1、13.2 一致收敛函数列与一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质函数项级数级数的性质一一 一致收敛函数列的性质一致收敛函数列的性质 二二 函数项级数的性质函数项级数的性质问题的提出问题问题:函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题 1)(lim0nnxxxu?1)(lim0nnxxxu而言，应为而言，应为对函数序列对函数序列注：注：)(xSn)(limlim0 xSnnxx?)(limlim0 xSnxxn 1)(nnxudxd?1)(nnxudxd而言，应为而言，应为对函数序列对函数序列注：注
2、：)(xSn)(limxSdxdnn?)(limxSdxdnn 2.求导运算与无限求和运算交换次序问题求导运算与无限求和运算交换次序问题dxxubann 1)(?1)(nbandxxu而言，应为而言，应为对函数序列对函数序列注：注：)(xSn banndxxS)(lim?dxxSnban)(lim 3.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题 定理定理 13.813.8 设函数列设函数列 fn 在在(a,x0)(x0,b)上上一致收敛于一致收敛于 f，且且,2,1)(lim0 naxfnnxx则则.lim)(lim0nnxxaxf 即即.)(limlim)(liml
3、im00 xfxfnxxnnnxx 一、一致收敛函数列的性质一、一致收敛函数列的性质这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序 证证 先证数列先证数列 an 收敛因为收敛因为 fn 一致收敛，一致收敛，故对任给的故对任给的 0,存在存在 N 0,当当 n N 时，对任何时，对任何正整数正整数 p，对一切对一切 x(a,x0)(x0,b)有有|fn(x)f n+p(x)|0,存在存在 N 0,当当 n N 时时，对任何对任何 x(a,x0)(x0,b)有有|fn(x)f(x)|/3 和和|an A|/3 同时成立特别取同时成立特别取 n=N+1，有有|f
4、N+1(x)f(x)|/3 和和|aN+1 A|0,当当0|x x0|时时，|fN+1(x)aN+1|/3这样当这样当0|x x0|0,存在存在 N 0,当当 n N 时，对一切时，对一切 x a,b，都有都有|fn(x)f(x)|N 时有时有|d)(d)(|babanxxfxxf banxxfxfd|)()(|baxd.)(ab 证毕证毕注注1 1：该定理指出：在一致收敛的条件下，：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序极限运算与积分运算可以交换顺序 12,0211()22,210,1nnnnnxxnfxnxxnnxn 1,2,n 注注2 2：一致收敛只是这两种运算换
5、序的充分条件，：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的而并非必要条件。如下面的 0,1sup()()nnxfxf x 1,.nnfxfx 这这样样当当时时,虽虽然然不不一一致致收收敛敛于于但但可可积积性性定定理理的的结结论论仍仍成成立立 1100,10.2nnnnfxfxfxfx 但但当当时时不不一一致致收收敛敛于于且且也也不不收收敛敛于于 1100100,20lim02nnnnnfx dxfx dxnfx dxn 由由 于于因因 此此注注3)(,)()()(lim,)()()(lim,)(,)(xfbaxfdxxfdxxfbaxfxfxfbaxfnbaxfnbaban
6、nnnnn上不一致收敛于上不一致收敛于在在则则上不可积，或者上不可积，或者在在但但，上可积，上可积，在在上，若对任何上，若对任何定义在定义在设函数列设函数列 1,0,)(2 xnxexfnxn例设例设 定理定理13.1113.11（可微性）设（可微性）设 x0a,b 为为 fn 的收的收敛点，且敛点，且 fn(n=1,2,.)在在 a,b 上有连续的导数，上有连续的导数，fn 在在 a,b 上一致收敛，则上一致收敛，则.)(lim)(lim(xfdxdxfdxdnnnn 证证设设,)(lim0Axfnn .)()(limxgxfnn 由题设及定理由题设及定理 13.9 知知，g 在在 a,b
7、连续连续先证先证：fn 在在 a,b 收敛收敛对任何对任何 x a,b，由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式，总有莱布尼兹公式，总有.d)()()(00 xxnnnttfxfxf因为因为 fn(x)在在 a,b 上连续，由定理上连续，由定理13.10，得得)(limxfnn xxnnnnttfxf0d)(lim)(lim0 xxnnttfA0d)(lim.d)(0 xxttgA所以极限所以极限)(limxfnn 存在，设存在，设.)()(limxfxfnn 于是于是.d)()(d)()(000 xxxxttgxfttgAxf由于由于 g 在在 a,b 上连续，再由微积分基本定理，得上连续，再由微积分基本
8、定理，得)(xfdxd xxdttgdxd0)()(xg.)(limxfdxdnn 即即.)(lim)(lim(xfdxdxfdxdnnnn 证毕证毕 )(xfn,ba注注1 1：在该定理的条件下可以证明：在该定理的条件下可以证明在区间在区间上一致收敛；上一致收敛；注注2 2：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限 运算可以交换顺序；运算可以交换顺序；注注3 3：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条 件，件，而并非必要条件而并非必要条件 )1ln(21)(22xnnxfn ,2,1 n,2,1,1)(22
9、 nxnnxxfn例例2 2 设函数列设函数列 Dini定理定理 )(,)()()3(,)()2(,),2,1)()1()(,)(xSbaxSnxSbaxSbanxSxSbaxSnnnn上一致收敛于上一致收敛于在在则则单调；单调；关于关于上连续；上连续；在在上连续；上连续；在在上收敛上收敛在在设函数序列设函数序列 练习练习 设有函数列设有函数列 1,0,1)()2(1,0,2)()1(22222 xxnnxxfxxenxfnxnn证明：这两个函数在证明：这两个函数在0,1上都不一致收敛；上都不一致收敛；逐项可积性对逐项可积性对(1)不成立，但对不成立，但对(2)成立成立二二 函数项级数的性质函
10、数项级数的性质1.1.逐项求极限定理逐项求极限定理 01,limnnnnxxuxUxnuxa 在在内内一一致致收收敛敛 011limnnxxnnuxa 2.连续性定理定理定理13.1213.12证证 设设xx,0为为 ba,上任意点由上任意点由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn )()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 级数级数 1)(nnxu一致收敛于一致收敛于)(xs，对对0 ，必必 自自然然数数)(NN ，使使得得当当Nn 时时,对对 ba,上上的的一一切切x都都有有3)(xrn(
11、2).3)(0 xrn同样有同样有故故)(xsn(Nn )在在点点0 x连连续续，(3)0 当当 0 xx时总有时总有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可见可见,对任给对任给0 ，必有，必有0 ，当当 0 xx时，有时，有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限项项连连续续函函数数之之和和，所以所以)(xs在点在点0 x处连续，处连续，而而0 x在在ba,上上是是任任意意的的，因因此此)(xs在在ba,上上连连续续定理定理13.1313.13 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba,上都连续上都连续,且且 1)(nnxu在区间在区间 b
12、a,上一上一致收敛于致收敛于)(xs,则则)(xs在在 ba,上可以逐项积分上可以逐项积分,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0,并并 且且上上 式式 右右 端端的的 级级 数数 在在 ba,上上也也一一致致收收敛敛.(4)3.3.逐项求积定理逐项求积定理证证 级数级数 1)(nnxu在在ba,一致收敛于一致收敛于)(xs,xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又又 由由 级级 数数的的 一一 致致收收 敛敛 性性,对对 任任 给给 正正 数数 必必 有有)(NN 使使得得当当N
13、n 时时,对对ba,上上的的一一切切x,都都有有.)(abxrn xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(0().xxba 根据极限定义，有根据极限定义，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依赖于只依赖于 而于而于xx,0无关，无关，所以级数所以级数 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收敛上一致收敛.于于是是，当当Nn 时时有有定理定理13.1413.14 如果级数如果级数 1)(nnxu在区间在区间 ba,上收敛上收敛于和于和)(xs，它的各项，它的各项)(xu
14、n都具有连续导数都具有连续导数)(xun，并且级数，并且级数 1)(nnxu在在 ba,上一致收敛，上一致收敛，则级数则级数 1)(nnxu在在 ba,上也一致收敛，且可逐上也一致收敛，且可逐项求导，即项求导，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)4.4.逐项求导定理逐项求导定理注意注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,cos2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意
15、值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导例例3 3 设设.,2,1,)1ln(1)(223 nxnnxun证明函数项级数证明函数项级数un(x)0,1上一致收敛，并讨论其上一致收敛，并讨论其和函数在和函数在0,1上的连续性，可积性与可微性上的连续性，可积性与可微性证明：证明：对每一个对每一个n，易见，易见)(xun1,0为为上增函数，上增函数，故有故有),1ln(1)1()(23nnuxunn .,2,1 n1 t,)1ln(2tt 又当又当时，有不等式时，有不等式 所以所以,1)1ln(1)(223nnnxun 1)(nnxu0,
16、1上一致收敛上一致收敛)(xun1,0由于每一个由于每一个在在上连续上连续,根据定理根据定理13.12与定理与定理13.13,1)(nnxu的和函数的和函数)(xS 在在1,0上上连续且可积连续且可积.又由又由 ,122)1(2)(222nnxnxxnnxxun 1)(nnxu1,0推得推得也在也在上一致收敛上一致收敛.)(xS1,0由定理由定理13.14,得得在在上可微上可微.练习练习函数函数上连续，且有连续的导上连续，且有连续的导在在函数函数 02)2,0(1cos)(1nnnxxf 函数。函数。也必然收敛于一个连续也必然收敛于一个连续上收敛于连续函数，则上收敛于连续函数，则在在，对一切对
17、一切上连续，且上连续，且在区间在区间设设 11)(),()()(|)(|),()(),(2nnnnnnnnxubaxvNnxvxubaxvxu上一致收敛上一致收敛在在上单调增加，证明：上单调增加，证明：在闭区间在闭区间，收敛，且对一切收敛，且对一切在在设函数项级数设函数项级数,)(,)(,)(311baxubaxuNnbxaxxunnnnn 上必定非一致收敛。上必定非一致收敛。在在，对任意的对任意的发散，证明：发散，证明：在在右连续，且右连续，且在在设对一切设对一切),()(0)()(,411 aaxuaxxuaxxuNnnnnnn)(lim)(lim1,03)(lim)(lim211,0)(),4,3,2()(ln)(51010 xSxSxxSdxxSxSnnnxxSnnnnnnnnnxxn 时有时有）一致收敛一致收敛）上分别满足上分别满足在在的取值范围，使的取值范围，使试求试求设函数序列设函数序列 上一致收敛上一致收敛在在证明证明上连续，上连续，在在设函数设函数1,0)(:.0)1(1,0)(6xfxfxfn 导数导数内连续，并有各阶连续内连续，并有各阶连续在在函数函数),0()1(71 nxnn
