1、容斥原理容斥原理 主讲：刘文峰主讲：刘文峰集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合两个集合中可
2、以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组合并在一起，就组成了一个新的集合成了一个新的集合C。计算集合。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把包含与排除：先把A、B的一切元素都的一切元素都“包含包含”进来加在一起，再进来加在一起，再“排除排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：即：C=ABAB。在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了搞清数量关系的逻辑关系。
3、有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。五年级五年级96名学生都订了报纸，有名学生都订了报纸，有64人订了人订了少年报，有少年报，有48人订了小学生报。两种报纸人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？都订的有多少人？n用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：n6448=112人，n比总人数多11296=16人人，n这16人就是两种报刊都订的人数。分析与解答分析与解答实战演练实战演练1n1，一个班的，一个班的5
4、2人都在做语文和数学作业。有人都在做语文和数学作业。有32人人做完了语文作业，有做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？数学作业都做完的有多少人？n2，五年级有，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得人，数学得优的有优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？人。语文、数学都得优的有多少人？n3，某班有，某班有50名学生，在一次测验中有名学生，在一次测验中有26人满分，人满分，在第二次测验中有在第二次测验中有21人满分。如果两次
5、测验都没得人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的人，那么，两次测验都得满分的有多少人？有多少人？某校教师至少懂得英语和日语某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有中的一种语言。已知有35人懂人懂英语，英语，34人懂日语，两种语言人懂日语，两种语言都懂的有都懂的有21人。这个学校共有人。这个学校共有多少名教师？多少名教师？n把懂英语和懂日语的人数加起来得n3534=69人，n但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：n6921=48人。实战演练实战演练2n1，某校的每个学生至少爱体育和文
6、娱中的一种活动。，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有已知有900人爱好体育活动，有人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，人爱好文娱活动，其中其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？人？n2，某班在一次测验中有，某班在一次测验中有26人语文获优，有人语文获优，有30人数人数学获优，其中语文、数学双优的有学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？n3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做
7、对第一题的有第一题的有15人，做对第二题的有人，做对第二题的有10人，两题都做人，两题都做对的有对的有7人，两题都做错的有人，两题都做错的有2人。第一小组共有多人。第一小组共有多少人？少人？n学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？例3、分析与解答分析与解答n两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是：n848625=144人，n所以，这两个小组都不参加的人数是：n250144=106人。实战演练实战演
8、练3n1，五年级有，五年级有250人，其中参加象棋组的有人，其中参加象棋组的有83人，参人，参加乒乓球组的有加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有人，这两个小组都参加的有25人。人。两个小组都不参加的有多少人？两个小组都不参加的有多少人？n2，五（，五（1）班有）班有50人，在一次测试中，语文人，在一次测试中，语文90分以分以上的有上的有30人，数学人，数学90分以上的分以上的35人，语文和数学都人，语文和数学都在在90分以上的有分以上的有20人。两科都在人。两科都在90分以下的有多少分以下的有多少人？人？n3，老师在统计考试成绩，数学得，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有分以上的有
9、25人，语文得人，语文得90分以上的有分以上的有21人，两科中至少有一科人，两科中至少有一科在在90分以上的有分以上的有38人。两科都在人。两科都在90分以上的有多少分以上的有多少人？人？n实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？n由由“16人不是四年级的人不是四年级的”可知：可知：16人是五年级和其他年级人是五年级和其他年级的；由的；由“12人不是五年级的人不是五年级的”可知：可知：12人是四年级和其它人是四年级和其它年级的。用年级的。用1612可算出四年级加五年级以及两个其它
10、年可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：年级的人数是：n（161220）2=4人，人，n该校参加书法比赛获奖的总人数是该校参加书法比赛获奖的总人数是:n420=24人。人。分析与解答n1，五一小学举行小学生田径运动会，其中，五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运名运动员不是六年级的，动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？低年级运动员各有
11、多少名？n2，少年乐团学生中有，少年乐团学生中有170人不是五年级的，有人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？n3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是朵不是红色的，有红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？朵，其他颜色的花一共做了多少朵？实战演练实战演练4n在在100个外语教师中，懂英语的有个外语教师中，懂英语的有75
12、人，人，懂日语的有懂日语的有45人，其中必然有既懂英语人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？有多少人？分析与解答n显然，两种语言都懂的人在懂英语的显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计人中统计过一次，在懂日语的过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，人中又统计过一次。因此，7545=120人，比人，比100多出的多出的20人就是两种语人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两人中减去两种语言都懂的种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：人，就是只懂英语的人数了：7520=55
13、人。人。实战演练实战演练5n1，40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的人，做对第二题的有有21人。只做对第一题的有多少人？人。只做对第一题的有多少人？n2，五年级，五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文少有一门得优。已知语文65人得优，数学人得优，数学78人得优，人得优，求只有语文一门得优的人数。求只有语文一门得优的人数。n3，全班，全班46名同学，仅会打乒乓球的有名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打人，会打乒乓球又会打羽毛球的有乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？人。仅会打羽毛球的有多少人？
