1、（一）合情推理发现新结论的例子（二）合情推理导致错误结论的例子（三）合情推理与逻辑推理相辅相成的教学（四）另外一种合情推理在方法和程序方面的类比（五）另外又一种合情推理提供证明思路和方向的合情推理（六）结合学生生活，进行合情推理与逻辑推理相辅相成的教学 二、说明观点的例子人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化。合情推理和逻辑推理分别在这两个环节中扮演着重要角色。就数学而言，逻辑推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程和表述方式。但数学结论的发现、证明思路的发现等，主要靠合情推理。因此，学生不仅要学会逻辑推理
2、，学会证明，也要学会合情推理，学会猜想。（一）合情推理发现新结论的例子至19世纪中叶，人类只发现了七大行星，最外圈的是天王星。天王星的运行轨道，与理论计算的结果有偏差。1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。19世纪，人们在对天王星进行观测时，发现它的运行总是不太“守规矩”，老是偏离预先计算好的轨道。到1845年，已偏离有2的角度了。这到底是什么原因呢？数学家贝塞尔和一些天文学家设想，在天王星的外侧，一定还存在一颗行星，由于它的引力，才扰乱了天王星的运行。（这是合情推理，下面则是逻辑推理）例1：海王星的发现 1843年，英国剑桥大学22岁的学生亚当斯，根据力学原理，利用各种数学工
3、具，通过10个月时间的计算，确定了这颗未知行星的位置。在此年10月，他满怀信心地把计算结果寄给英国格林威治天文台台长艾利。不料，这位台长是一个迷信权威的人，对他的结果未予理睬。再晚些时候，法国巴黎天文台青年数学家勒维列于1846年计算出了这颗新行星的轨道。他于这年9月18日写信，给当时拥有详细星图的柏林天文台的工作人员加勒，信中写道：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，即经度326的地方，那么你将在离此点1左右的区域内见到一颗九等星。”（肉眼所能见到的最弱的星是六等星）加勒在9月23日接到了勒维列的信，当夜他就按照勒维列指定的位置观察，果然在半小时之内，找到一颗以前从未见过的星，距勒维的计算位
4、置相差只有52。经过24小时的连续观察，他发现这颗星在恒星间移动着，的确是一颗行星。所有天文学家经过一段时间的讨论，都公认它便是太阳系的第八颗大行星，并根据希腊神话故事，把它命名为海王星。这是人们用笔最早计算出的行星。17世纪的费马，从整勾股数出发，联想到把指数2换成其他的正整数，情况如何，这是合情推理。从一批具体的特例，归纳出一般的命题，这也是合情推理。费马在丢番图算术一书页边批注“我已找到了一个奇妙的证明，但是书边空白太窄了，写不下。”但是300年无人能够完成证明，成为“费马猜想”，这也是合情推理。例2：费马大定理 费马在丢番图算术一书页边批注中，“证明”过的定理（公元1670年其子出版）
5、希尔伯特：“一只会下金蛋的母鸡”费马：“我已找到了一个奇妙的证明，但书边空白太窄了，写不下。”7（法国，2001年发行邮票）300多年后的1994年9月，维尔斯证明了费马大定理 （捷克，2000年）89逻逻 辑辑 推推 理理 它于1852年首先由一位英国大学生F古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德摩根，希望帮助给出证明。（这是合情推理，下面则是逻辑推理，却有漫长的过程）例3：四色定理1879年，一位英国律师肯泊在美国
6、数学杂志上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。后来，希伍德证明了“五色定理”。一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。11直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他们终于获得成
7、功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。1213 当然，该猜想还没有被最终证明。所以，不能称为“定理”，仍然是“猜想”。两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想1937年已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。前者现在也简称为“哥德巴赫猜想”。例4:哥德巴赫猜想例1:归纳推理导致错误结论的例子 四个平面最多把空间分为多少个部分？2 4 8 16？某班中学生甲身高为1.61米，学生乙身高为1.61米，学生丙身高为1.61米，学生丁身高为1.61米，所以该班学生身高全为1.61米。
8、（二）合情推理导致错误结论的例子从 8（2+3）=82+83 a(b+c)=ab+ac类比出 Sin(2+3)=Sin 2+Sin 3我们要警惕类似的错误（如关于对数）。例2：类比推理导致错误结论的例子例74 直觉的误导 有一张8 cm8 cm的正方形的纸片，面积是64 cm2。把这张纸片按图25-1所示剪开，把剪出的4个小块按图25-2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65 cm2。这是可能的吗？17例3：裁剪和拼接导致错误结论的例子 矩形的面积（“课标（2011年版）例74”）说明 这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完
9、全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。一般来说，学生应当是不会相信图25-2中纸片的面积是65 cm2，但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图25-2中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，尝试找出
10、理由并尝试证明，最后表达收获。1819奇数都是素数（1），3，5，7，（9），11，13，例4：实验、归纳推理导致错误结论u 这是初中几何非常基础、非常直观、非常简单，又非常容易被学生接受的一个命题。似乎不必给出“证明”？p 数学家：正是因为其基础、直观、简单、容易，才使之可以成为逻辑推理教学的入门材料。（三）合情推理与逻辑推理相辅相成的教学例1：对顶角相等 需要给出证明？案例“探索并掌握对顶角相等的性质”。合情推理通过具体数值的计算，猜想 AOC=BOD；演绎推理根据“同角的补角相等”，证明“对顶角相等”；运用图形运动的方法把 AOC绕着点O旋转180，可以证实“对顶角相等”。杨裕前老师的一
11、页PPTAC ACBDACO23（）平角都相等；同角 相等；等量减等量仍然是等量下一讲法，可以成为初中生逻辑推理下一讲法，可以成为初中生逻辑推理“步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足”的入门训练：的入门训练：我们看到：几何直观 在合情推理与逻辑推理间起“搭桥”的作用 例如，用量角器度量的方法，或者剪裁、拼图的方法知道，一个三角形的内角和是180度，再对不同的几个三角形做同样的工作，发现它们的内角和也分别是180度，从而归纳、概括出所有三角形的内角和都是180度。这是小学的教学；小学教师应该再说明：“到初中，我们会用更加严格的方法证明这一 结论。”例2：三角形的内角和是180度 初中数学的教学，
12、在给出该命题的证明之前和之后，都应该提及“小学阶段曾经学习过该命题，”。由于这一定理的重要，以及小学与初中先后学习了这同一个命题，间隔时间又比较长，在初中数学里出现得又比较早，所以这是教师对学生进行合情推理与逻辑推理相辅相成的教学的一个很好的时机，可以再说下面的几段话，以与小学教师说的“到初中，我们会用更加严格的方法证明这一 结论”相呼应。三角形的内角和是180度 测量会有误差，剪、拼也会有误差，因此不如逻辑推理严谨，不能完全让人信服。即使测量十分准确，剪、拼十分准确，但三角形有无穷多个，要想说明所有的三角形内角和都是180度，也必须通过逻辑推理来证明，因为逻辑推理是针对任意三角形进行的推理。
13、一个命题是否正确，不能是“量出来的”，也不能是“看出来的”，一定要通过步骤完整、理由充足的逻辑推理，去得到结论。这样的逻辑推理过程，叫做“证明命题”；只有被证明的命题才是正确的，才能够叫做“定理”，并且成为其他证明的依据。我们在小学时用测量或者剪、拼的方法去得到结论，那样的过程是合情推理；合情推理能够发现新的命题，但不能保证新命题一定正确。初中教师在这里应该强调几点我们看到：几何直观 在合情推理与逻辑推理间起“搭桥”的作用 在探究等腰三角形性质时，可以这样做：把一张长方形的纸按图中虚线往下对折，并剪去阴影部分，再把它展开。问：得到的ABC有什么特征？通过观察是否能发现什么？进一步，关于线段、角之间的关系，能得出什么结论？例3：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。以上是通过实例发现图形性质，由特殊到一般通过合情推理猜想出的结论，我们还要通过逻辑推理去证明上述结论，才得到定理。下面是人教社对此说明的两页PPT：例3：等腰三角形的性质例：等腰三角形我们又看到：几何直观 在合情推理与逻辑推理间起“搭桥”的作用等腰三角形判定定理（略）l 教研工作交流平台l 教研经验集散平台l 资源共建共享平台l 教师研修支持平台l 教育决策咨询平台微信二维码 马上扫一扫
