1、第三章第三章 空间曲面和曲线空间曲面和曲线(Chapter 3 Surfaces and Curves in Space)在空间建立直角坐标系之后在空间建立直角坐标系之后,空间中的点就与有序实数组空间中的点就与有序实数组(x,y,z)建立了建立了1-1对应关系对应关系.将空间的几何图形如曲面、曲线等看成将空间的几何图形如曲面、曲线等看成动点的轨迹动点的轨迹,就可以建立其方程就可以建立其方程.有了方程有了方程,就可以把研究曲线、曲就可以把研究曲线、曲面等几何问题面等几何问题,转化为研究其方程的代数问题转化为研究其方程的代数问题.前一章以向量代数前一章以向量代数为工具讨论了空间直线和平面的一些问题
2、为工具讨论了空间直线和平面的一些问题,本章讨论空间曲面和本章讨论空间曲面和曲线曲线.这些曲面和曲线在生活和生产实践中这些曲面和曲线在生活和生产实践中,在数学、物理和工程在数学、物理和工程技术中都是常见的技术中都是常见的,熟悉它们的图形和方程非常重要熟悉它们的图形和方程非常重要.3.1 空间曲面与曲线的方程空间曲面与曲线的方程 3.2 柱面、锥面和旋转曲面柱面、锥面和旋转曲面 3.3 常见二次曲面常见二次曲面*3.4 直纹曲面及其性质直纹曲面及其性质3.1 空间曲面与曲线的方程空间曲面与曲线的方程(Equations of surfaces and curves in space)3.1.1 空
3、间曲面的一般方程空间曲面的一般方程(General equation of surfaces in space)在空间解析几何中在空间解析几何中,我们把空间曲面看成是我们把空间曲面看成是动点按一定规律动点按一定规律运动运动而产生的而产生的几何轨迹几何轨迹.在空间建立直角坐标系之后在空间建立直角坐标系之后,曲面曲面S是是由动点按一定规律运动的几何轨迹由动点按一定规律运动的几何轨迹,其上的点具有某种其上的点具有某种几何特征几何特征性质性质（限制条件）（限制条件）,这种性质用坐标这种性质用坐标x,y,z之间的关系式来表达之间的关系式来表达,一般是一个三元方程一般是一个三元方程F(x,y,z)=0 (
4、3.1-1)定义定义1 如果曲面如果曲面S上的任一点的坐标都满足方程上的任一点的坐标都满足方程(3.1-1)；反之；反之,坐标满足方程坐标满足方程(3.1-1)的点都在曲面的点都在曲面S上上,则称方程则称方程(3.1-1)为曲面为曲面S的的一般方程一般方程.(如右图如右图)附注附注1 曲面的方程也可以写成曲面的方程也可以写成显函数显函数形式形式,z=f(x,y)方程方程(3.1-1)为为隐函数隐函数形式形式由方程由方程(3.1-1)可知可知,在空间在空间,曲面的方程是一个三元方程曲面的方程是一个三元方程.平面可以看成特殊的空间曲面平面可以看成特殊的空间曲面(三元一次方程三元一次方程).附注附注
5、2 曲面的方程有时没有实图形曲面的方程有时没有实图形,称之为虚曲面称之为虚曲面,如如 有时只有一个实点满足它有时只有一个实点满足它,如如 ,只有只有(0,0,0)满足它满足它,因此它只表示坐标原点；有时表示一条曲线因此它只表示坐标原点；有时表示一条曲线,如如 ,只有满足只有满足 x=0,y=0的点的点(0,0,z)满足方程满足方程,因此它表示因此它表示一条直线一条直线,即即 z 轴轴22210 xyz 2220 xyz220 xy例例1 求与两定点求与两定点A(1,-2,1),B(0,1,3)等距离的点的轨迹方程等距离的点的轨迹方程解解 设设A与与B等距离的动点等距离的动点P的坐标为的坐标为P
6、(x,y,z),则则其具有的特征性其具有的特征性质为质为,而而 ,从而有从而有 =,化简得化简得 ,即为所求的轨迹方程这是一个平面方程即为所求的轨迹方程这是一个平面方程,称为线段称为线段AB的的垂直垂直平分面平分面.APBP 222(1)(2)(1)APxyz 222(1)(3)BPxyz 222)1()2()1(zyx222)3()1(zyx3220 xyz根据此例根据此例,可归纳出求曲面方程的一般步骤如下：可归纳出求曲面方程的一般步骤如下：1 建立适当的坐标系建立适当的坐标系(方程易求且求出的方程较简单方程易求且求出的方程较简单)；2 设动点坐标为设动点坐标为P(x,y,z),根据已知条件
7、根据已知条件,推导出曲面上点推导出曲面上点的坐标应满足的方程；的坐标应满足的方程；3 对方程作同解化简对方程作同解化简例例2 一动点一动点P(x,y,z)在运动时在运动时,它到定点它到定点P0(x0,y0,z0)的距离始终的距离始终保持定常数保持定常数R不变不变,这种动点的轨迹这种动点的轨迹(几何图形几何图形)称为称为球面球面,求球面求球面的方程的方程.解解 设设P(x,y,z)为球面上任一点为球面上任一点,那么根据球面的定义有那么根据球面的定义有即即 ,整理化简得球面的整理化简得球面的标准方程标准方程为为 .(3.1-2)其中其中,P0(x0,y0,z0)称为球面的球心称为球面的球心,R称为
8、球半径称为球半径.特别地特别地,以原点以原点O(0,0,0)为球心的球面方程为为球心的球面方程为 .(3.1-3)0,P PR=xyzoP0PRzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx球面的一般方程球面的一般方程将球面的标准方程将球面的标准方程(3.1-2)展开展开,得到一个特殊的三元二次方得到一个特殊的三元二次方程程,称为球面的一般方程称为球面的一般方程 ,通常写成如下形式通常写成如下形式 .(3.1-4)球面的一般方程球面的一般方程(3.1-4)具有下面的特点：具有下面的特点：平方项系数平方项系数相等相等,不含交叉项不含交叉项.反过来反过
9、来,如果一个这样的三元二次方程经如果一个这样的三元二次方程经过配方过配方,可以化为方程可以化为方程(3.1-2)的形式的形式,那么它的图形就是一个球面那么它的图形就是一个球面(包括实球面、点球和虚球面包括实球面、点球和虚球面)0)(2222202020000222Rzyxzzyyxxzyx2222220 xyzgxhykzl 例例3 说明方程说明方程 x2+y2+z2-12x+4y-6z=0 所表示曲面的形状所表示曲面的形状.解解 原方程配方得原方程配方得(x-6)2+(y+2)2+(z-3)2=72,与方程与方程(3.1-2)比较可知比较可知,方程表示球心在方程表示球心在(6,-2,3),球
10、半径球半径R=7的的球面球面.球面是日常生活中最常见的曲面之一球面是日常生活中最常见的曲面之一,如足球、篮球、乒乓如足球、篮球、乒乓球等球等,在建筑、雕塑和艺术作品中也经常见到它的身影在建筑、雕塑和艺术作品中也经常见到它的身影.球面是球面是体积相同时表面积最小的曲面体积相同时表面积最小的曲面.球面球面被誉为被誉为最匀称最匀称、最优美最优美的几的几何图形何图形.3.1.2 空间曲面的参数方程空间曲面的参数方程(Parametric equation of surfaces in space)设设(u,v)D为有序数对集为有序数对集,若对任意若对任意D R,按照某种对应规则按照某种对应规则,有唯一
11、确定的向量有唯一确定的向量r与之与之对应对应,称这种对应关系为称这种对应关系为 D上的一个二元向上的一个二元向量函数量函数,记作记作 r=r(u,v),(3.1-5)或或 r=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.(3.1-5)其中其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是向量是向量r 的坐标的坐标,它们都是变量它们都是变量u,v的函数的函数 当当 u,v取遍变动区域内的一切值时取遍变动区域内的一切值时,向量向量r=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.的终点的终点 的轨迹是一个曲面的轨迹是一个曲面(如右图如右图)(,),(,),(,)P x u vy u v z u
12、vOP 定义定义2 在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,若对任意若对任意(u,v)D,由方程由方程(3.1-5)确定的向量确定的向量 r(u,v)的终点的终点P总在曲面总在曲面S上；而且对任意上；而且对任意 P S,也必能找到也必能找到(u,v)D,使使 r(u,v)满足方程满足方程(3.1-5),则称方程则称方程(3.1-5)为曲面为曲面S的向量式参数方程的向量式参数方程.若令若令 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v),则称则称 ,(u,v)D.(3.1-6)为曲面为曲面S的坐标式参数方程的坐标式参数方程,其中其中 u,v为参数为参数OP(,),(,),(,),xx u
13、 vyy u vzz u v例例4 求球心在坐标原点求球心在坐标原点,半径为半径为R的球面的的球面的参数方程参数方程解解 设设P是球心在坐标原点是球心在坐标原点,半径为半径为R的球面上的球面上任一点任一点,P在在xy坐标面上的射影为坐标面上的射影为P0,P0在在x轴上的射影为轴上的射影为Q 设有向角设有向角 ,与与k的夹角的夹角 k (右图右图),则有则有 r ,而而 k,00(sin)(sinsin)QPOPRjj0(,)i OPOP(,OP)0000OPOPPPOQQPPP 0(cos)P PR0(cos)(sincos)OQOPRii从而有从而有(,)(3.1-7)即为球心在坐标原点即为
14、球心在坐标原点,半径为半径为R的球面的向量式参数方程的球面的向量式参数方程,其中其中 ,为参数为参数其坐标式其坐标式参数方程参数方程为为 (,)(3.1-8)从方程从方程(3.1-8)中消去参数中消去参数,便得到球面的标准方程便得到球面的标准方程(3.1-3).(sincos)(sinsin)(cos)RRRrijk002sincos,sinsin,cos,xRyRzRjqjqj=002002 例例5 化曲面一般方程化曲面一般方程为参数方程为参数方程.解解 令令 得得 ,从而得从而得参数方程参数方程为为 其中其中 为参数为参数.cos,xazqm=sinyaq=cos,sin,xayazqqm
15、=(02)(-)qqpmm+，222xya+=3.1.3 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程(General equation of curves in space)任何空间曲线任何空间曲线C,都可以看成过此曲线的两个曲面的交线都可以看成过此曲线的两个曲面的交线.设两个曲面的方程分别为设两个曲面的方程分别为F1(x,y,z)=0 和和F2(x,y,z)=0,它们相交它们相交于曲线于曲线C.这样这样,曲线曲线C上的任意点上的任意点,同时在两曲面上同时在两曲面上,所以应满所以应满足方程组足方程组 (3.1-9)定义定义3 设设C为空间曲线为空间曲线,若若C上任一点上任一点P(x,y,z)的坐标都
16、满足方程组的坐标都满足方程组(3.1-9),而且坐标满足而且坐标满足方程组方程组(3.1-9)的点都在曲线的点都在曲线C上上,则称方程则称方程组组(3.1-9)为曲线为曲线C的的一般方程一般方程,又称又称普通方程普通方程.0),(,0),(21zyxFzyxF 附注附注1 在空间坐标系下在空间坐标系下,任一空间曲线的一般方程必定是过任一空间曲线的一般方程必定是过曲线的两曲面方程联立而成的方程组；曲线的两曲面方程联立而成的方程组；附注附注2 用方程组表示空间曲线用方程组表示空间曲线,其几何意义是将空间曲线看成其几何意义是将空间曲线看成了两个空间曲面的交线了两个空间曲面的交线；附注附注3 由于过空
17、间曲线由于过空间曲线C的曲面可以有无穷多的曲面可以有无穷多,所以空间曲线所以空间曲线C的方程不唯一的方程不唯一(但它们同解但它们同解),如如 与与 均表示均表示 z 轴轴 00 xyxy00 xy 例例6 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线,并写出此曲线的另外两种表示形式并写出此曲线的另外两种表示形式.解解 方程方程 表示以原点为球心表示以原点为球心,半径为半径为R的球的球面；面；表示表示xy面面,方程组表示的是它们的交线方程组表示的是它们的交线,即即xy面上以面上以原点为心原点为心,半径为半径为R的圆的圆.此曲线还可以表示为以下两种形式此曲线还可以表示为以下两种形式或或 例例7 方程
18、组方程组 表示球面与平面的交线表示球面与平面的交线,也是一个圆也是一个圆.2222Rzyx0z222,0,xyRz.,2222222RyxRzyx2222327xyzaxyz+=+-=22220 xyzRz3.1.4 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程(Parametric equation of curves in space)定义定义4 设设C为一空间曲线为一空间曲线,r=r(t),t A为一元向量函数为一元向量函数,在空间直在空间直角坐标系下角坐标系下,若对若对任意的若对若对任意的P C,存在存在 t A,使得使得 r(t);反之反之,对于任意的对于任意的 t A,必存在必存在 P C
19、,使得使得 r(t),则称则称 r=r(t),t A.(3.1-10)为曲线为曲线C的的向量式参数方程向量式参数方程,记作记作 C：r=r(t),t A为参数为参数 若若r ,则称则称 t A.(3.1-11)为已知曲线为已知曲线C的的坐标式参数方程坐标式参数方程()(),(),()tx ty tz t(),(),(),xx tyy tzz tOP OP 注：注：空间曲线的参数方程中空间曲线的参数方程中,仅有一个独立参数；而曲面的仅有一个独立参数；而曲面的参数方程中有两个独立参数参数方程中有两个独立参数.习惯上习惯上,称曲线是单参数的称曲线是单参数的,曲面是曲面是双参数的双参数的例例8 求圆求圆 的参数方程的参数方程.解解 根据平面解析几何中圆的参数方程根据平面解析几何中圆的参数方程,令令 ,得此圆的参数方程为得此圆的参数方程为2292xyz+=3cos,3sinxt yt=3cos,3sin,(02).2,xtyttzp=End
