1、容斥原理容斥原理(yunl)(yunl)五年级五年级 第第1717课课 第一页，共21页。本讲主线本讲主线(zh xin)(zh xin)1 1、掌握两个容斥原理、掌握两个容斥原理2 2、一道经典、一道经典(jngdin)(jngdin)的拉灯问题的拉灯问题第二页，共21页。本讲主线本讲主线(zh xin)(zh xin)在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有
2、对象的数目先计算出来，不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后然后(rnhu)(rnhu)再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理又无重复，这种计数的方法称为容斥原理第三页，共21页。本讲主线本讲主线(zh xin)(zh xin)如果被计数如果被计数(j sh)(j sh)的事物有的事物有A A、B B、C C三类，那么，三类，那么，A A类和类和B B类和类和C C类元素个数总类元素个数总和和=A=A类元素个数类元素个数+B+B类元素个数类元素个数+C+C类
3、元素个数类元素个数既是既是A A类又是类又是B B类的元类的元素个数素个数既是既是A A类又是类又是C C类的元素个数类的元素个数既是既是B B类又是类又是C C类的元素个数类的元素个数+既既是是A A类又是类又是B B类而且是类而且是C C类的元素个数。类的元素个数。（ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABCABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC）第四页，共21页。本讲主线本讲主线(zh xin)(zh xin)如果被计数的事物如果被计数的事物(shw)(shw)有有A A、B B、C C三类，那么，三类，那么，A A类和类和B B类和类和C C类元素个数总类元素个数总和和=A=A
4、类元素个数类元素个数+B+B类元素个数类元素个数+C+C类元素个数类元素个数既是既是A A类又是类又是B B类的元类的元素个数素个数既是既是A A类又是类又是C C类的元素个数类的元素个数既是既是B B类又是类又是C C类的元素个数类的元素个数+既既是是A A类又是类又是B B类而且是类而且是C C类的元素个数。类的元素个数。（ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABCABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC）第五页，共21页。拓展拓展(tu zhn)(tu zhn)例题例题一次期末考试，某班有一次期末考试，某班有1515人数学得满分，有人数学得满分，有1212人语文得满分，并且人语文得
5、满分，并且有有4 4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门人语、数都是满分，那么这个班至少有一门(y mn)(y mn)得满分的同学有多少得满分的同学有多少人？人？分析：分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满数学得满分分”称为称为“A A类元素类元素”，“语文得满分语文得满分”称为称为“B B类元素类元素”，“语语数都是满分数都是满分”称为称为“既是既是A A类又是类又是B B类的元素类的元素”，“至少有一门得至少有一门得满分的同学满分的同学”称为称为“A A类和类和B B类元素个数类元素个数”的总和。的总和。为为15+12-4=231
6、5+12-4=23。第六页，共21页。五年级二班有五年级二班有4040名同学，其中有名同学，其中有2525人没有人没有(mi yu)(mi yu)参加数学小组，有参加数学小组，有1818人参加了航模小组，有人参加了航模小组，有1010人两个小组都参加。那么只参加了这两个小人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？组之一的学生共有多少人？例题例题(lt)(lt)【一】（【一】（）数学航模第七页，共21页。五年级二班有五年级二班有4040名同学，其中名同学，其中(qzhng)(qzhng)有有2525人没有参加数学小组，人没有参加数学小组，有有1818人参加了航模小组，有人参加
7、了航模小组，有1010人两个小组都参加。那么只参加了这人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？两个小组之一的学生共有多少人？例题例题(lt)(lt)【一】（【一】（）数学参加人数：数学参加人数：40-25=1540-25=15人人15-10+18-1015-10+18-10=5+8=5+8=13=13（人）（人）第八页，共21页。1 1209209这这209209个自然数中，与个自然数中，与209209互质互质(h zh)(h zh)的自然是有几个？的自然是有几个？例题例题(lt)(lt)【二】（【二】（）互质，没有公约数互质，没有公约数分解，分解，209=11209=1
8、1191911:20911:20911=1911=19（个）（个）19:20919:20919=1119=11（个）（个）11/1911/19：1 1（个）（个）大饼：大饼：19+11-1=2919+11-1=29（个）（个）答：答：209-19=180209-19=180（个）（个）第九页，共21页。老师老师(losh)(losh)点睛点睛1.1.公式公式(gngsh)(gngsh)(1)(1)大饼大饼=A+B-AB=A+B-AB(2)(2)大饼大饼=A+B+C-AB-AC-=A+B+C-AB-AC-BC+ABCBC+ABCA AB BA AB BC C消重消重第十页，共21页。在在1 1至
9、至20082008这这20082008个自然数中，恰好是个自然数中，恰好是3 3、5 5、7 7中两个中两个(lin(lin)数的倍数的数共有数的倍数的数共有 个个例题例题(lt)(lt)【三】（【三】（）3 3倍倍5 5倍倍7 7倍倍第十一页，共21页。在在1 1至至20082008这这20082008个自然数中，恰好是个自然数中，恰好是3 3、5 5、7 7中两个中两个(lin)(lin)数的倍数的数共有数的倍数的数共有 个个例题例题(lt)(lt)【三】（【三】（）3/5:20083/5:200815=13315=133（个）（个）3/7:20083/7:200821=9521=95（个
10、）（个）5/75/7：2008200835=5735=57（个）（个）3/5/7:20083/5/7:2008105=19105=19（个）（个）133+95+57-19X3=228133+95+57-19X3=228第十二页，共21页。老师老师(losh)(losh)点睛点睛2.2.考点考点(ko din)(ko din)：锅内：锅内饼外、三叶草饼外、三叶草（1 1）锅内饼外）锅内饼外=全部全部-大饼大饼（2 2）三叶草）三叶草=AB+AC+BC-3ABC=AB+AC+BC-3ABC第十三页，共21页。在在20062006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为盏亮着的电灯，各有一个
11、拉线开关控制，按顺序编号为1,21,2，20062006，将编号为，将编号为2 2的倍数的灯的拉线各拉一下的倍数的灯的拉线各拉一下(yxi)(yxi)；再将编号为再将编号为3 3的倍数的灯拉线各拉一下的倍数的灯拉线各拉一下(yxi)(yxi)，最后将编号为，最后将编号为5 5的倍数的灯的拉线各拉一下的倍数的灯的拉线各拉一下(yxi)(yxi)，拉完后亮着的灯数为多少，拉完后亮着的灯数为多少盏？盏？例题例题(lt)(lt)【四】（【四】（）2倍3倍5倍第十四页，共21页。在在20062006盏亮着的电灯盏亮着的电灯(dindng)(dindng)，拉完后亮着的灯数为多，拉完后亮着的灯数为多少盏？
12、少盏？例题例题(lt)(lt)【四】（【四】（）2倍3倍5倍2 2：有：有10031003个个3 3：有：有668668个个5 5：有：有401401个个2/32/3：有：有334334个个2/52/5：有：有200200个个3/53/5：有：有133133个个2/3/5:2/3/5:有有6666个个第十五页，共21页。在在20062006盏亮着的电灯盏亮着的电灯(dindng)(dindng)，拉完后亮着的灯数为，拉完后亮着的灯数为多少盏？多少盏？例题例题(lt)(lt)【四】（【四】（）2倍3倍5倍大饼：大饼：1003+668+401-1003+668+401-（334+200+13333
13、4+200+133）+66=1471+66=1471（盏）（盏）锅内饼外：锅内饼外：2006-1471=5352006-1471=535（盏）（盏）三叶草：三叶草：334+200+133-66X3=469334+200+133-66X3=469（盏）（盏）亮的灯：亮的灯：535+469=1004535+469=1004（盏）（盏）第十六页，共21页。有编号为有编号为1 120102010的的20102010个气球，有一个个气球，有一个(y)(y)神枪手，他第神枪手，他第一次把所有编号是一次把所有编号是3 3的倍数气球打破；第二次把编号是的倍数气球打破；第二次把编号是5 5的倍数的的倍数的气球打
14、破；最后把编号是气球打破；最后把编号是7 7的倍数的气球打破。那么，最后还剩几的倍数的气球打破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？个是没有被打破的气球？例题例题(lt)(lt)【五】（【五】（）2倍5倍7倍第十七页，共21页。有编号为有编号为1 120102010的的20102010个气球，有一个神枪手，他第一次个气球，有一个神枪手，他第一次把所有编号是把所有编号是3 3的倍数气球打破的倍数气球打破(d p)(d p)；第二次把编号；第二次把编号是是5 5的倍数的气球打破的倍数的气球打破(d p)(d p)；最后把编号是；最后把编号是7 7的倍数的的倍数的气球打破气球打破(d p)(d p
15、)。那么，最后还剩几个是没有被打破。那么，最后还剩几个是没有被打破(d p)(d p)的气球？的气球？例题例题(lt)(lt)【五】（【五】（）3倍5倍7倍第十八页，共21页。有编号为有编号为1 120102010的的20102010个气球，有一个个气球，有一个(y)(y)神枪手，他第一次把所有编号是神枪手，他第一次把所有编号是3 3的倍数的倍数气球打破；第二次把编号是气球打破；第二次把编号是5 5的倍数的气球打破；最后把编号是的倍数的气球打破；最后把编号是7 7的倍数的气球打破。那么，的倍数的气球打破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？最后还剩几个是没有被打破的气球？例题例题(lt)(l
16、t)【五】（【五】（）3倍5倍7倍3:6703:670个个 5:4025:402个个 7:2877:287个个3/5:1343/5:134个个 3/73/7：9595个个 5/7:575/7:57个个3/5/7=193/5/7=19个个大饼：大饼：670+402+287-670+402+287-（234+95+57234+95+57）+19=1092+19=1092（个）（个）饼外：饼外：2010-1092=9182010-1092=918（个）（个）第十九页，共21页。本课总结本课总结(zngji)(zngji)1 1、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果，、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果，之
17、后减去重叠部分的计数方式。之后减去重叠部分的计数方式。2 2、“大饼图大饼图”：写对名字：写对名字(mng zi)(mng zi)，标，标对数。找出所求区域对数。找出所求区域3 3、考点：、考点：（1 1）锅内饼外）锅内饼外=全部全部-大饼大饼（2 2）三叶草）三叶草=AB+AC+BC-3ABC=AB+AC+BC-3ABC第二十页，共21页。NoImage内容(nirng)总结容斥原理。在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先。不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，。然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算
18、的结果既无遗漏。有4人语、数都是满分，那么(n me)这个班至少有一门得满分的同学有多少。分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满。数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得。满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。15-10+18-10。1209这209个自然数中，与209互质的自然是有几个。11:20911=19（个）。19:20919=11（个）。(2)大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC。3/5/7:2008105=19（个）。133+95+57-19X3=228。（1）锅内饼外=全部-大饼。（2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC。（2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC。在2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1,2，。，2006，将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下。在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏。2/3/5:有66个第二十一页，共21页。
