1、第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程21.2 21.2 解一元二次方程解一元二次方程第第4 4课时课时 用用公式法解一公式法解一元二次方程元二次方程1课堂讲解课堂讲解u一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式u求根求根公式解方程公式解方程2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升配方配方法解一元二次方程的一般法解一元二次方程的一般步骤步骤:(1)移项移项;(2)二次项系数化为二次项系数化为1;(3)配方配方;(4)开平方开平方.回顾旧知回顾旧知1知识点知识点一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式 我们我们知道，任意一个一元二次方程都知道，任意一个
2、一元二次方程都可以可以转化为一般形式转化为一般形式 ax2bxc0(a0)你你能用配方法得出它的解吗？能用配方法得出它的解吗？（来自教材）（来自教材）知知1 1导导20.bcxaax 知知1 1讲讲解：解：222.22bbbcxaaaax 2224.24bbacaax u1.化化1:把二次项系数化为把二次项系数化为1；u2.移移项项:把常数项移到方程把常数项移到方程 的右边；的右边；2.bcxaax u3.配方配方:方程两边都加方程两边都加上一次项系数上一次项系数绝对值绝对值一半的平方；一半的平方；u4.变变形形:方程左分解因式，方程左分解因式，右边合并同类项右边合并同类项知知1 1讲讲当当b
3、24ac 0时，时，24.22bbacaax u5.开开方方:根据平方根意义，根据平方根意义，方程两边开平方；方程两边开平方；24.2bbacax u6.求求解解:解一元二次方程；解一元二次方程；221244,.22bbacbbacaaxx u7.定定解解:写出原方程的解；写出原方程的解；一般地，对于一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)知知1 1导导当当b24ac 0时，它的根是：时，它的根是：224(40).2bbacbacax u上面这个式子称为一元二次方程的求根公式上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.u用求根公式解一元二次方程的方法称为用求根公式解一元二次方程的
4、方法称为公式公式法法.1方程方程3x2x4化为一般形式后的化为一般形式后的a，b，c的值的值分别为分别为()A3、1、4 B3、1、4C3、4、1 D1、3、4一元二次方程一元二次方程 中，中，b24ac的值应是的值应是()A64 B64 C32 D32知知1 1练练2224 32 2xx（来自（来自典中点典中点）BA2知识点知识点求根公式解方程求根公式解方程知知2 2讲讲 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做根，这种解一元二次方程的方法叫
5、做公式法公式法（来自教材）（来自教材）确定确定a，b，c的值时，要注的值时，要注意它们的符号意它们的符号.例例1 用公式法解方程：用公式法解方程：x24x70；知知2 2讲讲a1，b4，c7.b24ac(4)241(7)440.方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根解：解：242bbacxa 12211,211.xx(4)44211,2 1 即即u1.确定系数确定系数；u2.计算计算；u3.代入代入；u4.定根定根；提示：提示：方程必须方程必须要转化成一般形要转化成一般形式才能确定系数式才能确定系数例例2 用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(1)2x2 10；(2)5x23xx1；
6、(3)x2178x.知知2 2讲讲2 2x解：解：(1)a2，b ，c1.b24ac 4210.方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根2 2 2(2 2)122 22.22 22bxxa (2)方程化为方程化为5x24x10.a5，b4，c1.b24ac(4)245(1)360.方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根 即即知知2 2讲讲1211,.5xx 24(4)3646.22 510bbacxa (3)方程化为方程化为x28x170.a1，b8，c17.b24ac(8)2411740.方程无实数根方程无实数根知知2 2讲讲（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点
7、拨）总总 结结 用公式法解一元二次方程时，应首先将方程用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了数及常数项，在确定了a，b，c后，先计算后，先计算b24ac的值，当的值，当b24ac0时，再用求根公式解时，再用求根公式解1一元二次方程一元二次方程 的根是的根是()A B C D 知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）22 260 xx122,3 2xx 122,3 2xx 122xx120,2 2xx C2已知已知4个数据：个数据：，2 ，a，b，其中，其中a，b是方程是方程x22x10的两个
8、根，则这的两个根，则这4个数个数据据的中位数是的中位数是()A1 B.C2 D.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2122122 A知知2 2练练3解下列方程：解下列方程：(1)x2x60；(2)(3)x(2x4)58x.（来自教材）（来自教材）2130;4xx解：解：(1)a1，b1，c6.b24ac1241(6)250.方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根x ，即即x12，x23.1252 1 知知2 2练练(3)42 1 33322 322 知知2 2练练(3)去括号，移项，合并同类项，得去括号，移项，合并同类项，得2x24x50，a2，b4，c5.b24ac4242(5)
9、560.方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根x ，即即x1 ，x24562 2 2142 2142 知知2 2练练用公式法解一元二次方程的用公式法解一元二次方程的“四个步骤四个步骤”：(1)把一元二次方程化为一般形式把一元二次方程化为一般形式(2)确定确定a，b，c的值的值 (3)计算计算b24ac的值的值(4)当当b24ac0时，把时，把a，b，c的值代入求根公式，的值代入求根公式，求求出方程的两个实数根；当出方程的两个实数根；当b24ac0，12797797,44xx知知2 2讲讲(3)(x1)23(x1)0，(x1)(x13)0，x10或或x40，x11，x24.（来自点拨）（来
10、自点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结 在没有规定方法的前提下解一元二次方程，在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用首先考虑用因式分解法因式分解法，其次考虑用，其次考虑用公式法公式法对对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用项系数是偶数，可选用配方法配方法.1解方程解方程(5x1)23(5x1)的最适当的方法是的最适当的方法是()A直接开平方法直接开平方法 B配方法配方法C公式法公式法 D因式分解法因式分解法知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）D2已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的已知下列
11、方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上解法后的横线上2(x1)26；(x2)2x24；(x2)(x3)3；x22x10；x22x990.(1)直接开平方法：直接开平方法：_；(2)配方法：配方法：_；(3)公式法：公式法：_；(4)因式分解法：因式分解法：_知知2 2练练2120;4xx（来自（来自典中点典中点）解下列方程解下列方程:(1)4x21210；(2)3x(2x1)4x2；(3)(x4)2(52x)2.知知2 2练练3（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)化化方程为一般方程为一般形式；形式；(2
12、)将将方程左边方程左边因式分解因式分解；(3)至少至少有一个有一个因式为零因式为零，得到两个，得到两个一元一次方程一元一次方程；(4)两两个个一元一次方程的解一元一次方程的解就是原方程的解就是原方程的解解一元二次方程方法的口诀解一元二次方程方法的口诀方程没有一次项，直接开方最理想；方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；如果缺少常数项，因式分解没商量；b，c相等都为相等都为0，等根是，等根是0不要忘；不要忘；b，c同时不为同时不为0，因式分解或配方，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方也可直接套公式，因题而异择良方第21章 一元二次方程123456789101
13、11213141516171因式分解法解一元二次方程的一般步骤：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)右化右化0：整理方程，使其右边为：整理方程，使其右边为_；(2)左分解：将方程左边分解为左分解：将方程左边分解为_的乘积；的乘积；(3)两因式：两个因式的值分别为两因式：两个因式的值分别为0，降次得到两个，降次得到两个_；(4)各求各求解：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解解：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解0两个一次因式两个一次因式一元一次方程一元一次方程返回返回1知识点知识点用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程2(中考中考山西山西)我们解一元二次方程我们解
14、一元二次方程3x26x0时，可以时，可以运用因式分解法，将此方程化为运用因式分解法，将此方程化为3x(x2)0，从而，从而得到两个一元一次方程得到两个一元一次方程3x0或或x20，进而得到，进而得到原方程的解为原方程的解为x10，x22.这种解法体现的数学思想这种解法体现的数学思想是是()A转化转化思想思想B函数思想函数思想C数形结合数形结合思想思想D公理化思想公理化思想A返回返回3方程方程x25x60左边化为两个一次因式的乘积左边化为两个一次因式的乘积为为()A(x2)(x3)0B(x2)(x3)0C(x1)(x6)0D(x1)(x6)0D返回返回4用因式分解法解方程，下列过程正确的是用因式
15、分解法解方程，下列过程正确的是()A(2x3)(3x4)0化为化为2x30或或3x40B(x3)(x1)1化为化为x30或或x11C(x2)(x3)23化为化为x22或或x33Dx(x2)0化为化为x20A返回返回5(中考中考天津天津)方程方程x2x120的两个根为的两个根为()Ax12，x26Bx16，x22Cx13，x24Dx14，x23D返回返回6(中考中考凉山州凉山州)若关于若关于x的方程的方程x22x30与与有有一个解相同，则一个解相同，则a的值为的值为()A1B1或或3 C1D1或或3C213xxa返回返回7菱形菱形ABCD的一条对角线长为的一条对角线长为6，边，边AB的长为方程的
16、长为方程y27y100的一个根，则该菱形的周长为的一个根，则该菱形的周长为()A8B20C8或或20D10B返回返回8已知已知3是关于是关于x的方程的方程x2(m1)x2m0的一个的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的长，则的两条边的长，则ABC的周长为的周长为()A7B10C11D10或或11D返回返回9一元二次方程的四种解法为：一元二次方程的四种解法为：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法返回返回2知识点知识点用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解一元
17、二次方程10已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上法后的横线上2(x1)26；(x2)2x25；(x2)(x4)4；x23x10；x22x140；x23x0.(1)直接开平方法：直接开平方法：_；(2)配方法：配方法：_；(3)公式法：公式法：_；(4)因式分解法：因式分解法：_；返回返回11解方程解方程2(x1)23x3，最适当的方法是，最适当的方法是()A直接开平方法直接开平方法 B配方法配方法C公式法公式法D因式分解法因式分解法D返回返回12方程方程9(x1)24(x1)20的正确解法是的正确解法是()A直接开平方得直接开平方得3
18、(x1)2(x1)B化为一般形式化为一般形式13x250C分解因式得分解因式得3(x1)2(x1)3(x1)2(x1)0D直接得直接得x10或或x10C返回返回13(中考中考潍坊潍坊)定义定义x表示不超过实数表示不超过实数x的最大整的最大整数，如数，如1.81，1.42，33.函函数数yx的图象如图所示，则方程的图象如图所示，则方程x x2的的解为解为()A12A0或或B0或或2C1或或D 或或2222返回返回14解下列方程：解下列方程：(1)(中考中考山西山西)2(x3)2x29；2(x3)2x29，2(x3)2(x3)(x3)，2(x3)2(x3)(x3)0，(x3)2(x3)(x3)0，
19、(x3)(x9)0，x13，x29.1题型题型解一元二次方程的方法在解方程中的应用解一元二次方程的方法在解方程中的应用(2)x2()x 0；236x2()x 0，(x )(x )0，x1 ，x2 .2362323(3)(2x1)23(2x1)280.(2x1)23(2x1)280，(2x1)7(2x1)40，(2x6)(2x5)0，x13，x2 .52 返回返回15(中考中考北京北京)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(k3)x2k20.(1)求证：方程总有两个实数根；求证：方程总有两个实数根；2题型题型根的判别式在因式分解法解方程中的应用根的判别式在因式分解法解方程中的应用证明：证明
20、：在方程在方程x2(k3)x2k20中，中，(k3)241(2k2)k22k1(k1)20，方程总有两个实数根方程总有两个实数根(2)若方程有一根小于若方程有一根小于1，求，求k的取值范围的取值范围解：解：x2(k3)x2k2(x2)(xk1)0，x12，x2k1.方程有一根小于方程有一根小于1，k11，解得，解得k0，k的取值范围为的取值范围为k0，解得，解得k .14 1题型题型一元二次方程根与系数的关系在一元二次方程根与系数的关系在求字母或代数式值中的应用求字母或代数式值中的应用(2)设方程的两个实数根分别为设方程的两个实数根分别为x1，x2，当，当k1时，时，求求x21x22的值的值当
21、当k1时，方程为时，方程为x23x10，x1x23，x1x21，x21x22(x1x2)22x1x2927.返回返回16(中考中考鄂州鄂州)关于关于x的方程的方程(k1)x22kx20.(1)求证：无论求证：无论k为何值，方程总有实数根为何值，方程总有实数根2题型题型一元二次方程根与系数的关系在一元二次方程根与系数的关系在探究代数式值中的应用探究代数式值中的应用16(中考中考鄂州鄂州)关于关于x的方程的方程(k1)x22kx20.(1)求证：无论求证：无论k为何值，方程总有实数根为何值，方程总有实数根证明：当证明：当k1时，原方程可化为时，原方程可化为2x20，解得，解得x1，此，此时该方程有
22、实数根；时该方程有实数根；当当k1时，方程是一元二次方程，时，方程是一元二次方程，(2k)24(k1)24k28k84(k1)240，方方程有实数根程有实数根综上所述，无论综上所述，无论k为何值，方程总有实数根为何值，方程总有实数根(2)设设x1，x2是方程是方程(k1)x22kx20的两个根，记的两个根，记S x1x2，S的值能为的值能为2吗？若能，求出此吗？若能，求出此时时k的值；若不能，请说明理由的值；若不能，请说明理由1221xxxx解：由根与系数的关系可知解：由根与系数的关系可知若若S2，则：，则：即即121222.11kxxx xkk，121221=2xxxxxx，21212121
23、2()2=2xxx xxxx x，将将带入带入整理得整理得k23k20，解得解得k1(舍去舍去)或或k2.S的值能为的值能为2，此时，此时k2.12122211kxxx xkk，返回返回17(中考中考泸州泸州)已知已知x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x22(m1)xm250的两个实数根的两个实数根(1)若若(x11)(x21)28，求，求m的值；的值；3题型题型一元二次方程根与系数的关系在一元二次方程根与系数的关系在三角形中的应用三角形中的应用解：解：(1)x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x22(m1)xm250的两个实数根，的两个实数根，x1x22(m
24、1)，x1x2m25.(x11)(x21)x1x2(x1x2)1m252(m1)128，m22m240，(m6)(m4)0，m16，m24.由题意由题意4(m1)24(m25)0，知，知m4不合题意，不合题意，m6.(2)已知等腰三角形已知等腰三角形ABC的一边长为的一边长为7，若，若x1，x2恰好恰好是是ABC另外两边的长，求这个三角形的周长另外两边的长，求这个三角形的周长当当7为腰长时，则另一腰长为腰长时，则另一腰长7为方程为方程x22(m1)xm250的一个根的一个根将将x7代入得代入得4914(m1)m250，整理得整理得m214m400，即即(m4)(m10)0，m14，m210.当
25、当m4时，原方程为时，原方程为x210 x210，(x7)(x3)0，x17，x23，即另一边长为，即另一边长为3.7，7，3能组成三角形，此时周长为能组成三角形，此时周长为77317.当当m10时，原方程为时，原方程为x222x1050.(x7)(x15)0，x17，x215，即另一边长为，即另一边长为15.7，7，15不能组成三角形，故舍去不能组成三角形，故舍去当当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，为底边长时，方程有两个相等的实数根，4(m1)241(m25)8m160，m2.此时方程为此时方程为x26x90，(x3)20，x1x23.7，3，3不能组成三角形，故舍去不能组成三角形，故
26、舍去这个三角形的周长为这个三角形的周长为17.返回返回18已知已知x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程(a6)x22axa0的两个实数根的两个实数根(1)是否存在实数是否存在实数a，使，使x1x1x24x2成立？若存成立？若存在，求出在，求出a的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由4题型题型一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用根的情况的综合应用解：解：(1)存在实数存在实数a，使，使x1x1x24x2成立成立根据题意，得根据题意，得(2a)24a(a6)24a0，解得解得a0.又又a60，a6.由根与系数的关系得由根与系数的关系得1212266aaxxx xaa，由由x1x1x24x2，得，得x1x24x1x2，解得，解得a24.经检验，经检验，a24是方程是方程 的解的解即存在即存在a24，使，使x1x1x24x2成立成立2466aaaa 2466aaaa(2)求使求使(x11)(x21)为负整数的实数为负整数的实数a的整数值的整数值要使要使(x11)(x21)x1x2x1x21为负整数，且为负整数，且a为整数，为整数，则则6a为为1，2，3或或6.解得解得a7，8，9或或12.2166aaaa 66a 返回返回
