1、江苏教科院高考指导卷 数学试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡 相应位置上. 1已知集合3 , 2 , 1A，4 , 3 , 1A，则 AB _. 2已知复数 i i z 1 21 （其中i为虚数单位） ，则z的实部为_. 3根据下图所示的算法，可知输出的结果为_. 4受疫情影响，2020 年春季各校采取了线上教学方式，某高中校调查了 200 名学生每周的线上学习时间 （单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是30, 5 .17，样本数据分组为 20, 5 .17，5 .22,20，5 .
2、27,25，30, 5 .27.根据频率分布直方图，这 200 名学生中每周的线上学习时间 不少于 22.5 小时的人数是_. 5某校开设 5 门不同的选修课程，其中理科类 3 门和文科类 2 门，某同学从中选修 2 门课程，则该同学 恰好选中 1 文 1 理的概率为_. 6已知函数 x xx xf cos ，且 2af，则af 的值是_. 7若实数 , x y 满足约束条件 , 0 , 01 , 022 y yx yx 则yxz23 的最大值为_. 8如图，在三棱柱 111 CBAABC 中，点ED,分别是棱 11 ,CABC的中点.设三棱锥ABDE 的体积为 1 V， 三棱柱 111 CB
3、AABC 的体积为 2 V，则 2 1 V V 的值是_. 9已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足03 104 aa，则 12 18 S S 的值为_. 10已知是第一象限的角，且 5 4 2cos，则 tan1 tan1 的值为_. 11 在平行四边形ABCD中， 已知2AB，7AC，1AD， 若点QP,满足APAC3，AQAB2， 则DQAP的值为_. 12已知正实数yx,满足1 21 yx ，则 x y x 2 的最小值为_. 13在平面直角坐标系xOy中，已知圆4: 22 yxO，若对圆O上任意一点p，直线ayx上均存 在一条长度为 6 的线段EF，使得0PFPE，则实数a
4、的取值范围是_. 14 已知函数 Rxmxxxf 2 1 2 ， 且 xfy 在2 , 0上的最大值为 2 1 ， 若函数 xaxfxg 有 4 个不同的零点，则实数a的取值范围为_. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15（本小题满分 14 分） 已知向量 2 1 ,2cos xa， xb2sin, 2 3 ，函数 baxf. （1）求函数 xf的最小正周期； （2）在ABC中，角CBA,的对边分别为.cba,若锐角A满足 2 1 Af， 6 C，2C，求边BC 上的高. 16（本小题满分 14 分） 已知
5、在如图的多面体中，EF平面AEB，EBAE ，EFAD/，BCEF /，42ADBC，3EF， 2 BEAE，G是BC的中点. （1）求证：/AB平面DEG； （2）求证：EGBD . 17（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的两个焦点分别为0 , 1 1 F和 2 1,0F ，且 点 2 2 , 1在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与圆1: 22 yxO相切，切点在第一象限，且l与椭圆C交于BA,两点，若OAB的面积 为 3 2 ，求直线l的方程. 18（本小题满分 16 分） 如图，某地有一块三角
6、形水域ABC，其中BCAC ，kmCA3，kmCB3，政府准备在该水域的中 间搭建一个如图所示的三角形平台CMN供游客休息， 点NM,都在边AB上 （NM,不与BA,重合，M在 NA,之间） ， 6 MCN，现要在CBCN,上分别距点C为 1km 处的FE,之间搭建一条以C为圆心的 圆弧型廊桥弧EF，在CN及廊桥弧EF上设立钓位供游客垂钓，记ACM. （1）试将CN及弧EF的长度之和表示为的函数 f； （2）求函数 f的最小值. 19（本小题满分 16 分） 已知函数 Raxaxxfln2 2 . （1）当1a时，求函数在点 1, 1 f处的切线方程； （2）是否存在不相等的正实数nm,，满足
7、 2 nm ，且 nfmf？若存在，求出a的取值范围；若不 存在，请说明理由. 20（本小题满分 16 分） 若数列 n a中存在不同的三项构成等比数列，则称数列 n a是等比源数列. （1）记数列 n a的前n项和为 n S，已知22 1 nS n n . 求数列 n a的通项公式； 判断数列 n a是否为等比源数列，并证明你的结论； （2）证明： Qa，数列an都是等比源数列. 数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按 作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A选修 4-2：矩阵与变换（本小题
8、满分 10 分） 已知Rba,，向量 a 1 是矩阵 b A 0 31 的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵 1 A. B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程是 ,sin ,cos3 y x （是参数）.以原点O为极点，以x轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是24 4 sin p. （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设P为曲线 1 C上的动点，Q为曲线 2 C上的动点，求线段PQ长度的最小值，并求此时点P的直角坐 标. C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 若
9、zyx,为实数，且694 222 zyx，求zyx62 的最大值. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22（本小题满分 10 分） 如图，ABC中，4 BCAB， 90ABC，FE,分别为ACAB,边的中点，以EF为折痕把AEF 折起，使点A到达点P的位置，且BEPB . （1）证明：BC平面PBE； （2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值. 23（本小题满分 10 分） 已知函数 xxxxf33 23 ，若数列 n a满足：2 , 1 1 a， nn afa 1 . （1
10、）用数学归纳法证明：2 , 1 n a； （2）证明：120 2 1 1 i n i ii aaa，其中 * Nn. 参考答案 【答案】14 , 3 , 2 , 12 2 1 3641405 5 3 6 4 768 6 1 9 12 13 10 2 11 6 1 123132,214 ,2222 , 0 解答与提示： 1.4 , 3 , 2 , 1BA. 2 2 3 2 1 11 121 1 21i ii ii i i z ，所以z的实部为 2 1 . 36. 4由频率分布直方图可知，这 200 名学生每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为 7 . 05 . 204. 008. 016.
11、 0，故这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为 200 0.7140 . 5总的基本事件数为 10，则该同学恰好选择 1 文 1 理的概率 5 3 10 32 P. 6因为 1 coscos x x x xx xf，所以 x x xfxg cos 1为奇函数，所以 0agag，即 2afaf，因为 2af，所以4af. 7作如图可行域，当直线经过点0 , 2A时，z取得最大值 6. 8设三棱柱 111 CBAABC 的高为h，则. 6 1 2 3 1 3 1 2 1 hS hS hS hS V V ABD ABD ABC ABD 9设公比为q，则 6 4104 33q
12、aaa，于是 3 1 6 q，所以 12 13 3 1 1 9 1 3 1 1 1 1 6 6 6 126 12 18 Sq Sqq S S . 10法一：因为 5 4 2cos，为第一象限，所以 5 3 2sin， 所以 sincossincos sincos sincos sincos cos sin 1 cos sin 1 tan1 tan1 2 2 5 4 5 3 1 2cos 2sin1 sincos 2sin1 2 . 法二：.2 5 4 5 3 1 2cos 2sin1 2 2 sin 2 2 cos1 4 tan tan1 tan1 法三： 5 4 tan1 tan1 2cos
13、 2 2 ，所以9tan2，因为为第一象限，所以3tan，所以 2 tan1 tan1 . 11因为ADABAC，平方得ADAB2147，所以1 ADAB， 6 1 3 1 6 1 6 1 2 1 3 1 22 ADADABABADABADABADAQAPDQAP. 123 2 2 1 2 21 2 x y y x x y yx x x y x，当且仅当1, 2yx取等号，所以 x y x 2 最小值为 3. 13设EF中点为点M，因为 0 4 44 4 2222 MEPMPFPEPFPE PFPE，所以 3 MFPM，过P作直线ayx的垂线，垂足为H，则3PH，过O作直线ayx的垂线，垂 足
14、为 H ，因为对任意点p满足上式，所以32 HO，即1HO，解得2,2a. 14若0m，则 xfy 在2 , 0上单调递增，此时 xfy 有最小值 2 1 ，不合题意，所以要使 xfy 在2 , 0上有最大值 2 1 ，m必然小于 0. 若2 2 m ，即4m，则 2 7 2 9 22mf，不合题意； 若2 2 m ，即4m，则 , 2 1 42 1 , 2 1 2 9 2 2 m m 解得2m，所以 . 2 1 2 2 xxxf 法一：若函数 xaxfxg有 4 个不同的零点，则 xfy 的图象与xay 的图象 4 个交点，所以 0a . 当axy 与 2 1 2 2 xxy的图象有 1 个
15、交点时，方程0 2 1 2 2 xax有两等跟，所以 022 2 a，解得22a； 结合图象可知，当 xfy 的图象与xay 的图象 4 个交点时，可得220 a或 22a ，所以 实数a的取值范围是 ,2222 , 0. 法二：方程xaxx 2 1 2 2 有四个不等实根，显然0x不是方程的根，所以 x xa 2 1 2，当直线 ay 与曲线 x xy 2 1 2有四个交点，当0x时，222 2 1 x xy； 当0x时，222 2 1 x xy，所以实数的取值范围是 ,2222 , 0. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
16、 程或演算步骤. 15 （本小题满分 14 分） 已知向量 2 1 ,2cos xa， xb2sin, 2 3 ，函数 baxf. （1）求函数 xf的最小正周期； （2）在ABC中，角CBA,的对边分别为.cba,若锐角A满足 2 1 Af， 6 C，2C，求边BC 上的高. 解： （1） 3 2sin2sin 2 1 2cos 2 3 xxxbaxf，所以 2 2 T. （2） 2 1 3 2sin AAf，所以 2 1 3 2sin A， 因为 2 , 0 A，所以 3 2 , 33 2 A，所以 63 2 A，所以 4 A， ABC中，由 C c A a sinsin ，数据代入得22
17、a 法一： 4 26 2 1 2 2 2 3 2 2 sincoscossinsinsin CACACAB， 13 4 26 222 2 1 sin 2 1 BacS ABC ，记边BC上的高为h， 又1322 2 1 2 1 hahS ABC ，所以 2 26 h， 即边BC上的高 2 26 . 法二：由 bc acb A 2 cos 222 知 b b 4 84 2 2 2 ， 所以0422 2 bb，又0b，所以26 b， 13 2 2 262 2 1 sin 2 1 AbcS ABC . 记边BC上的高为h，又1322 2 1 2 1 hahS ABC ，所以 2 26 h， 即边BC
18、上的高为 2 26 . 16 （本小题满分 14 分） 已知在如图的多面体中，EF平面AEB，EBAE ，EFAD/，BCEF /，42ADBC，3EF， 2 BEAE，G是BC的中点. （1）求证：/AB平面DEG； （2）求证：EGBD . 证明： （1）因为BCEFEFAD/,/，所以BCAD/. 又因为ADBC2，G是BC的中点，所以BCAD/且BCAD ， 所以四边形ADGB是平行四边形，所以.DGAB/ 因为AB平面DEG，DG平面DEG，所以/AB平面DEG 证明： （2）因为EF平面AEB，AE平AEB面，所以AEEF ， 又EBAE ，EEFEB，EFEB,平面BCFE，所以
19、AE平面BCFE. 过D作AEDH /交EF于H，则DH平面BCFE. 因为EG平面BCFE，所以EGDH . 因为AEDHEFAD/,/，所以四边形AEHD为平行四边形， 所以2 ADEH，所以2 BGEH， 又BGEH /，BEEH ，所以四边形BGHE为正方形，所以EGBH ， 又HDHBH，BH平面BHD，DH平面BHD，所以EG平面BHD. 因为BD平面BHD，所以FGBD . 17 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的两个焦点分别为0 , 1 1 F和 2 1,0F ，且 点 2 2 , 1在椭圆C上. （1
20、）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与圆1: 22 yxO相切，切点在第一象限，且l与椭圆C交于BA,两点，若OAB的面积 为 3 2 ，求直线l的方程. 解： （1）因为椭圆C的两个焦点为0 , 1 1 F和0 , 1 2 F，点 2 2 , 1在此椭圆上， 所以220 2 2 110 2 2 112 2 2 2 2 a， 1c ， 所以1,2, 1 22 cabac，所以椭圆方程为.1 2 2 2 y x （2）因为直线l与圆1: 22 yxO相切，切点在第一象限， 所以设.0, 0:mkmkxyl 所以圆心O到直线l距离为1 1 2 k m d，所以1 22 km. 设 2211 ,y
21、xByxA，由 , 1 2 , 2 2 y x mkxy 可得022421 222 mkmxxk， 所以08128121816 2222222 kmkkmmk，所以 2 2 21 2 21 21 22 , 21 4 k m xx k km xx 因为 3 2 ACB S，所以 3 2 1 2 1 AB，所以 3 4 AB 且 21 2 21 2 21 2 2 21 2 21 411xxxxkxxkyyxxAB 2 2 2 2 22 2 21 8 1 21 8816 1 k k k k mk k ，所以 3 4 21 8 1 2 2 2 k k k. 解之得02 24 kk，所以1 2 k或2（
22、舍） ， 所以1k，解得2m，所以直线l的方程为2xy. 18 （本小题满分 16 分） 如图，某地有一块三角形水域ABC，其中BCAC ，kmCA3，kmCB3，政府准备在该水域的中 间搭建一个如图所示的三角形平台CMN供游客休息， 点NM,都在边AB上 （NM,不与BA,重合，M在 NA,之间） ， 6 MCN，现要在CBCN,上分别距点C为 1km 处的FE,之间搭建一条以C为圆心的 圆弧型廊桥弧EF，在CN及廊桥弧EF上设立钓位供游客垂钓，记ACM. （1）试将CN及弧EF的长度之和表示为的函数 f； （2）求函数 f的最小值. 解： （1）因为BCAC ，kmCA3，kmCB3，所以
23、 3 CAB， 6 CBA. 又因为ACM， 6 MCN，所以 2 ACNCABCNBCNA. 在CAN中，由 CNA CA CAB CN sinsin ，得 cos2 3 CN， 因为 362 CBACNANCB，半径为1CE， 所以弧 3 EF，易知 3 0 ，所以 3 , 0, 3cos2 3 f. （2）由（1）知 2 2 2 cos2 cos2sin3 1 cos2 sin3 f ， 令 0f，得0cos2sin3 2 ，即02sin3sin2 2 ， 解得2sin（舍）或 2 1 sin 因为 3 0 ，所以 6 . 当变化时， ff,的变化情况如下表： (0,) 6 6 (,)
24、6 3 ( )f 0 ( )f 极小值 所以当 6 时，函数 f取得极小值，也是最小值，且最小值为 6 3 答：函数 f的最小值为 6 3 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 Raxaxxfln2 2 . （1）当1a时，求函数在点 1, 1 f处的切线方程； （2）是否存在不相等的正实数nm,，满足 2 nm ，且 nfmf？若存在，求出a的取值范围；若不 存在，请说明理由. 解： （1）当1a时， xxxfln2 2 ， x xxf 2 2 ，切线的斜率为 01 f ， 而 11 f，所以切线的方程为1y； （2）由 2 nm 及 nfmf，得mammamlnln2 2 ， 即0ln
25、 2 ammam， 由于nm,为互不相等的实数，所以方程0ln 2 axxax有不等于 1 的正实根. 令 axxaxxhln 2 ，当0a时，若1 , 0x，则 0ln1xxaxxh； 若 , 1x，则 0ln1xxaxxh. 所以方程没有不等于 1 的实根； 当0a时， x aaxxh 1 2，令 0 x h，得 a aaa x 4 8 2 0 ， 0 , 0 xx时，0 x h， xh是减函数； , 0 xx时， 0 x h， xh是增函数. 所以 xh的最小值为 0 xh，又 01 h， 当1 0 x时，即1a时，1x是函数 xh的唯一的零点，不合题意； 当1 0 x时，即1a时， 0
26、1 0 hxh，且a aa hln1 11 ， 令 1ln1 1 xx x xt，则 0 111 22 x x xx xt在, 1恒成立， 所以 xt在, 1内是增函数，所以 01 txt，0 1 a h， 而 0 1 x a ，所以 xh在 0 , 1 x a 上存在零点； 当1 0 x时，即10 a时， 01 0 hxh，同理可证0ln1 11 a aa h， 而 0 1 x a ，所以 xh在 a x 1 , 0 上存在零点. 20（本小题满分 16 分） 若数列 n a中存在不同的三项构成等比数列，则称数列 n a是等比源数列. （1）记数列 n a的前n项和为 n S，已知22 1
27、nS n n . 求数列 n a的通项公式； 判断数列 n a是否为等比源数列，并证明你的结论； （2）证明： Qa，数列an都是等比源数列. 解： （1）因为22 1 nS n n ，所以当1n时，32122 1 a， 当2n时，32 1 nS n n ，所以 123222 1 nnn n nna. 综上可知12 n n a 数列 n a不是等比源数列.证明如下： 假设存在正整数knm,且knm，使得 knm aaa,成等比数列， 则121212 2 kmn ，整理得 kmkmnn 22222 12 ， 等式两边同除以 m 2得12222 12 mkkmnmn 因为1mn，2mk，所以等式左
28、边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式12222 12 mkkmnmn 不可能成立，所以假设不成立. （2）令anbn， 假设数列 n b中存在 3 项lklankanan 000 ,成等比数列. 则lanankan 00 2 0 ， 设ban 0 ，则Qb，故设 p q b （p与q是互质的正整数）. 所以需满足lbbkb 2 ，即需满足 q pk k b k kl 22 22. 取qk ，则pqql 2. 此时 2 2 2 2 2 2 2q p q p q q p q qb ， 2 2 2 2 22q p q p q pqq p q p q lbb . 故此时lbbkb 2 成立. 因此数列
29、 n b中存在 3 项lklankanan 000 ,成等比数列， 所以对 Qa，数列an都是等比源数列. 数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按 作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知Rba,，向量 a 1 是矩阵 b A 0 31 的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵 1 A. 解：因为向量 a 1 是矩阵 b A 0 31 的属于特征值 2 的一个特征向量， 所以 aab 1 2 1 0 31 ，即 aab a 2 231 ， 则,
30、 2 231 aab a 即 2 1 b a 所以矩阵 20 31 A B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程是 ,sin ,cos3 y x （是参数）.以原点O为极点，以x轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是24 4 sin p. （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设P为曲线 1 C上的动点，Q为曲线 2 C上的动点，求线段PQ长度的最小值，并求此时点P的直角坐 标. 解： （1）由曲线 sin cos3 : 1 y x C可得 y x sin 3 cos 两式两边平方
31、相加可得：曲线 1 C的普通方程为1 3 2 2 y x . 由曲线24 4 sin: 2 pC，得24cossin 2 2 p， 即8cossinp，所以曲线 2 C的直角坐标方程为08 yx （2）由（1）知椭圆 1 C与直线 2 C无公共点， 设sin,cos3P，易知当PQ与直线08 yx垂直时距离较小， 此时p到直线08 yx的距离为 2 8 6 cos2 2 8sincos3 d， 当1 6 cos 时，d的最小值为23，此时zkk 6 5 2 ， 2 1 , 2 3 p， 所以PQ长度的最小值为23，此时点p的坐标为 2 1 , 2 3 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 1
32、0 分） 若zyx,为实数，且694 222 zyx，求zyx62 的最大值. 解：由柯西不等式，得2 212 22 2 6221132zyxzyx. 因为694 222 zyx，所以3662 2 zyx，所以6626zyx. 当且仅当 2 3 1 2 1 zyx 时，不等式取等号， 此时 3 2 , 2 1 , 1zyx或 3 2 , 2 1 , 1zyx， 所以zyx62 的最大值为 6. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22 （本小题满分 10 分） 如图，ABC中，4 BCA
33、B， 90ABC，FE,分别为ACAB,边的中点，以EF为折痕把AEF 折起，使点A到达点P的位置，且BEPB . （1）证明：BC平面PBE； （2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值. 解： （1）FE,分别为ACAB,边的中点，所以BCEF /. 因为 90ABC，所以BEEF ，PEEF . 又因为EPEBE，所以EF平面PBE，所以BC平面PBE. （2）取BE的中点O，连接PO， 由（1）知BC平面PBE，BC平面BCFE，所以平面PBE平面BCFE. 因为PEBEPB，所以BEPO . 又因为PO平面PBE，平面PBE平面BEBCFE ，所以PO平面BCFE. 过O作B
34、COM /交CF于M， 如图，分别以 ,OB OM OP 所在直线为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则0 , 2 , 1,0 , 4 , 1,3, 0 , 0FCP，3, 4 , 1PC，3, 2 , 1PF 设平面PCF的法向量为zyxm,，则 , 0 0 mPF mPC 即 032 034 zyx zyx 取1y，则3, 1zx，则3, 1 , 1m.0 , 1 , 0n为平面PBE的一个法向量. 设平面PBE与平面PCF所成锐二面角大小为， 则 5 5 311 031101 ,coscos 2 2 2 nm， 所以平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值为 5 5 23 （
35、本小题满分 10 分） 已知函数 xxxxf33 23 ，若数列 n a满足：2 , 1 1 a， nn afa 1 . （1）用数学归纳法证明：2 , 1 n a； （2）证明：120 2 1 1 i n i ii aaa，其中 * Nn. 证明： （1）由于 363 2 xxxf在2 , 1上单调增，则 01 fxf， 所以 xf在2 , 1上单调增，且 22, 11ff. 当1n时，2 , 1 1 a，结论成立； 假设1kkn时，结论成立，即2 , 1 k a， 则 2,1 1 ffafa kk ，即2 , 1 1k a，结论也成立； 由归纳原理可知，结论对任意 * Nn都成立，即2 , 1 n a. （2）由于0212333 2323 1 nnnnnnnnnnnn aaaaaaaaaaaa， 所以对于任意 * Ni， 1 ii aa，由（1）可知，对于任意 * Ni，2 , 1 i a，则1 , 02 2 i a， 所以02 2 1 1 i n i ii aaa，且12 11 1 12 1 1 n n i iii n i ii aaaaaaa， 得证.
