：某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？D补充：相交弦定理C1. 如图所示，P为弦AB上一点，CPOP交O于点C，AB8，AP:PB1:3，求PC的长。2.如图，AB是O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交O于点D若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是_五、课后作业： .如图,已知ABC的一个外角CAM=120,AD是CAM的平分线,且AD与ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E. (1)判断FBC的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.
