1、推理与证明推理与证明第二章第二章.,.,.,证证明明过过程程更更离离不不开开推推理理数数学学中中在在其其中中都都包包含含了了推推理理活活动动题题的的真真伪伪等等等等数数学学家家论论证证命命代代考考古古学学家家推推断断遗遗址址的的年年能能状状态态气气象象专专家家预预测测天天气气的的可可侦侦破破案案件件警警察察医医生生诊诊断断病病人人的的病病症症例例如如样样的的推推理理那那人人们们常常常常需需要要进进行行这这样样在在日日常常生生活活中中,;.论论演演绎绎推推理理则则具具有有证证明明结结和和方方向向的的作作用用解解决决问问题题的的思思路路提提供供现现新新结结论论、探探索索和和合合情情推推理理具具有有
2、猜猜测测和和发发推推理理和和演演绎绎推推理理合合情情本本的的推推理理本本章章我我们们将将学学习习两两种种基基.,)()(.,.,理、论证有据的习惯养成言之有作用数学以及日常生活中的感受逻辑证明在解数学证明的基本方法了特点从中体会证明的功能和反证法如证明的方法和间接法、数学归纳法合、综如分析法明的方法接证直法的两类基本方同时我们还要学习证明段本手学结论的基成为获得数相辅相成因此它们联系紧密、中的基本推理方法是公理体系作用整理和建构知识体系的合情推理与演绎推理1.2.,理理和和演演绎绎推推理理合合情情推推中中经经常常使使用用的的两两种种推推理理学学研研究究绍绍人人们们在在日日常常活活动动和和科科介
3、介本本节节将将程程一一个个新新的的判判断断的的思思维维过过确确定定个个已已知知的的判判断断来来据据一一个个或或几几是是根根过过程程推推理理是是人人们们思思维维活活动动的的合情推理合情推理1.1.2.?.,.)Fermat()Goldbach(,赫赫提提出出猜猜想想的的过过程程下下面面看看一一下下哥哥德德巴巴吗吗学学猜猜想想是是怎怎样样提提出出来来的的你你知知道道这这些些数数生生心心血血的的人人甚甚至至为为之之耗耗费费了了毕毕有有和和数数学学爱爱好好者者学学家家的的证证明明吸吸引引了了大大批批的的数数某某些些猜猜想想等等、歌歌尼尼斯斯堡堡七七桥桥猜猜想想等等四四色色猜猜想想猜猜想想、地地图图的的
4、猜猜想想、费费马马如如著著名名的的哥哥德德巴巴赫赫想想数数学学中中有有各各种种各各样样的的猜猜.171330,17320,7310:,301713,20173,1073:写成他有意把上面的式子改察到据说哥德巴赫无意中观.:奇质数奇质数偶数律其中反映出这样一个规?,30,20,10:类似的规律呢那么其他偶数是否也有数都是偶个想法于是哥德巴赫产生了一 ,8631391002,971291000,11516,7714,7512,5510,538:6,336,6,的偶数再看看超过即之和的偶数是第一个等于两个奇质数显然?,你能提出一个猜想吗从上述过程.,?.6:,而且取得了很好的进展证明这个猜想努力许多
5、优秀的数学家都在多少年来确的吗这是正数的和的偶数都等于两个奇质不小于任何一个哥德巴赫大胆地猜想根据上述过程.6,.,:,两个奇质数之和的偶数都等于任何一个不小于提出猜想是于而且没有出现反例和以表示成两个奇质数之他发现它们总可的验证通过对一些偶数过程赫提出猜想的推理我们来考察一下哥德巴现在.,.,一般的推理部分到整体、由个别到归纳推理是由简言之简称归纳为称一般结论的推理或者由个别事实概括出论些特征的推这事物的全部对象都具有出该类推对象具有某些特征这种由某类事物的部分归纳推理归纳推理.,.180,180;,00是归纳推理是归纳推理这也这也从而对整体作出推断从而对整体作出推断试验以取得信息试验以取得
6、信息取一部分进行观测或取一部分进行观测或所研究的对象全体中抽所研究的对象全体中抽我们总是从我们总是从在统计学中在统计学中这些都是归纳推理这些都是归纳推理是是所有三角形的内角和都所有三角形的内角和都归纳出归纳出形的内角和都是形的内角和都是等腰三角形、等边三角等腰三角形、等边三角由直角三角形、由直角三角形、一切金属都能导电一切金属都能导电归纳出归纳出属能导电属能导电金金等等由铜、铁、铝、金、银由铜、铁、铝、金、银例如例如 .,子子下下面面是是一一个个数数学学中中的的例例获获得得新新结结论论新新事事实实应应用用归归纳纳推推理理可可以以发发现现.,2,1na1aa,1a1a1nn1n1n项公式项公式试
7、归纳出这个数列的通试归纳出这个数列的通且且项项的第的第已知数列已知数列例例 .,.anann算出数列的前几项算出数列的前几项的递推公式的递推公式我们先根据已知我们先根据已知为此为此与序号之间的对应关系与序号之间的对应关系项项的第的第是数列是数列数列的通项公式表示的数列的通项公式表示的分析分析;1a,1n1 时当解;3121121a,3n3时当;21111a,2n2 时当.4131131a,4n4 时当.n1a,.4,n这个数列的通项公式为由此猜想数项都等于相应序号的倒数列的前观察可得.,.,1一一种种方方向向提提供供们们的的研研究究想想可可以以为为我我但但这这个个猜猜有有待待严严格格的的证证明
8、明猜猜想想是是否否正正确确还还虽虽然然猜猜想想一一个个了了关关于于数数列列通通项项公公式式的的我我们们通通过过归归纳纳得得到到中中在在例例.,;,;,.,类类比比生生物物机机制制得得到到的的初初构构想想都都是是仿仿生生学学中中许许多多发发明明的的最最事事实实上上等等等等发发明明了了潜潜水水艇艇原原理理外外形形和和它它在在水水中中的的沉沉浮浮人人们们仿仿照照鱼鱼类类发发明明了了锯锯的的草草叶叶和和蝗蝗虫虫的的牙牙齿齿类类比比带带齿齿据据说说我我国国古古代代工工匠匠鲁鲁班班例例如如用用类类比比还还常常常常应应中中在在人人们们的的创创造造发发明明活活动动除除了了归归纳纳.:,.,在在火火星星上上也也
9、可可能能有有性性命命存存科科学学家家猜猜想想由由此此等等等等生生物物的的生生存存度度适适合合地地球球上上某某些些已已知知的的温温而而且且火火星星上上大大部部分分时时间间也也有有季季节节的的变变更更在在一一年年中中也也有有大大气气层层运运行行、绕绕轴轴自自转转的的行行星星如如火火星星也也是是围围绕绕太太阳阳一一些些与与地地球球类类似似的的特特征征发发现现火火星星具具有有作作类类比比科科学学家家们们把把火火星星与与地地球球这这个个问问题题火火星星上上是是否否有有性性命命为为了了回回答答又又如如?推理过程是怎样的推理过程是怎样的科学家做出上述猜想的科学家做出上述猜想的思考思考.,)(,个特征猜测火星
10、也可能具有这出发有性命存在特征然后从地球的一个已知之间的某些相似特征球科学家对比了火星与地在提出上述猜想过程中.,).12(,.,.球也可能具有测对于圆的特征因此我们推的点的集合到定点的距离等于定长都是即具有完美的对称性念上都有类似的地方由球与圆在形状上和概表了圆的一些性质发现定义了圆的一些概念有了比较充分的研究我们已经对于圆我们会自然地联想到圆球体时在研究例如这样的推理数学研究中也常常进行;,;,半径到球心的距离等于球的该点与球交于一点这样的平面我们推测可能存在对于球半径圆的切点到圆心的距离等于点切线与圆交于一圆有切线例如.;,3等等点确定一个球想空间中不共面的四个由此猜个点确定一个圆平面内
11、不共线的.,的切平面的切平面即球即球在的在的平面是存平面是存道这样的道这样的已经知已经知.,12,并说说推理的过程并说说推理的过程特征特征中球的相关中球的相关填写表填写表类比圆的特征类比圆的特征探究探究12表表圆圆的的概概念念和和性性质质球球的的类类似似概概念念和和性性质质圆的周长圆圆的的面面积积.点点的的连连线线垂垂直直于于弦弦中中非非直直径径圆圆心心与与弦弦.,;距距圆圆心心较较近近的的弦弦较较长长不不等等与与圆圆心心距距离离不不等等的的两两弦弦相相等等与与圆圆心心距距离离相相等等的的两两弦弦.ryyxxr,y,x2202000径径的的圆圆的的方方程程为为为为半半为为圆圆心心以以点点球的表
12、面积球的表面积球心与截面圆（不经过球心的球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的连线垂直于截截面圆）圆心的连线垂直于截面圆的截面圆面圆的截面圆与球心距离相等的两个截面圆与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不相等面积相等；与球心距离不相等截面圆面积不相等，距离求新截面圆面积不相等，距离求新较近的截面圆面积较大较近的截面圆面积较大以点以点P(x0,y0,z0)为球心，为球心，r为半径的球的方程为为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2球的体积球的体积.,1n,n.n5、4,得启发和联想得启发和联想从中获从中获维球的情形维球的情形类比类比总可以总可以维球时维球
13、时研究研究维球维球至至维球直维球直维球维球定义并且研究定义并且研究我们还可以我们还可以根据同样的思路根据同样的思路.,.,推理推理殊的殊的类比推理是由特殊到特类比推理是由特殊到特简言之简言之简称类比简称类比称为称为也具有这些特征的推理也具有这些特征的推理推出另一类对象推出另一类对象些已知特征些已知特征的某的某似特征和其中一类对象似特征和其中一类对象些类些类这种由两类对象具有某这种由两类对象具有某类比推理类比推理.,:)16301571,plerKe(界的秘密界的秘密能揭示自然能揭示自然它它赖的老师赖的老师是我最可信是我最可信它它别的东西别的东西比胜过任何比胜过任何我珍惜类我珍惜类说说开普勒开普
14、勒.,.,:Polya,.,等等等等与相等的类比与相等的类比不等不等无限与有限的类比无限与有限的类比量与数的类比量与数的类比数学中还有向数学中还有向平面几何中的类比问题平面几何中的类比问题有赖于有赖于求解立体几何问题往往求解立体几何问题往往引路人引路人类比是一个伟大的类比是一个伟大的曾指出曾指出利亚利亚数学家波数学家波例如例如出新问题和作出新发现出新问题和作出新发现通过类比而提通过类比而提和已经获得的知识出发和已经获得的知识出发问题问题我们可以由已知解决的我们可以由已知解决的在数学中在数学中.,2运算性质运算性质列出它们相似的列出它们相似的类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法例例.4.10
15、,算算个个方方面面来来类类比比这这两两种种运运从从上上述述因因此此我我们们可可以以特特殊殊的的地地位位别别在在加加法法和和乘乘法法中中占占有有分分而而且且都都存存在在逆逆运运算算都都满满足足一一定定的的运运算算律律由由两两个个数数参参与与运运算算实实数数的的加加法法和和乘乘法法都都是是分分析析.,1数得的结果仍然是一个实所或乘法运算后两个实数经过加法运算解 bcacabcbacbabaababba,2即律和结合律加法和乘法都满足交换从运算律的角度考虑 a1xax0a1ax0 xa,3都有唯一解这就使得方程乘法的逆运算是除法运算是减法加法的逆二者都有逆运算从逆运算角度考虑 a1aa0a,1,01
16、;0,4即等于原来的数的积都即任意实数与类似与加法中的法中的乘相加都不改变大小任意实数与在加法中.,证明这些猜想的思路证明这些猜想的思路以及以及获得四面体性质的猜想获得四面体性质的猜想象的性质象的性质通过类比这个对通过类比这个对找一个研究过的对象找一个研究过的对象我们可在平面几何中寻我们可在平面几何中寻四面体的性质四面体的性质为了研究为了研究在立体几何中在立体几何中例如例如比对象比对象寻找合适的类寻找合适的类运用类比推理常常先要运用类比推理常常先要?对对象象可可以以作作为为四四面面体体的的类类比比一一类类图图形形你你认认为为平平面面几几何何中中的的哪哪探探究究.,.)(,3,;)(,4,.,.
17、、,四四面面体体的的类类比比对对象象我我们们可可以以把把三三角角形形作作为为从从这这个个角角度度看看的的封封闭闭图图形形围围成成直直线线最最少少的的基基本本元元素素三三角角形形是是平平面面内内由由数数目目即即角角形形条条直直线线可可以以围围成成一一个个三三而而一一个个封封闭闭的的图图形形两两条条直直线线不不能能围围成成在在平平面面内内围围成成的的封封闭闭几几何何体体面面平平的的基基本本元元素素它它是是空空间间中中由由数数目目最最少少个个面面围围成成四四面面体体由由目目看看从从构构成成几几何何体体的的元元素素数数例例如如对对象象选选择择适适当当的的类类比比题题的的需需要要本本原原则则是是要要根根
18、据据当当前前问问基基度度量量等等位位置置关关系系目目四四面面体体的的几几何何元元素素的的数数如如围围成成出出发发确确定定类类比比对对象象我我们们可可以以从从不不同同的的角角度度.,想的例子想的例子得到立体图形性质的猜得到立体图形性质的猜比平面的几何中的结论比平面的几何中的结论我们就来看一个通过类我们就来看一个通过类下面下面.,3空空间间四四面面体体性性质质的的猜猜想想试试给给出出的的勾勾股股定定理理类类比比平平面面内内直直角角三三角角形形例例ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2图图.,3,对象对象作为直角三角形的类比作为直角三角形的类比个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体取有取
19、有所以我们可以选所以我们可以选两条边垂直两条边垂直角三角形的角三角形的到直到直考虑考虑析析分分;DEFP,ABCRt,11.2是四面体是四面体相对应相对应与与所示所示如图如图;33ABCP,1ABCRt个直二面角个直二面角构成构成个面在一个顶点处个面在一个顶点处的的是四面体是四面体直角相对应的直角相对应的个个的两条边交成的两条边交成与与ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2图图;SS,SDPE,FPD,DEFDEFP,b,aRtABC321和和面积面积的的和和的面的面是四面体是四面体相对应的相对应的的直角边边长的直角边边长与与.SPEFDEFP,cRtABC的面积的面积的面的面是四面
20、体是四面体应的应的相对相对的斜边边长的斜边边长与与.DEFP,RtABC,四个面的面积的关系四个面的面积的关系猜想出四面体猜想出四面体中的勾股定理中的勾股定理我们可以类比我们可以类比由此由此.bac,ABCRt,11.2222得由勾股定中在道我们知所示如图解ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2图图.SSSS,DEFP,2322212成立成立们猜想们猜想我我中中在四面体在四面体定理定理类比直角三角形的勾股类比直角三角形的勾股于是于是.?学们自己证明学们自己证明请同请同这个结论是正确的吗这个结论是正确的吗:理理过过程程概概括括为为我我们们把把前前面面所所进进行行的的推推题题出出发发从从
21、具具体体问问.)reasoningplausible(,把他们统称为把他们统称为我们我们后提出猜想的推理后提出猜想的推理然然再进行归纳类比再进行归纳类比联想联想、经过观察、分析、比较经过观察、分析、比较理都是根据已有的事实理都是根据已有的事实归纳推理和类比推归纳推理和类比推可见可见合情推理合情推理.,:)18271749,Laplace(归纳和类比归纳和类比是是理的主要工具也理的主要工具也发现真发现真使在数学里使在数学里即即曾经说过曾经说过斯斯法国数学家拉普拉法国数学家拉普拉比比较较、联联想想观观察察、分分析析、类类比比归归纳纳、猜猜想想提提出出.,;,.,下下面面再再来来看看一一个个例例子子
22、路路和和方方向向明明思思理理常常常常能能为为我我们们提提供供证证合合情情推推证证明明一一个个数数学学结结论论之之前前和和发发现现结结论论们们猜猜想想合合情情推推理理常常常常能能帮帮助助我我之之前前得得到到一一个个新新结结论论数数学学研研究究中中的的推推理理合合乎乎情情理理合合情情推推理理是是指指通通俗俗地地说说.,.,21.24另一根针上另一根针上部移到部移到把金属片从一根针上全把金属片从一根针上全按下列规则按下列规则干金属片干金属片上的若上的若有三根针和套在一根针有三根针和套在一根针所示所示如图如图例例21.2图图.2;1.1金属片上面金属片上面不能放在较小的不能放在较小的较大的金属片较大的
23、金属片个金属片个金属片每次只能移动每次只能移动?,31n:移移动动多多少少次次最最少少需需要要号号针针号号针针移移到到个个金金属属片片从从把把试试推推测测123.n,4,3,2,1个个金金属属片片所所需需的的次次数数进进而而归归纳纳出出移移动动中中的的规规律律性性探探究究其其个个金金属属片片的的情情形形入入手手我我们们从从移移动动分分析析.1,13,3,1n次共移动了表示用符号号针移到只需把金属片从一号针时当解:,2,2n顺序是移动的中间针号针作为我们利用金属片上面片放在较小的为了避免将较大的金属时当 ;2111号针号针移到个金属片从将第;3122号针号针移到个金属片从将第;3213号针号针移
24、到个金属片从将第.3,231312次共移动了用符号表示为:,2n,3n移动的顺序是的情形结为则归一个整体把上面两个金属片作为时当;211号针号针移到把上面两个金属片从;3132号针号针移到个金属片从把第.323号针号针移到把上面两个金属片从 .7,13232113321213.31次共移动了用符号表示为都需要借助中间针和其中:,3,4n顺序是移动的个金属片作为一个整体把上面时当 ;2131号针号针移到个金属片从把上面;3142号针号针移到个金属片从把第.3233号针号针移到个金属片从把上面.15,231312233121231312323112231312次共移动了用符号表示为.15,7,3,
25、14,3,2,1,构成的数列个金属片所需次数我们得到依次移动至此.1215,127,123,121:,4321下规律可以发现其中蕴含着如观察这个数列.Nn12aa,a,31n:nnnn的通项公式为则数列次最少需要移动针号号针移到个金属片从若把由此我们猜想?,31n数数呢呢才才能能达达到到最最少少的的移移动动次次怎怎样样移移动动号号针针号号针针移移到到个个金金属属片片从从把把探探究究;211n1号针号针移到两个金属片从将上面:,n.n,4,3,2,1n可分为下列三个步骤个金属片时当移动方法个金属片都适用的移动归纳出对我们可以时的移动方法通过探究上述;31n2号针号针移到个金属片从将第.321n3
26、号针号针移到个金属片从将上面.n1n,n个金属片的任务个金属片和移动一次第转化为移动两次个金属片的任务这样就把移动个金移动个金属片片和移动一次第个金属个金属片需要移动两次而移动2n,1n2n1n可得递推公式根据这个过程的情形个金属片直到转化为移动如此继续个金属片个金属片和移动一次第需要移动两次,.1,2nn 3 3.1n1a2a,1a1nn1.,正确的是可以证明上述通项公式从这个递推公式出发.,未必可靠猜想仅仅是一种论由合情推理所获得的结一般来说波波利利亚亚争争议议的的和和暂暂时时的的合合情情推推理理是是冒冒险险的的、有有.,4177006641297967294412F5,Euler,.Nn12:,5376512,25712,1712,512,5n43212522222从从而而推推翻翻了了费费马马的的猜猜想想不不是是质质数数个个费费马马数数第第发发现现善善于于计计算算的的欧欧拉拉之之后后半半个个世世纪纪这这就就是是著著名名的的费费马马猜猜想想数数的的数数都都是是质质任任何何形形如如猜猜想想于于是是他他用用归归纳纳推推理理提提出出都都是是质质数数法法国国数数学学家家费费马马观观察察到到例例如如.F,n记作记作通常称为费马数通常称为费马数
