1、1三三.逆矩阵逆矩阵1.逆矩阵的定义、唯一性逆矩阵的定义、唯一性2.矩阵可逆的判别定理及求法矩阵可逆的判别定理及求法3.可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质1.逆矩阵的定义、唯一性逆矩阵的定义、唯一性,111 aaaa则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.A1 A概念的引入概念的引入:在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中的相当于数的乘法运算中的1 1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个
2、矩阵 ,11EAAAA 使得使得2定义：定义：BAABAEBAABBA 1 n n 记作记作的逆矩阵，的逆矩阵，称为称为是可逆的，方阵是可逆的，方阵则称矩阵则称矩阵，使得，使得阶方阵阶方阵阶方阵，若存在阶方阵，若存在为为设设例例 :设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB3唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.证明：证明：CCEABCBCAEBBECAACEBAABACB )()(从而从而，的逆矩阵，则的逆矩阵，则都是都是、设设4则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca逆矩阵的求
3、法一：待定系数法逆矩阵的求法一：待定系数法例例1:1:设设,0112 A.的逆矩阵的逆矩阵求求A解：解：dcbaB设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,A5 ,1,0,02,12badbca .2,1,1,0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB62.矩阵可逆的判别定理及求法矩阵可逆的判别定理及求法定理定理:0 AAn可逆当且仅当可逆当且仅当阶方阵阶方阵证明：证明：01)(1111 AAAAAEAAAA因此，因此，两边取行列式，得两边取行列式，得，使，使可逆，则有可逆，则有11,AAA 且且.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA
4、 7奇异矩阵：奇异矩阵：0 A非奇异矩阵：非奇异矩阵：0 A（退化矩阵）（退化矩阵）（非退化矩阵）（非退化矩阵）AAAEAAAAAAEAAAAEAAAEAAAAEAAA1)()()(0)(0)(1，所以，所以所以所以，时，有时，有，当，当又因为又因为，时，有时，有，当，当因为因为8推论：推论：ABBABAEABBA 11，且且都可逆，都可逆，和和则方阵则方阵，为同阶方阵，若为同阶方阵，若、设设111111)()(,01 BABAEAABABAAEBBAABAABEAB可逆，且可逆，且同理，同理，有有存在存在，所以，所以所以所以，则，则若若证明：证明：注：注：中的一个即可中的一个即可和和只需验证
5、只需验证的逆矩阵，的逆矩阵，是否为是否为判断判断EBAEABAB 9.1nnn2n12n22121n21111的的代代数数余余子子式式中中元元素素为为行行列列式式的的伴伴随随矩矩阵阵，为为其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA (1)(2)acbdbcadAAAbcadAdcbaA1101时时，有有当当特特别别地地，对对二二阶阶方方阵阵逆矩阵的求法二：伴随矩阵法逆矩阵的求法二：伴随矩阵法10 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若3.3.可逆矩阵的运算性质可逆矩阵的运算性质 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均
6、可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明：证明：1ABB1 1 A .111 AA .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A11 TTTAAAA11 TE,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定义定义时时当当另外另外证明：证明：为正整数为正整数k .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 有有为整数时为整数时当当,0 A,AAA .AA 12111.AAA EAA 111 AA111AAA 因因此此证明：证明：(5)若若 可逆，则有可逆，则有A13例例2 2：求方阵求方阵 的逆矩阵的逆
7、矩阵.343122321A解解343122321 A0,.1存在存在 A,2341211 A,3331212 A14同理可得同理可得,2,6,6,223222113 AAAA,2,5,4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 15,331212321 A231135.153B 解解:331212321 A010430321 .,?,矩矩阵阵求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩阵阵BA例例3 3：16010430321 0143 4,0.A可可逆逆所所以以,3332111 A,4312212 A,531
8、1213 A2131223223333,1,0,4,1,3.AAAAAA 同同理理可可求求得得17 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA.31540413341231135153B 由由于于,0.B不不可可逆逆故故18,0!5 A因因由由伴伴随随矩矩阵阵法法得得1,AAA 解：解：.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例4 4：19 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 20,130231,3512
9、,343122321 CBA例例5 5：设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解,02343122321 A,013512 B.,11都存在都存在 BA21,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E22 2513202011.41041012 23 ;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解矩阵方程解矩阵方程例例6 6：24 412341514151415111
10、X得得 41231154.642817 解：解：412341511X给方程两端给方程两端左左乘矩阵乘矩阵,41511 412341511XE25 5104023211120111112 X1112011111510402321 X给方程两端给方程两端右右乘矩阵乘矩阵,1120111111 得得.9144682592 26 1125103241230111111120111113X给方程两端给方程两端左左乘矩阵乘矩阵1111110,211 右右乘矩阵乘矩阵,1230111111 27121 4 2 313111 101 512 113 22 1 115 2 9522152912.116021 1
11、1111423111110015110211211321X得得28 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 16AE BAA 解：解：:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例例7 7：1247A 29而而1AE 200100040010007001100030006 所以所以 11AE 10001 30001 6 原方程两端原方程两端右右乘矩阵乘矩阵 ,1A 左左乘矩阵乘矩阵 11AE 116BAE 则则1006 01 30001 6.100020006 30注：注：111)(BABA111)(1002,0002,200110011001 CACACACABAB
12、ACBA可逆，但可逆，但可逆，可逆，不可逆不可逆可逆，但可逆，但，例如：例如：31,022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:,022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例8 8：1 A 11.2AAE 所以所以 可逆，且可逆，且A证：证：022 EAA又由又由 2340AEAEE 1234AEAEE 11234AEAE 12 EA所以所以 可逆，可逆，2AE 32练习：练习：设方阵满足方程设方阵满足方程逆矩阵逆矩阵都可逆，并求出它们的都可逆，并求出它们的和和证明证明EAA4:01032 EAA证：证：(1)3(10
13、110310)3(1EAAAEEAAEEAA 可逆，且可逆，且所以所以(2)(616)4(6)(4(1EAAAEEAEAEEAEA 可逆，且可逆，且所以所以33例例9：设方阵设方阵B为幂等矩阵，为幂等矩阵，2BB（即（即 ，从而对正整数，从而对正整数k，）kBB,AEB证明：证明：A是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且 1132AEA 证明：证明：132AEA 132EBEA 132EBEEB 122EBEB 21222EBBB 1222EBBBE 1132AEA 341.逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.0 A3.逆矩阵的计算方法：逆矩阵的计算方法：;21AAA 利用公式利用公式2.2.逆矩阵逆矩阵 存在存在1 A ;1 待定系数法待定系数法 .3下一章介绍下一章介绍初等变换法初等变换法小结：小结：35?,11 BAYBYABAXBAXA是是否否有有唯唯一一解解矩矩阵阵方方程程是是否否有有唯唯一一解解那那么么矩矩阵阵方方程程可可逆逆若若思考题：思考题：.1的的唯唯一一性性决决定定的的这这是是由由于于是是的的 A答：答：
