1、运筹与优化模型运筹与优化模型第二章第二章 数学建模思想与方法数学建模思想与方法 数学模型可以详细地描述为对于现实世数学模型可以详细地描述为对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。到的一个数学结构。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（1）1)建模没有唯一正确的答案。数学建模建模没有唯一正确的答案。数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手是利用数学工具解决实际问题的重要手段。对同一个实际问题有可能建立起
2、若段。对同一个实际问题有可能建立起若干个不同的数学模型，它们都是对实际干个不同的数学模型，它们都是对实际问题的近似描述，从这个角度上将，模问题的近似描述，从这个角度上将，模型没有绝对的型没有绝对的“对对”与与“错错”，评价数，评价数学模型优劣的唯一标准是实践检验。学模型优劣的唯一标准是实践检验。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（2）2)有不同的建模方法。比较常见的是机理分有不同的建模方法。比较常见的是机理分析法、测试分析法、计算机模拟法等等。机理析法、测试分析法、计算机模拟法等等。机理分析法是建模者根据对现实问题特性的认识，分析法是建模者根据对现实问题特性的认识，分析对象的因果关系，找出
3、反映内部机理的规分析对象的因果关系，找出反映内部机理的规律，从而建立相应的数学模型。这样的数学模律，从而建立相应的数学模型。这样的数学模型往往有明确的物理或现实意义。测试分析法型往往有明确的物理或现实意义。测试分析法将研究对象视为一个内部机理无法直接寻求的将研究对象视为一个内部机理无法直接寻求的“黑箱黑箱”系统，通过测量系统的输入、输出数系统，通过测量系统的输入、输出数据，经过统计分析，按照某种确定的准则在某据，经过统计分析，按照某种确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（3）3)模型与建模目的有关
4、。在建立数学模模型与建模目的有关。在建立数学模型之前要明确目的，对于同一个实际对型之前要明确目的，对于同一个实际对象，建模的目的不同将导致建模时考虑象，建模的目的不同将导致建模时考虑的出发点和侧重点都不同，当然作出的的出发点和侧重点都不同，当然作出的模型就不同。模型就不同。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（4）4)模型具有可移植性。模型是现实对象模型具有可移植性。模型是现实对象抽象化、理想化的产物，因此它并不为抽象化、理想化的产物，因此它并不为对象的所属领域所独有，它可以移植到对象的所属领域所独有，它可以移植到其它领域，描述其它的实际问题。换言其它领域，描述其它的实际问题。换言之，存在一
5、个数学模型可应用于多个实之，存在一个数学模型可应用于多个实际问题的情形。际问题的情形。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（5）5)建模与建模者的灵性、经验和数学素建模与建模者的灵性、经验和数学素质有关。有些情况下，建模者的经验、质有关。有些情况下，建模者的经验、想象力、洞察力、判断能力、直觉和灵想象力、洞察力、判断能力、直觉和灵感在建模过程中起重要作用。感在建模过程中起重要作用。数学建模过程是有一定阶段性的。我们数学建模过程是有一定阶段性的。我们对现实世界的问题进行分析、提炼，用对现实世界的问题进行分析、提炼，用数学语言做出描述，用数学方法进行分数学语言做出描述，用数学方法进行分析、研究，
6、最后回到现实世界，应用于析、研究，最后回到现实世界，应用于解决、解释实际问题。一般来讲，建模解决、解释实际问题。一般来讲，建模的流程可描述为的流程可描述为 模型分析与检验建立数学模型数据处理问题分析四三二一第第1节节 数学建模问题分析数学建模问题分析数学建模问题一般是由实际领域的应用数学建模问题一般是由实际领域的应用者提出的，因此不可能明确提出该用什者提出的，因此不可能明确提出该用什么方法，也不可能给出恰到好处的条件么方法，也不可能给出恰到好处的条件，既可能有多余的条件，也可能缺少条，既可能有多余的条件，也可能缺少条件，甚至有时问题本身就是含糊不清的件，甚至有时问题本身就是含糊不清的。这并不奇
7、怪，因为提出问题的人只是。这并不奇怪，因为提出问题的人只是感觉到某些方面存在需要解决的问题，感觉到某些方面存在需要解决的问题，但还不能清楚地描述这个问题。这样一但还不能清楚地描述这个问题。这样一来，建模的第一步就是要进行问题分析来，建模的第一步就是要进行问题分析。首先要明确问题首先要明确问题 例例1.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题向你咨询。于应该雇多少推销员的问题向你咨询。推销员是专门从事到各地把公司的产品推销员是专门从事到各地把公司的产品兜销给其它商号的人员，推销员多了会兜销给其它商号的人员，推销员多了会增加管理费用，但推销员少了又可
8、能会增加管理费用，但推销员少了又可能会失去一些顾客，应该有一个最优的推销失去一些顾客，应该有一个最优的推销员人数。员人数。对于这个问题，你在回答之前需要明确对于这个问题，你在回答之前需要明确这样一些问题：公司的生产限度如何？这样一些问题：公司的生产限度如何？经营的目的是什么？比如，目的是争取经营的目的是什么？比如，目的是争取最高的利润，或者目的是在获得足够多最高的利润，或者目的是在获得足够多利润的同时争取最大的市场份额。还要利润的同时争取最大的市场份额。还要明确推销员如何使用他们的时间？完成明确推销员如何使用他们的时间？完成什么样的工作？产生的效果如何？推销什么样的工作？产生的效果如何？推销员
9、怎样才能达到最佳效果？员怎样才能达到最佳效果？明确了这些问题后，我们可以建议研究明确了这些问题后，我们可以建议研究这样两个问题：这样两个问题：1)怎样从销售队伍中获取最大的收益；怎样从销售队伍中获取最大的收益；2)不同规模的销售队伍会产生的效果。不同规模的销售队伍会产生的效果。这两个问题仍需进一步细致的分析。比这两个问题仍需进一步细致的分析。比如，不同的推销员的能力不同，他们推如，不同的推销员的能力不同，他们推销的地域也可能不同；不同的销售队伍销的地域也可能不同；不同的销售队伍的规模，其推销的地理范围可能不同，的规模，其推销的地理范围可能不同，在每个顾客身上所花的精力也可能不同在每个顾客身上所
10、花的精力也可能不同；推销员所面向的顾客也要分成；推销员所面向的顾客也要分成“现有现有的的”和和“可能的可能的”两类，前者需要稳定两类，前者需要稳定，后者需要转变和开发，所花的时间各，后者需要转变和开发，所花的时间各不相同；各客户的订货量或潜在订货量不相同；各客户的订货量或潜在订货量也是需要考虑的重要因素。也是需要考虑的重要因素。最大收益问题推销员推销员市场份额市场份额顾客容量顾客容量订货单订货单潜在的潜在的现有的现有的顾客顾客地域地域转变概率转变概率稳定概率稳定概率潜在的潜在的现有的现有的推销队伍最大收益问题结构层次图推销队伍最大收益问题结构层次图 可能的解决问题的方案：从微观上看，可能的解决
11、问题的方案：从微观上看，研究推销员的工作情况，重点考虑现有研究推销员的工作情况，重点考虑现有顾客被稳定下来的概率和可能的顾客被顾客被稳定下来的概率和可能的顾客被争取过来的概率，这些概率是怎样随每争取过来的概率，这些概率是怎样随每周中用于一个顾客的时间量变化而变化周中用于一个顾客的时间量变化而变化的；从宏观上看，研究如何从给定规模的；从宏观上看，研究如何从给定规模的销售队伍得到最大利益，重点考虑从的销售队伍得到最大利益，重点考虑从市场份额、市场容量和客户订货量等因市场份额、市场容量和客户订货量等因素的影响确定如何制定销售人员的职责素的影响确定如何制定销售人员的职责第2节 数据处理数据处理数学建模
12、的问题所给的数据并不一定恰数学建模的问题所给的数据并不一定恰到好处，可能有多余的数据，也可能缺到好处，可能有多余的数据，也可能缺少必要的数据。经过问题分析，我们对少必要的数据。经过问题分析，我们对需要什么数据就有了基本了解。比如，需要什么数据就有了基本了解。比如，在上面的例子中，我们需要确定各种概在上面的例子中，我们需要确定各种概率的数据、订货量的数据和各地区市场率的数据、订货量的数据和各地区市场状况的数据等等。除了数据的收集之外状况的数据等等。除了数据的收集之外，还需要对数据进行处理和分析，还需要对数据进行处理和分析。例例1.3.2 港作拖轮费用数据处理港作拖轮费用数据处理港作拖轮是港口生产
13、的重要设备，在港港作拖轮是港口生产的重要设备，在港口机电设备固定资产中占有很大比例，口机电设备固定资产中占有很大比例，并且具有初置费用高、维持费用大、寿并且具有初置费用高、维持费用大、寿命周期长、其构造复杂等特点。由于许命周期长、其构造复杂等特点。由于许多港作拖轮使用年限过长，往往形成设多港作拖轮使用年限过长，往往形成设备状态质量差、故障多、能耗高、生产备状态质量差、故障多、能耗高、生产效率低，同时维修量大、维持费用上升效率低，同时维修量大、维持费用上升，经济效益下降的现实。因此，需要解，经济效益下降的现实。因此，需要解决的问题是研究港作拖轮的最佳经济使决的问题是研究港作拖轮的最佳经济使用年限
14、。用年限。对这个问题进行分析后可知相关的数据对这个问题进行分析后可知相关的数据应包括：营运费用（折旧、修理、燃料应包括：营运费用（折旧、修理、燃料、材料、低值品、水费、电费、海损、材料、低值品、水费、电费、海损、工资、劳保、管理、其它费用、营运收工资、劳保、管理、其它费用、营运收入），营运指标（营运率、航行率、主入），营运指标（营运率、航行率、主机运转小时），自然状况（船舶建造年机运转小时），自然状况（船舶建造年、船舶原值、船籍）。对这些数据的处、船舶原值、船籍）。对这些数据的处理要考虑以下三个方面：理要考虑以下三个方面：1)营运费用的综合分类。将营运费用分营运费用的综合分类。将营运费用分成六
15、类：折旧，修理类（修理、海损、成六类：折旧，修理类（修理、海损、事故修理），能耗类（燃料、水、电）事故修理），能耗类（燃料、水、电），物耗类（材料、劳保、低值品），管，物耗类（材料、劳保、低值品），管理类（管理、工资、其它），收入类。理类（管理、工资、其它），收入类。这样分类的理由：一是随着船龄的增长这样分类的理由：一是随着船龄的增长，各类营运费用的动态变化趋势是不一，各类营运费用的动态变化趋势是不一样的；二是在做数据可比性处理时，各样的；二是在做数据可比性处理时，各类费用的处理方法也不同。类费用的处理方法也不同。2)数据可比性处理。原始数据来源于多艘样本数据可比性处理。原始数据来源于多艘样本
16、船舶，由于各自建造年限的不同，使得各样本船舶，由于各自建造年限的不同，使得各样本船之间的原值、成本费用、收入等各项数据存船之间的原值、成本费用、收入等各项数据存在很大差异，无法直接进行比较和归纳，不具在很大差异，无法直接进行比较和归纳，不具备可比性，这主要来源于各种涨价因素的影响备可比性，这主要来源于各种涨价因素的影响。这样一来，就需要对数据做换算处理。进一。这样一来，就需要对数据做换算处理。进一步细致的工作就是研究怎样进行合理地换算，步细致的工作就是研究怎样进行合理地换算，才能使各船之间、各年之间、各项资金之间具才能使各船之间、各年之间、各项资金之间具有横向和纵向的可比性。比如，管理和收入类
17、有横向和纵向的可比性。比如，管理和收入类数据进行利率换算系数处理；船舶原值按外汇数据进行利率换算系数处理；船舶原值按外汇兑换牌价的变化处理；能耗类和物耗类数据需兑换牌价的变化处理；能耗类和物耗类数据需要根据物价指数统计数据确定出合理的换算系要根据物价指数统计数据确定出合理的换算系数进行处理。数进行处理。（3）数据有效性处理。样本船来自各港，）数据有效性处理。样本船来自各港，由于各港的操作环境不同，各船的使用由于各港的操作环境不同，各船的使用强度不同，所以使得同一船龄下的同类强度不同，所以使得同一船龄下的同类费用或指标之间也存在较大差别。比如费用或指标之间也存在较大差别。比如，两艘同型同龄船，同
18、一年的油耗费分，两艘同型同龄船，同一年的油耗费分别为别为41157元和元和60601元，其使用率分别元，其使用率分别为为14.7%和和18.94%。为了使数据具有有。为了使数据具有有效性，可将使用率作为使用强度，考虑效性，可将使用率作为使用强度，考虑单位使用强度下的费用，这样一来，就单位使用强度下的费用，这样一来，就获得了较准确、合理的数据。获得了较准确、合理的数据。例1.3.3 施肥效果测量数据的处理一般作物生长主要营养素为氮（N）、磷（P）、钾（K）。某农作物研究所在某地区对马铃薯做了一定数量的实验，实验数据如表1.3.1所示。其中，ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一种营养素的量发
19、生变化时，另两种营养素保持在某确定量值不变根据农业资料可知，在一定范围内，马铃薯的产量随氮（N）施肥量的增加而增加，但当氮（N）施肥量超过一定范围，马铃薯的产量反而会降低；在一定范围内，马铃薯的产量随磷（P）施肥量的增加而增加，但过多磷（P）施肥量对马铃薯的产量不起作用。按照上述知识对氮施肥量马铃薯产量实验数据进行分析，可以认为其中没有明显的异常点。而按照上述知识对磷施肥量马铃薯产量实验数据进行分析可看到第二组数据是异常数据。记x为磷肥施肥量，y(x)为马铃薯产量，则在数据中有y(24)0或或0 a t b。描述变量间关系的数学表达式可以是描述变量间关系的数学表达式可以是一般的数学函数关系，也
20、可以是微分方一般的数学函数关系，也可以是微分方程，还可以是积分方程或泛函方程，当程，还可以是积分方程或泛函方程，当然也包括各类的方程组。然也包括各类的方程组。用函数描述变量间的关系，从而建立用函数描述变量间的关系，从而建立数学模型是最常用的方法。比如几个典数学模型是最常用的方法。比如几个典型的描述增长的函数如下：型的描述增长的函数如下：而描述周期性的函数通常用三角函数或带三角函数项的函数，如yabtcsin()yyatb0yyat0exp()yyatmax(exp()1 yyf tf tf ttf tt max()()()lim()10 ,(,是 的增函数 yyat0yabttexp()sin
21、 建立用微分方程描述的数学模型也是重要的方法。比如物理系统中描述弹力质量阻尼器中物体在t时刻的位置x(t)的微分方程为 再如第一章第二节中例题4给出的数学模型也是微分方程在第二章第一节最优价格模型中我们有一个泛函方程的例子 md xdtrdxdtkx220 md xdtrdxdtkx220 dxdtkx Mx()U p tp tq abp t dtT()()()0设计一种数学表达式往往是根据物理定理、原理，经过机理分析和合理假设来得到。但有的时候只能借助数据所含的信息建立经验模型来实现。数据含有所涉及问题的大量信息，对数据进行充分观察和分析，获得有关信息，揭示变量间的内在联系，从而选择适当的数
22、学表达式拟合变量间的关系，这就是建立经验模型。我们将例1.3.3中表1.3.1的数据画出散点图，图1.3.2和图1.3.3分别是氮施肥量N和磷施肥量P关于马铃薯产量y的散点图 将图1.3.2中的点用线连接起来，看起来象是开口乡向下的一段抛物线，这表明氮施肥量N与马铃薯产量y(N)之间可能是一种非线性关系。设x为氮施肥量，y为马铃薯产量，我们选择数学表达式 表示氮施肥量x与马铃薯产量y之间的关系。其中a,b,c为待确定的参数。yaxbxc2 将图将图1.3.3中的点用线连接起来，看起来象是中的点用线连接起来，看起来象是前一段呈上升趋势，而后一段趋于平缓，磷施肥前一段呈上升趋势，而后一段趋于平缓，
23、磷施肥量超过量超过100斤以后，马铃薯产量出现徘徊，大致斤以后，马铃薯产量出现徘徊，大致不超过不超过43吨。设吨。设x为磷施肥量，为磷施肥量，y为马铃薯产量，为马铃薯产量，我们可选择数学表达式我们可选择数学表达式 表示磷施肥量表示磷施肥量x与马铃薯产量与马铃薯产量y之间的关系，之间的关系，选择适当的参数选择适当的参数a和和b，就可以得到较好的拟合。，就可以得到较好的拟合。我们也可以选择另一种数学表达式表示磷施肥量我们也可以选择另一种数学表达式表示磷施肥量x与马铃薯产量与马铃薯产量y之间的关系之间的关系 这里有三个参数这里有三个参数A，B和和C。yabex1 yABecx 模型的分析和检验模型的
24、分析和检验 完成一个模型，需要对模型进行分析完成一个模型，需要对模型进行分析检验。这步工作并不是要证明模型的检验。这步工作并不是要证明模型的“正确正确”，而是要作出一个正确的估计。，而是要作出一个正确的估计。我们前面说过，建模没有唯一正确的答我们前面说过，建模没有唯一正确的答案，从某种意义上讲，任何模型都有案，从某种意义上讲，任何模型都有“错误错误”，没有绝对完美的模型。一个模，没有绝对完美的模型。一个模型的建立是否成功，主要取决于它是否型的建立是否成功，主要取决于它是否达到了建模的目的，是否有效地应用于达到了建模的目的，是否有效地应用于实际，即模型要通过实际检验。实际，即模型要通过实际检验。本章结束本章结束 谢谢！谢谢！
