1、第五章热力学第一定律可看作理想气体，且，51.0.020Kg 的氦气温度由升为，若在升温过程中：（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作的功，设氦气解：理想气体内能是温度的单值函数，一过程中气体温度的改变相同，所以内能的改变也相同，为：热量和功因过程而异，分别求之如下：（1） 等容过程：V=常量A0由热力学第一定律，（2） 等压过程：由热力学第一定律，负号表示气体对外作功，（3） 绝热过程Q0由热力学第一定律气可看作理想气体，且，52.分别通过下列过程把标准状态下的 0.014Kg 氮气压缩为原体积的一半；（1）等温过
2、程；（2）绝热过程；（3）等压过程，试分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功，设氮解：把上述三过程分别表示在 P-V 图上，（1） 等温过程13随堂章节理想气体内能是温度的单值函数，过程中温度不变，故由热一、负号表示系统向外界放热由或（2） 绝热过程得由热力学第一定律另外，也可以由及先求得 A（3） 等压过程，有或而所以由热力学第一定律，也可以由求之另外，由计算结果可见，等压压缩过程，外界作功，系统放热，内能减少，数量关系为，系统放的热等于其内能的减少和外界作的功。看作理想气体，且53在标准状态下的 0.016Kg 的氧气，分别经过下列过程从外界吸收了 80cal
3、的热量。（1）若为等温过程，求终态体积。（2）若为等容过程，求终态压强。（3）若为等压过程，求气体内能的变化。设氧气可则解：（1）等温过程故（2） 等容过程（3） 等压过程解： 将两边取对数54 为确定多方过程方程中的指数 n，通常取论在这种图中多方过程曲线的形状，并说明如何确定 n。为纵坐标，为横坐标作图。试讨比较知在本题图中多方过程曲线的形状为一直线，如图所示。直线的斜率为可由直线的斜率求 n。或或55 室温下一定量理想气体氧的体积为，压强为。经过一多方过程后体积变为，压强为。试求：（1）多方指数n；（2）内能的变化；（3）吸收的热量；（4）氧膨胀时对外界所作的功。设氧的。即 n 可由两截
4、距之比求出。解：（1）或取对数得（2）（3）内能减少。也可由求（4） 由热力学第一定律56 一摩尔理想气体氦，原来的体积为，温度为，设经过准静态绝热过程体积被压缩为，求在压缩过程中，外界对系统所作的功。设氦气的。解：由热力学第一定律57 在标准状态下的氧气，经过一绝热过程对外作功。求终态压强、体积和温度。设氧气为理想气体，且，解：绝热由热力学第一定律58.0.0080Kg 氧气。原来温度为，体积为 0.41l，若（1） 经过绝热膨胀体积增为 4.1l；试分别计算在以上两种过程中外界对气体所作的功。设氧气可看作理想气体，且。（2） 先经过等温过程再经过等容过程达到与（1）同样的终态。解：如图，将
5、两种过程在图上表示。（1） 绝热过程负号表示系统对外界作功（2） 等容过程外界对气体不作功5-9.在标准状态下，一摩尔单原子理想气体先经过一绝热过程，再经过一等温过程，最后压强和体积均为原 来的两倍，求整个过程中系统吸收的热量。若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果是否相同？解：（1）先绝热压缩再等温膨胀，从态 1 到态 2 如图，对态 2又，仅等温过程吸热（2） 先等温膨胀再绝热压缩，气体从态 1 到态 2，如图由（1）知又8.31273ln166.3J仅等温过程态 1 到态 4 吸热，可见，结果与(1)中不同，说明热量是过程量。510.一定量的氧气在标准状态下体积为 10.
6、0l，求下列过程中气体所吸收的热量：（2）先等容冷却再等压膨胀到（1）所达到的终态。设氧气可看作理想气体，且。（1） 等温膨胀到 20.0l；解：（1）等温膨胀1.01310702J（2） 先等容冷却在等压膨胀对 123 全过程：则由热力学第一定律507J系统总体积增加 dv，而在这过程界面上各均受到与界面垂直的外界对系统所作体积功为；若过程为准静态的，则此功又可表示为，其中P 表示系统内部均匀压强。证：如图，当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，所取面元 ds 移动距离dl，移动方向与相反，所以此微元过程中外界压强对面元 ds 作的功为511.图 511 中的实线表示一任意形状系统的界面
7、。设当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，由于在界面上各处均匀，且在微元过程中可视为不变，则外界对整个系统所作的体积功为对于无摩擦的准静态过程故此功又可表为513.某气体服从状态方程，内能为：其中P 表示系统内部均匀压强。其中、为常数。试证明，在准静态绝热过程中，这气体满足方程： 常数（1）证：由热力学第一定律，对准静态绝热过程由，（2）将微分代入（2）式得：则（1）式为或（3）又，该气体有令则为常数代入（3）式514.在时水蒸气的饱和气压为 0.029824bar。若已知在这条件下水蒸气的焓是 2545.0KJ，积分得常数水的焓是 100.59 KJ，求在这条件下水蒸气的凝结热。H 水H
8、 气100.592545.0解：在水蒸气凝结为水的等温等压过程中，系统吸收的热量等于其焓的增加，为24444.41 KJ515.分析实验数据表明，在 1atm 下，从 300K 到 1200K 范围内，铜的定压摩尔热容量可表示为即该条件下水蒸气的凝结热，负号表示水蒸气凝结时放热。其中 a2.3，b5.92，的单位是增加到 1200K 时铜的焓的改变。试由此计算在 1atm 下，当温度从 300K已知为常数，则为常数。=解：铜在升温过程中压强不变，吸收的热量等于其焓的增加，所以利用先将 u 表示为 T，v 的函数=516.设一摩尔固体的物态方程可写作内能可表示为其中 a、b、c 和均是常数。试求
9、：（2）摩尔热容量和解：（1）（2）（1） 摩尔焓的表达式；=注意：这道题目出的有毛病，因为由热力学关系可证但由本题所给条件=aT而Tp=aTbp显然不满足（）式，即本题条件违背热力学基本关系。5-17 .若把氮气、氢气和氨气都看着作理想气体（p0）,由气体热力学性质表可查到它们在 298K的焓值分别为 8669J m0.试求在定压下氨的合成热。氨的合成反应为解：系统在定压下吸收的热量等于其焓的增加，为=即氮的合成热。负号表示此合成反应是放热的。518.料电池是把化学能直接转化为电能的装置。图 5-18 所示是燃料电池一例。把氢气 和氧气连续通入多孔 Ni 电极，Ni 电极是浸在 KOH 电解
10、溶液中的（电极的孔径很小，可使电解液因毛细现象而渗入，但氢和氧气都透不过）。负极上的化学反应是，氢与电解液中的氢氧根离于结合，生成离子和水：电子通过电极跑到外电路去。正极上的化学反应是，氧与电解液中的水、电子结合为氢氧子：这燃料电池反应的总效果是：若一燃料电池工作于 298K 定压下，在反应前后焓的改变为随堂章节14两极电压为。试求这燃料电池的效率。解：定压下，1 摩尔氢尔和半摩尔氧化合成 1 摩尔水时吸收的热量为负号表示实际放出的热量为26随堂章节每产生 1 个水分子就有两个电子自阴极跑到阳极，因而生成 1 摩尔的水就有极跑到阳极。每个电子的电量为库仑，故总电量为个电子自阴库仑已知两极间电压
11、为，故所作电功为焦耳则，这燃料电池的效率为519.大气温度随高度降低的主要原因是，低处与高处各层间不断发生空气交换。由于空气的导热性能不好，所以空气在升高时的膨胀（及下降时的压缩）可认为是绝热过程。若假设过程是准静态的，并注意到大气达到稳定机械平衡时压强差与高度的关系，证明空气的温度梯度为其中 p 为空气压强,、T 分别为紧度与温度，是空气的。微分得，证：所谓“大气达稳定机械平衡”，指重力场中的气体分子在热运动和重力两种互相对立的作用下的平衡， 平衡时分子数密度随高度减小的规律可由玻尔兹曼分布律给出，结合p=nkT 可得大气压强差与高度差的关系（等温气压公式）：从有代入上式得（1）认为一定量的
12、空气上升时经历的过程，是理想气体的准静态绝热膨胀，有取对数，再微分，有或将（1）代入此式得：即空气的温度梯度。5-20.利用大气压随高度变化的微分公式证明：其中和为地面的温度和压强，p 是高度h 处的压强。假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。证：将 dp 表达式中的变量T 用绝热方程换掉后积分即得证明，具体作法如下： 取一定量空气在地面和高度 z 处两状态，由绝热方程或积分整理得代入 dp 的表达式中，得而所以5-21. 图 5-21 有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A 和 B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 80cal 的热量缓慢地同底部供给气体，设活塞上
13、的压强始终保持为 1.00atm, 求 A 部和 B 部温度的改变以及各吸收的热量(导热板的热容量可以忽略).若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板,重复上述讨论.解：(1)导热板位置固定经底部向气体缓慢传热时，A 部气体进行的是准静态等容过程，B 部进行的是准表态等压过程。由于隔板导热，A、B 两部气体温度始终相等，因而=6.7K=139.2J（2） 绝热隔板可自由滑动B 部在 1 大气压下整体向上滑动，体积保持不变且绝热，所以温度始终不变。A 部气体在此大气压下吸热膨胀5-22. 图 5-22 所示是一种测定=CP/CV 的装置。经活塞 B 将气体压入营容器A 中，使压强略高于大气
14、压的表达式。（设为P1）。然后迅速开户再关闭活塞C，此时气体绝热膨胀到大气压P0。经过一段时间，容器中气体的 温度又恢复到与室温相同，压强变为P2，假设开启C 后关闭C 前气体经历的是准静态绝热过程，试定出求解：由于P1 略大于P0，当开启C 后，将有一部分气体冲出容器 A，把仍留在 A 中的气体作为研究对象， 则从开户 C 后到关闭 C 前，系统经历准静态绝热膨胀过程，由状态1（P1，T0）到状态 2（P0，T2）；从关闭 C 到留在 A 的气体恢复室温，系统经历准静态等容吸热过程，由状态 2（P0，T2）到状 3（P2，T0）。两过程可表示如图绝热过程中等容过程中取对数整理得：光滑金属小球
15、（象一个活塞）。设小球在平衡位置时，气体体积为 V，压强 为P=P0+（P0 为大气压523.如图 5-23，瓶内盛有气体，一横截面为A 的玻璃管通过瓶塞插入瓶内。玻璃管内放有一质量为m 的强）现将小球稍向下移，然后放手，则小球将以周期 T 在平衡位置附近振动。假定在小再教育上下振动的过程中，瓶内气体进行的过程可看作准静态过程，试证明：（1） 使小球进行简谐振动的准静态弹性力为这里=CP/CVy 为位移。（2） 小球进行简谐振动的周期为（3）由此说明如何利用这些现象测定(1)证：（1）取Y 坐标原点在小球平衡位置处，向下为正。小球所受的大气压力和重力始终为P0A+mg，方向向下。在平衡位置处，
16、小球所受合力为零，有其中 pA 为小球在平衡位置时，瓶内气体施于小球的向上的压力。(2)设土法上马球在 y 处时，瓶内气体的压强为,体积为则小球从 y=0 处至 y 处，瓶内气体体积改变为当小球离开平衡位置向下至于 y 处，瓶内气体将经历一准静态绝热过程，将 p=C 微分得V=V=yA，压强的改变面貌为P=-P,考虑到VV，P0).其质量为 m,则动能 K=证:(1)对于稳定流动的流体,虽然整个系统处于非平衡态,但任一微小流块可近似为处于平衡态,其内能为 U,设:对于小流块的微元过程,其热力学第一定律的表达式由(5.11)式给出由于不流块处在重力场中,外部对小流块作的功中还应包括重力对小流块作
17、的功-mgdz,即小流块在微元过程中热力学第一定律的表达式为:其中 dA 是除重力外外部对小流块的微功.(1)注意到,由初态到终态积分上式,即得小流块从流进到流出的过程中热力学第一定律的表达式,(2)(1)式或为(2)(3)(2)式中的A 包括两部分:由于小流块对外作功,则 A中包括-周围液体对小流块作的功,其中是流入时外界对小流块作的正功,是流出时外界对小流块作的负功.综之,注意到 H=U+Pv=mh,=,Q=mq,以 m 除上式,即得代入(2)式,有:3.001,6.001 求效率.设气体的5-27 图 5-27 所示为一摩尔单原子理想气体所经历的循环过程,其中 AB 为等温线.已知解:A
18、B,CA 为吸引过程,BC 为放热过程.又故%且5-28 图 5-28(T-V 图)所示为一理想气体(已知)的循环过程.其中 CA 为绝热过程.A 点的状态参量(T,)和 B(1)气体在 AB,BC 两过程中各和外界交换热量吗?是放热还是吸热?点的状态参量(T,)均为已知.(2) 求 C 点的状态参量解:(1)AB 是等温膨胀过程,气体从外界吸热,BC 是等容降温过程,气体向外界放热.(3) 这个循环是不是卡诺循环? (4)求这个循环的效率.从又得(4)=(3)不是卡诺循环=5-29 设燃气涡轮机内工质进行如图 5-29 的循环过程,其中 1-2,3-4 为绝热过程;2-3,4-1 为等压过程
19、.试证明这循环的效率为随堂章节27又可写为其中是绝热压缩过程的升压比.设工作物质为理想气体,为常数.证:循环中,工质仅在 2-3 过程中吸热,循环中,工质仅在 4-1 过程中放热循环效率为或从两个绝热过程,有或又可写为由等比定理随堂章节30为已知试证明5-30 图 5-30 所示为理想气体经在的循环过程,这循环由两个等容过程和两个等温过程组成.设为已知,设证:如图,由两等温过程可两式相除有得即若本题由两个等容过程和两个绝热过程组成循环,结论不变.5-31 图 5-31 中 ABCD 为一摩尔理想气体氦的循环过程,整个过程由两条等压线和两条等容线组成.设已知 A 点的压强为2.0tam,体积为1
20、.01,B 点的体积为 2.01,C 点的压强为1.0atm,求循环效率.设=解:DA 和 AB 两过程吸热,=6.5atmlBC 和 CD 两过程放热=%=5.5atml5-32 图 5-32 所示的循环过程中.设4.69问燃烧 50kg 汽油可得到多少功.已知汽油的燃烧值为气体可看作理想气体. 解:5-29 题已证出:由此燃烧 50kg 汽油,工质吸收的热量为=4.6950=2.3455-33 一制冷机工质进行如图 5-33 所示的循环过程,其中ab,cd 分别是温度为程.设工质为理想气体,证明这制冷机的制冷系数为,的等温过程;cb,da 为等压过Cd,da 两过程吸热,而证:ab,cd
21、两过程放热,而则循环中外界对系统作的功为从低温热源1,(被致冷物体)吸收的热量为制冷系数为5-34 绝热压缩系数的定义是,其中表示物质 P,V 的经过绝热过程的微量改变(变为).设物质为理想气体,且服从绝热过程方程.略去二级无穷小量,证明证明过程中可见,由于,在计算时可不考虑 bc 及 da 两过程.该理想气体的证:设气体由状态(P,V)经绝热微过程变到状态(),由绝热方程,有随堂章节31(1)由于,利于二项式公式两边同除以,上式可整理为代入(1)式:整理之5-35 理论上可以证明,在液体或气体中传播的声速C=,其中为物质密度,为绝热压缩系数.由这式并利用上题结果证明对理想气体有 C=,并有 C=.试讨论由声速测定的可能性及误差的来源.忽略二级无穷小量,则证:由上题结果,理想气体的由有上式或为:随堂章节33可见,只要测得声速C,温度 T,对已 u 知的某种气体,其可得知.由于与 C 的二次方有关,所以声速的测量误差是误差的主要来源,另外,误差还来源于:实际气体并非理想气体,实际过程并非准静态绝热过程,等.
