1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第1 1课时课时 等腰三角形等腰三角形的性质的性质1课堂讲解课堂讲解u全等三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定 u等腰三角形的边、角性质等腰三角形的边、角性质 u等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升活动：实践观察，认识三角形活动：实践观察，认识三角形DACB得到这个得到这个ABC中中 AB和和AC有什么关系有什么关系?1知识点知识点全等三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定问问 题题全等三角形的定义是什么？全等三角形的定义是什么？知知1
2、 1导导1.全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边边边边”或或 “SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角 边角边角”或或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等（简写成全等（简写成“角角边角角边”或或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等
3、的两个三角形全等（简写成）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边边 角边角边”或或“SAS”）知知1 1讲讲知知1 1讲讲利用全等三角形的判定方法，当利用全等三角形的判定方法，当DB时，时，两个三角形符合两个三角形符合“边角边边角边”，ADF CBE导引：导引：例例1 如图，点如图，点E，F在在AC上，上，ADBC，DFBE，要，要使使ADF CBE，还需要添加的一个条件是，还需要添加的一个条件是()AAC BDBCADBC DDFBEB总总 结结知知1 1讲讲 此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键掌握全等
4、三角形的判定方法是解题关键知知1 1练练【2017怀化怀化】如图，如图，ACDC，BCEC，请你，请你添加一个适当的条件：添加一个适当的条件：_，使得使得ABC DEC.1DEAB或或ACBDCE或或ACDBCE知知1 1练练【2016黔西南州黔西南州】如图，点如图，点B，F，C，E在一在一条直线上，条直线上，ABED，ACFD，那么添加下，那么添加下列一个条件后，仍无法判定列一个条件后，仍无法判定ABC DEF的的是是()AABDE BACDFCAD DBFEC2C知知1 1练练【2017鄂州鄂州】如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，BCD90，ABBCAD，DAC45，E
5、为为CD上一点，且上一点，且BAE45，若若CD4，则，则ABE的面积为的面积为()A.B.C.D.3127247487507D2知识点知识点等腰三角形的边、角性质等腰三角形的边、角性质知知2 2导导1等腰三角形的相关概念回顾：等腰三角形的相关概念回顾：（来自（来自教材教材）腰腰腰腰顶角顶角底角底角底角底角底边底边知知2 2导导2议一议议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与 同伴交流同伴交流.（来自（来自教材教材）归归 纳纳知知2 2导导（来自（来自教材教
6、材）定理定理 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角这一定理可以简述为：等边对等角.知知2 2讲讲例例2 已知：如图已知：如图1-1，在，在ABC中，中，ABAC.求证：求证：BC.分析：分析：我们曾经利用折叠的方法说明我们曾经利用折叠的方法说明 了这两个底角相等了这两个底角相等(如图如图1-2).实际实际 上，折痕将等腰三角形分成了两上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等三角形个全等三角形.这启发我们，可以这启发我们，可以 作一条辅助线，把原三角形分成作一条辅助线，把原三角形分成 两个全等的三角形，从而证明这两个全等的三角形，从而证明这 两个底角相等两个底
7、角相等.（来自（来自教材教材）图图1-2知知2 2讲讲证明：证明：如图如图1-3，取，取BC的中点的中点D，连接，连接 AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABD ACD(SSS).BC(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）.（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲性质性质：等腰三角形的两底角等腰三角形的两底角相等相等 (简写成简写成“等边对等角等边对等角”)知知2 2讲讲例例3 (1)在在ABC中，中，ABAC，若，若A50，求，求B；(2)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为90，求顶角的
8、度数，求顶角的度数导引：导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解种情况求解解：解：(1)ABAC，BC.ABC180，502B180，解得，解得B65.知知2 2讲讲(2)由题意可知，由题意可知，70的角可以为顶角或底角，当底角的角可以为顶角或底角，当底角 为为70时，顶角为时，顶角为18070240.因此顶角因此顶角 为为40或或70.(
9、3)若顶角为若顶角为90，底角为，底角为 若底角为若底角为 90，则三个内角的和大于，则三个内角的和大于180，不符合三角形，不符合三角形 内角和定理因此顶角为内角和定理因此顶角为90.18090452.总总 结结知知2 2讲讲1在等腰三角形中求角在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定时，要看给出的角是否确定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理形内角和定理2若等腰三角形
10、中给出的一内角是直角或钝角，则若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角此角必为顶角1在在ABC中，中，ABAC.(1)若若A50，则，则C等于多少度？等于多少度？知知2 2练练（来自（来自教材教材）(1)在在ABC中，因为中，因为ABAC，所以所以BC.因为因为A40，ABC180，所以所以2C180A140.所以所以C70.解：解：(2)若若B72，则，则A等于多少度等于多少度?知知2 2练练（来自（来自教材教材）(2)因为因为B72，所以由所以由(1)可知：可知：A1802B 180272 36.解：解：2如图，在如图，在ABD中，中，ACBD，垂，垂足为足为C，ACBCCD
11、.(1)求证：求证：ABD是等腰三角形；是等腰三角形；知知2 2练练（来自（来自教材教材）(1)在在ACB和和ACD中，中，所以所以ACB ACD(SAS)所以所以ABAD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)所以所以ABD是等腰三角形是等腰三角形证明：证明：90ACACACBACDBCDC ，A(2)求求BAD的度数的度数.知知2 2练练（来自（来自教材教材）因为因为ACBC，所以所以BBAC.因为因为ACB90，所以所以BAC45.同理同理DAC45，所以所以BADBACDAC 454590.解：解：3知知2 2练练【2017宁德宁德】如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，
12、点D，E分别在边分别在边BC和和AC上，若上，若ADAE，则下列结论，则下列结论错误的是错误的是()AADBACBCAD BADEAEDCCDE BAD DAED2ECD12D4知知2 2练练【2017台州台州】如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，若以点，若以点B为圆心，为圆心，BC长为半径画弧，交腰长为半径画弧，交腰AC于点于点E，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是()AAEEC BAEBECEBCBAC DEBCABEC知知3 3导导3知识点知识点等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”想一想想一想在在图图1-3中，中，线段线段AD还还具有怎样的性质
13、？为什么？具有怎样的性质？为什么？由由此此你能得到什么结论你能得到什么结论?知知2 2导导归归 纳纳推论推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成底边上的高相互重合（简写成“三线合一三线合一”）知知3 3讲讲1212如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ABC的平分线的平分线BG交交AC于点于点G，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.(1)若若BAD25，求，求C的度数；的度数；(2)求证：求证：EFED.ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，BADCAD.BAC2BA
14、D50.ABAC，CABC (180BAC)(18050)65.例例4(1)解：解：知知3 3讲讲(2)求证：求证：EFED.证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，EDBC.又又BG平分平分ABC，EFAB，EFED.1知知3 3练练【中考中考苏州苏州】如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为BC的中点，的中点，BAD35，则，则C的度数为的度数为()A35 B45 C55 D60C2知知3 3练练如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D是是BC边的中点，边的中点，点点E在在AD上，那么下列结论不一定正确的是上，那么下列结论不一定正确的是()AADBC BEB
15、CECBCABEACE DAEBED3知知3 3练练如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是角平分线，是角平分线，BECF，则下列说法正确的有，则下列说法正确的有()DA平分平分EDF；EBD FCD；BDCD；ADBC.A1个个 B2个个 C3个个 D4个个D4知知3 3练练如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D，E在在BC上，上，连接连接AD，AE，若只添加一个条件使，若只添加一个条件使DABEAC，则添加的条件不能为，则添加的条件不能为()ABDCE BADAECDADE DBECDC1知识方面：知识方面：（1）等腰三角形的性质：等边对等角）等腰三角形的性质：等边对等角.
16、（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合互相重合.2思想方法：思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是转化思想的应用，等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法证明角相等、边相等的重要方法.1知识小结知识小结已知等腰三角形的一个外角等于已知等腰三角形的一个外角等于110，这个等腰三，这个等腰三角形的一个底角的度数为角形的一个底角的度数为()A40 B55 C70 D55或或70易错点：易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误求等腰三角形的角时
17、易出现漏解的错误2易错小结易错小结D 本题应用本题应用分类讨论思想分类讨论思想，分顶角为，分顶角为70和和底角为底角为70两种情况，解题时易丢掉一种情况两种情况，解题时易丢掉一种情况而漏解而漏解1.1 等腰三角形第第1 1课时课时 等腰三角形的性质等腰三角形的性质第一章 三角形的证明利用全等三角形、等腰三角形的性质求三角形中利用全等三角形、等腰三角形的性质求三角形中的角的角利用全等三角形、等腰三角形的性质证线段倍分利用全等三角形、等腰三角形的性质证线段倍分关系关系利用等腰三角形、全等三角形的性质解边角关系利用等腰三角形、全等三角形的性质解边角关系利用等腰三角形利用等腰三角形“三线合一三线合一”
18、的性质证明线段位的性质证明线段位置关系置关系(构造基本图形法构造基本图形法)123411.【中考中考苏州苏州】如图，如图，AB，AEBE，点，点D在在AC边上，边上，12，AE和和BD相交于点相交于点O.(1)求证：求证：AEC BED；(2)若若142，求，求BDE的度数的度数AE和和BD相交于点相交于点O，AODBOE.AB，BEO2.又又12，1BEO.AECBED.在在AEC和和BED中，中，AB，AEBE，AECBED，AEC BED(ASA)(1)证明：证明：AEC BED，ECED，CBDE.在在EDC中，中，ECED，142，CEDC69.BDEC69.(2)解：解：12.如图
19、，在如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC，CEAB，AECE.求证：求证：(1)AEF CEB；(2)AF2CD.ADBC，BBAD90.CEAB，BBCE90.EAFECB.在在AEF和和CEB中，中，AEFCEB，AECE，EAFECB，AEF CEB(ASA)(1)证明：证明：AEF CEB，AFBC.ABAC，ADBC，BDCD.BC2CD.AF2CD.(2)解：解：13.【中考中考菏泽菏泽】如图，如图，ACB和和DCE均为等腰三角形，均为等腰三角形，点点A，D，E在同一直线上，连接在同一直线上，连接BE.若若CABCBACDECED50.(1)求证：求证：ADBE；(2)求求AE
20、B的度数的度数CABCBACDECED50，ACBDCE18025080.ACBDCBDCEDCB，即，即ACDBCE.ACB和和DCE均为等腰三角形，均为等腰三角形，ACBC，DCEC.在在ACD和和BCE中，中，ACBC，ACDBCE，DCEC，ACD BCE(SAS)ADBE.(1)证明：证明：ACD BCE，ADCBEC.点点A，D，E在同一直线上，在同一直线上，且且CDE50，ADC180CDE130.BEC130.AEBBECCED1305080.(2)解：解：14.【中考中考连云港连云港】如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，点点D，E分别在边分别在边AB，
21、AC上，且上，且ADAE，连接，连接BE，CD，交于点，交于点F.(1)判断判断ABE与与ACD的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由(2)求证：过点求证：过点A，F的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段BC.ABEACD.理由如下：理由如下：ABAC，BAEDAC，ADAE，ABE ACD.ABEACD.（1）解：）解：连接连接AF，并延长交，并延长交BC于于G.ABAC，ABCACB.由由(1)可知可知ABEACD，FBCFCB.FBFC.又又ABEACD，ABAC，ABF ACF(SAS)BAGCAG.过点过点A，F的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段BC.(2)证明：证明：第一章第
22、一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第2 2课时课时 等边三角形等边三角形的性质的性质1课堂讲解课堂讲解u等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相等的线段 u等边三角形的性质等边三角形的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升等腰三角形有哪些性质？等腰三角形有哪些性质？复复习习回回顾顾1等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：等边对等角等边对等角.2等腰三角形性质的推论：等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合重合.1知
23、识点知识点等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相等的线段 在等腰三角形中画出一些线段在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中如角平分线、中线、高等线、高等)，你能发现其，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？明你的结论吗？知知1 1导导（来自（来自教材教材）知知1 1讲讲例例1 证明证明：等腰三角形两底角的平分线相等：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如已知：如图图,在在ABC中中，AB=AC,BD和和CE是是ABC的的角平分线角平分线.求证求证：BD=CE.（来自（来自教材教材）知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）ABAC，ABCACB(等边对等角）等边
24、对等角）.BD,CE分别平分分别平分ABC 和和ACB，12.在在BDC和和CEB中，中，ACB ABC,BC=CB,12,BDC CEB(ASA).BDCE(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）.11 1=2=22ABC,ACB.证明：证明：知知1 1讲讲例例2 求证求证：等腰三角形两腰上的中线：等腰三角形两腰上的中线相等相等导引：导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明三角形全等的知识证明知知1 1讲讲解：解：如如图，图，在在ABC中
25、，中，ABAC，CE和和BD分别是分别是AB和和AC上的中线上的中线，求证求证：CEBD.ABAC，CE和和BD分别是分别是AB和和AC上的中线，上的中线，ABCACB，BECD.又又BCCB，BEC CDB.CEBD.证明：证明：1在在等腰三角形等腰三角形ABC中，中，ABAC，那么下列说法中，那么下列说法中不正确的是不正确的是()ABC边上的高线和中线互相重合边上的高线和中线互相重合BAB和和AC边上的中线相等边上的中线相等C顶点顶点B处的角平分线和顶点处的角平分线和顶点C处的角平分线相等处的角平分线相等DAB，BC边上的高线边上的高线相等相等知知1 1练练D知知1 1练练2如如图，在图，
26、在ABC中，中，ABAC，下列条件中，不能，下列条件中，不能使使BDCE的是的是()ABD，CE为为AC，AB边上的高边上的高 BBD，CE都为都为ABC的角平分线的角平分线 CABD ABC，ACE ACBDABDBCE1 31 3D知知1 1练练3若若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100，则则顶角的度数为顶角的度数为()A50 B80 C100 D130B2知识点知识点等边三角形的性质等边三角形的性质知知2 2导导1等边三角形的定义是什么？等边三角形的定义是什么？2想一想想一想等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角等边三角形是特殊的等腰三角形，
27、那么等边三角形的内角有什么特征呢形的内角有什么特征呢?（来自（来自教材教材）归归 纳纳知知2 2导导（来自（来自教材教材）定理定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于都等于60.知知2 2讲讲已知已知：如：如图图,在在ABC中，中，AB=AC=BC.求证：求证：A=B=C=60.AB=AC，B=C(等边对等边对等角等角).又又AC=BC，A=B(等边对等边对等角等角).A=B=C.在在ABC中，中，A+B+C=180.A=B=C=60.（来自（来自教材教材）证明：证明：知知2 2讲讲ABC等边三角形的定义等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做三
28、条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形(也叫正三角形也叫正三角形).等边三角形是特殊的等腰三角形等边三角形是特殊的等腰三角形.知知2 2讲讲有有两边相等两边相等的三角形是等的三角形是等腰三角形（定义）腰三角形（定义）有有两个角相等两个角相等的三角形的三角形是等腰三角形是等腰三角形.满足什么条件的三角形是满足什么条件的三角形是等边三角形等边三角形?满足什么条件的三角形是满足什么条件的三角形是等腰三角形等腰三角形?三边都相等三边都相等的三角形是等的三角形是等边三角形（定义）边三角形（定义）三个角都相等三个角都相等的三角形是的三角形是等边三角形等边三角形.方法一：从边看方法一：从边看方法二：从角
29、看方法二：从角看方法一：方法一：方法二：方法二：知知2 2讲讲如图，已知如图，已知ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E，F分别是分别是三边三边AB，AC，BC上的点，且上的点，且DEAC，EFBC，DFAB，计算，计算DEF各个内角的度数各个内角的度数例例3 导引：导引：要计算出要计算出DEF各个内角的度各个内角的度数，有两个途径，即证数，有两个途径，即证DEF为等边三角形或直接求各个角为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直的定义及等边的度数，由垂直的定义及等边三角形的性质，显然直接求各三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易个角的度数较易知知2 2讲讲因为因为ABC是等边三角形，是等边
30、三角形，所以所以ABC60.因为因为DEAC，EFBC，DFAB，所以所以AEDEFCFDB90.所以所以ADE90A906030.所以所以EDF180309060.同理可得同理可得DEFEFD60.即即DEF各个内角的度数都是各个内角的度数都是60.解：解：总总 结结知知2 2讲讲利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于等于60的性质，找出要求角与已知角间的关系来的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解进行相关计算；有时还
31、要结合全等图形等知识来解决决知知2 2讲讲 如图，已知如图，已知ABC，BDE都是等边三角形都是等边三角形求证：求证：AECD.例例4 导引：导引：要证要证AECD，可通过证，可通过证AE，CD所在的两个三角形全等来所在的两个三角形全等来实现，即证实现，即证ABE CBD，条件可从等边三角形中去寻条件可从等边三角形中去寻找找知知2 2讲讲ABC和和BDE都是等边三角形，都是等边三角形，ABBC，BEBD，ABCDBE60.在在ABE与与CBD中，中，ABE CBD(SAS)AECD.证明：证明：ABCBABECBDBEBD ，总总 结结知知2 2讲讲运用等边三角形性质证明线段相等的方法：运用等
32、边三角形性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件三条边相等、三线合一是隐含的已知条件1求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.知知2 2练练（来自（来自教材教材）解：解：如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，CE，BF分别是分别是AB，AC边上的中线，且边上的中线，
33、且CE与与BF相交于点相交于点O，则则CE垂直平分垂直平分AB，BF垂直平分垂直平分AC，在在RtABF中，中，A60，ABF30.在在RtBEO中，中，EBO30，EOB60，即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60.2如图，在如图，在ABC中，中，D，E是是BC的三等分点，且的三等分点，且ADE是等边三角形，求是等边三角形，求BAC的度数的度数.知知2 2练练（来自（来自教材教材）解：解：由题意易知，由题意易知，BDDEAD，DBABAD.又又DBABADADE60，BAD30.同理可得，同理可得，CAE30，BACBADDAECAE 30603
34、0120.3下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是也具有的是()A三条边相等三条边相等 B三个内角相等三个内角相等C有三条对称轴有三条对称轴 D是轴对称图形是轴对称图形知知2 2练练D4下面关于等边三角形的说法正确的有下面关于等边三角形的说法正确的有()三个角都相等；三条边都相等；是一种特三个角都相等；三条边都相等；是一种特殊的等腰三角形；是一种特殊的直角三角形殊的等腰三角形；是一种特殊的直角三角形A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知2 2练练C5已知已知AD是等边三角形是等边三角形ABC的高，且的高，且BD1 cm，那么那么BC的长是的长
35、是()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm知知2 2练练B6【2016内江内江】已知等边三角形的边长为已知等边三角形的边长为3，点，点P为等边三角形内任意一点，则点为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离到三边的距离之和为之和为()A.B.C.D不能确定不能确定 知知2 2练练B323 32327如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，BD，CE是两条中是两条中线，则线，则1的度数为的度数为()A90 B30 C120 D150知知2 2练练C8【2017南充南充】如图，等边三角形如图，等边三角形OAB的边长为的边长为2，则点，则点B的坐标为的坐标为()A(1，1)B(，
36、1)C(，)D(1，)知知2 2练练D3333如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，AD是角平分线，是角平分线，ADE是等边三角形，下列结论：是等边三角形，下列结论：ADBC；EFFD；BEBD.其中正确结论的个数为其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D知知2 2练练A9如图，如图，lm，等边三角形，等边三角形ABC的顶点的顶点B在直线在直线m上，边上，边BC与直线与直线m所夹角为所夹角为20，则，则的的度数为度数为()A60 B45 C40 D30知知2 2练练C10如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，BDCE，AD与与BE相交于点相交于点P，则，则APE的度数是
37、的度数是()A45 B55 C60 D75知知2 2练练C111等腰三角形的特殊性质：等腰三角形的特殊性质：(1)等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的高相等；(3)等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等；1知识小结知识小结2等边三角形的性质：等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都等边三角形的三个内角都相等相等，并且每个角都等，并且每个角都等于于60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边
38、的垂直平分线；别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等度相等已知已知ABC是等边三角形，设是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交于边上的中线交于点点G，BAC，ABC，ACB的平分线交于点的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点边上的高交于点H，则下列结论：点，则下列结论：点G与点与点I一定重合；一定重合；点点G与点与点H一定重合；点一定重合；点I与点与点H一定重合；点一定重合；点G，点，点I与点与点H一定重合其中正确的有一定重合其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个易错点：易错点：忽视
39、等边三角形与等腰三角形的关系而致错忽视等边三角形与等腰三角形的关系而致错2易错小结易错小结D 因为等边三角形的三条边相等，所以等边因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分线互相重合，所以点线互相重合，所以点G，点，点I与点与点H一定重合一定重合1.1 等腰三角形第第2 2课时课时 等边三角形的性质等边三角形的性质第一章 三角形的证明 利用等边三角形的性质求角的度数利用等边三角形的性质求角的度数利用等边三角形的性质证线段相等利用等边三角形的性质证线段相等(构造等边三构造等边三角形法角形法)利用等边三角形的性质类比探究边角
40、关系利用等边三角形的性质类比探究边角关系12314.【中考中考怀化怀化】如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，是正方形，EBC是等边三角形是等边三角形(1)求证：求证：ABE DCE；(2)求求AED的度数的度数四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBCCD，ABCDCB90.EBC是等边三角形，是等边三角形，EBBCEC，EBCECBBEC60.EBAECD30.在在ABE和和DCE中，中，ABCD，EBAECD，EBEC.ABE DCE.(1)证明：证明：由由(1)可知，可知，ABBE，ABE30，BAEBEA75.同理，同理，CDECED75.AED360757560150.(
41、2)解：解：15.如图，已知如图，已知ABC为等边三角形，延长为等边三角形，延长BC到到D，延长，延长BA到到E，并且使，并且使AEBD，连接，连接EC，ED.求证：求证：ECED.ABC是等边三角形，是等边三角形，B60，ABBC.如图，以如图，以BE为边，为边，B为内角作等边三角形为内角作等边三角形BEF.BEBFEF，F60.BEABBFBC，即，即AECF.又又AEBD，BDCF.BDCDCFCD，即，即BCDF.证明：证明：在在ECB和和EDF中，中，EBEF，BF60，BCFD，ECB EDF(SAS)ECED.16.【中考中考烟台烟台】【】【操作发现操作发现】(1)如图，如图，A
42、BC为等边三角形，先将三角尺中的为等边三角形，先将三角尺中的60角与角与ACB重合，再将三角尺绕点重合，再将三角尺绕点C按顺时针方按顺时针方向旋转向旋转(旋转角大于旋转角大于0且小于且小于30)旋转后三角尺旋转后三角尺的一直角边与的一直角边与AB交于点交于点D.在三角尺斜边上取一点在三角尺斜边上取一点F，使使CFCD，在线段，在线段AB上取一点上取一点E，使，使DCE30，连接，连接AF，EF.求求EAF的度数；的度数；DE与与EF相等吗？请说明理由相等吗？请说明理由【类比探究类比探究】(2)如图，如图，ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ACB90，先将三，先将三角尺的角尺的90角与角
43、与ACB重合，再将三角尺绕点重合，再将三角尺绕点C按顺时针方向按顺时针方向旋转旋转(旋转角大于旋转角大于0且小于且小于45)旋转后三角尺的一直角边旋转后三角尺的一直角边与与AB交于点交于点D.在三角尺另一直角边上取一点在三角尺另一直角边上取一点F，使，使CFCD，在线段在线段AB上取一点上取一点E，使，使DCE45，连接，连接AF，EF.请直请直接写出探究结果：接写出探究结果：EAF的度数；的度数；线段线段AE，ED，DB之之间的数量关系间的数量关系(1)由旋转的性质可知由旋转的性质可知FCADCB.ABC为等边三角形，为等边三角形，ACBC，BCAB60.在在CFA和和CDB中，中，ACCB
44、，FCADCB，CFCD，CFA CDB.FACB60.EAFFACCAE6060120.解：解：DEEF.理由如下：理由如下：DCE30，FCD60，FCEDCE30.在在FCE和和DCE中，中，CFDC，FCEDCE，CECE，FCE DCE.DEEF.(2)EAF90.DB2AE2ED2.第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第3 3课时课时 等腰三角形等腰三角形的判定的判定1课堂讲解课堂讲解u等腰三角形的判定等腰三角形的判定 u反证法反证法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1 1、等腰三角形是怎样定义的？、等腰三
45、角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合上的高重合(也称为也称为“三线合一三线合一”).).等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简写成简写成 “等边对等角等边对等角”).2 2、等腰三角形有哪些性质？、等腰三角形有哪些性质？D DA AB BC C既是性质又既是性质又是判定是判定1知识点知识点等腰三角形的判定等腰三角形的判定知知1 1导导思考思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，我们知
46、道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？如图，在如图，在ABC中，中，B=C.作作ABC的角平分线的角平分线AD.在在BAD和和CAD中，中，1=2，B=C，AD=AD,BAD CAD(AAS).AB=AC.知知1 1导导 知知1 1导导归归 纳纳 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：定方法：如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角那么这两个角所对的边也相等（简
47、写成所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”).（来自教材（来自教材）知知1 1讲讲1判定定理：判定定理：有两个角相等的三角形是等有两个角相等的三角形是等腰三角腰三角形形(简称等角对等边简称等角对等边)应用应用格式：在格式：在ABC中，中，BC,ABAC.2等腰三角形的判定与性质的异同等腰三角形的判定与性质的异同相同点：相同点：都是在一个三角形中都是在一个三角形中；区别区别：判定是由角到边，性质是由边到角判定是由角到边，性质是由边到角即：即：性性质质判判定定等等边边等等角角知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）例例1 已知已知：如：如图，图，ABDC，BDCA，BD与与CA 相交于点相交于
48、点E.求证：求证：AED是是等腰三角形等腰三角形.知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）ABDC，BDCA，ADDA，ABD DCA(SSS).ADBDAC(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).AEDE(等角对等边等角对等边).AED是等腰三角形是等腰三角形.证明：证明：知知1 1讲讲如如图图-，在在ABC中，中，P是是BC边上一点，过点边上一点，过点P作作BC的垂线，交的垂线，交AB于点于点Q，交，交CA的延长线于点的延长线于点R，若，若AQAR，则，则ABC是等腰三角形吗？请是等腰三角形吗？请说明理由说明理由导引：导引：要说明要说明ABC为等腰三角形，由图为等腰三角形，由图可知即
49、要说明可知即要说明BC，而，而B，C分别在两个直角三角形中，因分别在两个直角三角形中，因此只要说明此只要说明B，C的余角的余角BQP，R相等即可相等即可例例2 知知1 1讲讲解：解：ABC是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又又BQPAQR，RBQP.PR是是BC的垂线，的垂线，BPQCPR90.在在RtQPB和和RtRPC中，中，BBQP90，CR90，BC.ABAC.总总 结结知知1 1讲讲本题运用了本题运用了转化思想转化思想，将要证的两角相等利用等，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐
50、含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用1如图，在如图，在ABC中，中，BD平分平分ABC，交交AC于点于点D，过点过点D作作BC的平分线，交的平分线，交AB于点于点E，请判断，请判断BDE的形状，并说明理由的形状，并说明理由.知知1 1练练（来自（来自教材教材）解：解：BDE为等腰三角形为等腰三角形理由如下：因为理由如下：因为BD平分平分ABC，所以所以ABDDBC.因为因为DEBC，所以，所以EDBDBC.所以所以EBDEDB.所以所以EBED.故故BDE为等腰三角形为等腰三角形2在在ABC中，中，A和和B的度数如下，能判定的度数如下，能判定A
