1、原子物理与量子力学原子物理与量子力学第第8 8章章 矩阵力学简介矩阵力学简介8.1 态的表象态的表象K矩阵简介矩阵简介(Review)(Review)1.1.NM矩阵矩阵矩阵矩阵A的的共轭矩阵共轭矩阵例如例如0ii0AAA0ii00ii0*表象：表象：波函数和力学量算符的不同表示形式。波函数和力学量算符的不同表示形式。常用表象：常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。K直角坐标系的旋转变换直角坐标系的旋转变换 平面直角坐标系平面直角坐标系Ox1x2中，两坐标轴的基矢可表示为中，两坐标轴的基矢可表示为e1、e2，其其标积标积为为平面上的任
2、一平面上的任一矢量矢量A可表示为可表示为在两个坐标轴上的在两个坐标轴上的分量分量（或投影）为（或投影）为（A1，A2）称为称为A在坐标系在坐标系Ox1x2中的表示中的表示。坐标系坐标系Ox1x2沿垂直于自身平面的沿垂直于自身平面的轴顺时针转动轴顺时针转动角，成为一个新的坐标角，成为一个新的坐标系系 ，单位基矢变为，单位基矢变为 。在新。在新坐标系中的两基矢的坐标系中的两基矢的标积标积为为21xxO21ee、同一矢量同一矢量A在新坐标系中的在新坐标系中的表示表示为为 矢量矢量A在新坐标系中的在新坐标系中的投影分量投影分量为为 矢量矢量A在新旧坐标系中两种表示的关系为何？应当相等，在新旧坐标系中两
3、种表示的关系为何？应当相等，即即 用新坐标系的基矢量分别对上式的后一等式作标积，有用新坐标系的基矢量分别对上式的后一等式作标积，有上式可用上式可用矩阵形式矩阵形式表示表示或记为或记为其中，其中，是把矢量是把矢量A在两坐标系中不同表示的在两坐标系中不同表示的变换矩阵变换矩阵，这是一个，这是一个幺幺正矩阵正矩阵。若转动角。若转动角一旦给出，两个坐标系之间的旋转变换一旦给出，两个坐标系之间的旋转变换关系就完全确定。关系就完全确定。K量子力学中态矢量的表象量子力学中态矢量的表象 假定算符假定算符 具有分立的本征值谱，本征方程为具有分立的本征值谱，本征方程为F作以下积分作以下积分 即即 ，是，是 与与各
4、基矢（各基矢（的本征态的本征态 ）的）的内积。这里的波函数也叫态矢量，属于希尔伯特空间（复数内积。这里的波函数也叫态矢量，属于希尔伯特空间（复数空间），可以是无穷维的。空间），可以是无穷维的。把态矢量或其转置共轭写成如下矩阵形式把态矢量或其转置共轭写成如下矩阵形式 Fm其归一化条件为其归一化条件为归一化条件写成矩阵形式为归一化条件写成矩阵形式为I是单位矩阵。是单位矩阵。态矢量在不同的表象中有不同的表示。态矢量在不同的表象中有不同的表示。F坐标表象坐标表象 以坐标算符的本征态为基矢构成的表象称为以坐标算符的本征态为基矢构成的表象称为坐标表坐标表象象。以一维的。以一维的x坐标为例，其坐标算符的坐标
5、为例，其坐标算符的本征方程本征方程为为 相应本征函数为相应本征函数为 。任意量子态均可以按该本。任意量子态均可以按该本征函数展开征函数展开)(xxF动量表象动量表象 以动量算符的本征态为基矢构成的表象称为以动量算符的本征态为基矢构成的表象称为动量表象动量表象。以一维的动量算符以一维的动量算符 为例，其为例，其本征态（坐标表象）本征态（坐标表象）为为xp 任意量子态均可以按该本征函数展开任意量子态均可以按该本征函数展开F同一态矢量（波函数）在不同表象中的关系同一态矢量（波函数）在不同表象中的关系 该问题相当于同一矢量在直角坐标下经过转动变该问题相当于同一矢量在直角坐标下经过转动变换后的两种表示之
6、间的关系。两种表象中的态矢量关换后的两种表示之间的关系。两种表象中的态矢量关系为系为表示成矩阵关系表示成矩阵关系K算符的表象表示算符的表象表示仍以线性空间的矢量作类比仍以线性空间的矢量作类比8.1 算符的矩阵表示算符的矩阵表示令令写成矩阵形式，有写成矩阵形式，有用用e1、e2对上式作点乘，得对上式作点乘，得 即即R()矢量矢量A逆时针转动逆时针转动角的变换矩阵，容易证明是它角的变换矩阵，容易证明是它幺正矩阵。幺正矩阵。与此类比，设与此类比，设 经算符经算符 作用后变为作用后变为 ，即，即以以F表象（力学量表象（力学量F完全集的本征态完全集的本征态 ）为基矢，）为基矢，和和 分别分别表示为表示为
7、如何通过上式由如何通过上式由ak求求bk?Lk力学量算符对态的作用可以写成力学量算符对态的作用可以写成 矩阵矩阵L一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在 作用下作用下的变化就完全确定了。的变化就完全确定了。L例例1 1 求一维谐振子的坐标求一维谐振子的坐标x、动量、动量px以及哈密顿量以及哈密顿量H在在能量表象中的表示。能量表象中的表示。8.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用矩阵表述，从而构成矩阵力学在矩阵表述，从而构成矩阵力学在F表象中，力学量表象中，
8、力学量L的矩的矩阵元表示为阵元表示为 而量子态而量子态则表示成列矢的形式，即则表示成列矢的形式，即量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式薛定谔方程的矩阵表示薛定谔方程的矩阵表示F薛定谔方程薛定谔方程在在F表象中，表象中，系数为时间系数为时间t函数，薛定谔方程为函数，薛定谔方程为作以下内积作以下内积记哈密顿算符的矩阵元为记哈密顿算符的矩阵元为薛定谔方程变为薛定谔方程变为表示成矩阵形式表示成矩阵形式平均值公式的矩阵表示平均值公式的矩阵表示F力学量的平均值力学量的平均值即在自身表象中，矩阵元为即在自身表象中，矩阵元为代入平均值公式代入平均值公式本征值方程的矩阵表示本
9、征值方程的矩阵表示算符算符 的本征方程为的本征方程为在在F表象中，任意波函数按其本征态展开表象中，任意波函数按其本征态展开L再代入本征方程，得再代入本征方程，得用用j作内积作内积，得，得方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即 如表象空间的维数为如表象空间的维数为N，则上式是关于，则上式是关于L的的N次方程，有次方程，有个个N实根。若有实根。若有n个个重根，则力学量重根，则力学量L的本征态是的本征态是n重简并的。重简并的。即即写成矩阵形式写成矩阵形式用解得的根一一代入前面的代数所得方程组用解得的根一一代入前面的代数所得方程组可以得到可以得到 ，并把它表成列矢的形式，并把它表成列矢的形式 这是与本征值这是与本征值 相应的本征态在相应的本征态在F表象中的表示。表象中的表示。)(jkajL力学量的表象变换力学量的表象变换按照按照F表象中的基矢展开表象中的基矢展开用用 对上式作内积对上式作内积k即即或或同理可得同理可得式中式中其中其中由此可以得由此可以得式中式中是从是从F表象到表象到F表象间基矢变换的幺正矩阵，即表象间基矢变换的幺正矩阵，即即即本章小结本章小结谢谢 谢谢!
