1、精华学校精华学校 2020 届三模答届三模答案案 数数 学学 一、一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A A D D A B 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11. 15 12. 2 2 1 3 x y 13. 8；62 14. 10；600 15. 注：第 13、14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分， 其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85
2、分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.（本小题共 14 分） （）证明：连接 1 AC交 1 AC于点O，连接OD，则点O是 1 AC的中点， 点D是AB的中点， OD/ 1 BC OD平面 1 ACD ， 1 BC平面 1 ACD 1 BC/平面 1 ACD -5 分 （）解：2ACCB，2 2AB ACCB 三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 底面ABC 1 AA 底面ABC 1 CCCA， 1 CCCB 以C为坐标原点，分别以 1 ,CA CB CC为, ,x y z轴，如图建立空间直角坐标系 ( 0, 0, 0)C，(2,0,0)A， 1(2,0,2) A，(0,
3、2,0)B，(1,1,0)D， 0 (1,1,0)CD ， 1 (2,0,2)CA ， 1 (0,0,2)AA 设平面 1 ACD的法向量为( , , )x y zn， 因为 1 0 0 CD CA n n 0 220 xy xz 令1x ，则1,1yz ， 所以平面 1 ACD的一个法向量为(1, 1, 1) n， 设直线 1 AA与平面 1 ACD所成角为 si n 1 1 1 c o s, AA AA AA n n n 23 321 1 1 所以直线 1 AA与平面 1 ACD所成角的正弦值为 3 3 . -14 分 17.（本小题共 14 分） 解： （） 12 xx； 22 12 s
4、s -4 分 （）设事件A：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数 多于 200 例”.从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求 所以 21 ( ) 63 P A -8 分 （）由题意可知0,1,2X 2 2 2 6 1 (0) 15 C P X C 11 24 2 6 8 (1) 15 C C P X C 2 4 2 6 62 (2) 155 C P X C 所以X的分布列为： 1824 ()012 151553 E X -14 分 X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 18.（本小题共 14
5、分） （）证明： （解法 1）由A b c cos及余弦定理Abccbacos2 222 可知 bc acb b c 2 222 2222 2acbc 0 222 bca 即0cosB 因为0,B 所以, 2 B 即B为钝角-5 分 （解法 2）由A b c cos及正弦定理 sinsin bc BC 可知 sin cos sin C A B sin()sincosABBA sin()sincoscossinsincosABABABBA sincos0AB 因为0,A 所以sin0A 所以cos0B 因为0,B 所以, 2 B 即B为钝角-5 分 （）解：因为B为钝角，所以 2 , 0, CA
6、 若成立，因为 2 sin= 2 A，0 2 A ， 所以 4 A 若成立，因为 3 sin= 2 C，0 2 C ， 可得 3 C 若同时成立，则 12 5 , 12 7 BCA 与题矛盾，故不能同时成立 则必同时成立 因为ac 所以AC 若成立，则 3 , 3 2 , 3 BCAA 与题矛盾，故选 bc acb A 2 cos 222 b b 22 42 2 2 2 解得31b（31舍）-14 分 19.（本小题共 14 分） 解： （）由题意得 1 , 2 1, c a c 解得2a ，1c ， 从而 22 3bac， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy -5 分 （）当直线l的斜
7、率不存在时，设4Pt，当 0 (1,)My， 0 (1,)Ny时， 0 0 2 4 14 13 PMPN tyty t kk ，又 0 4 13 PF tt k ， 所以直线,PM PF PN的斜率成等差数列 当直线l的斜率存在时，设:(1)l yk x 联立 22 (1), 3412, yk x xy 得 2222 (43)84120kxk xk 2 144(1)0k 成立， 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，则 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k 设点4Pt， 3 PF t k 则 12 12 44 PMPN ytyt
8、kk xx 12 1212 121212 112(5 )()8() 444()16 k xtk xtkx xtk xxtk xxx xxx 22 2 22 222 22 4128 2(5 )8() 24 (1)2 4343 =2 412836(1)3 416 4343 PF kk ktktk t kt kk k kkk kk 所以直线,PM PF PN的斜率成等差数列 综上, 直线,PM PF PN的斜率成等差数列 -14 分 20.（本小题共 15 分） 解： （）当ae时，( )(1)ln x f xxeex，(1)0f， （）( ) x e fxxe x ，(1)0fee 所求切线方程为
9、：0y -4 分 （）( )0 x e fxxex x ， 令( )( )0 x e g xfxxex x ， 所以 2 ( )(1) x e g xxe x 所以当0x 时，( )0g x ， 所以( )g x在区间0,上单调递增， 又因为(1)0g， fxf x、随x的变化如下表： x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以函数( )f x的最小值为(1)0f. -10 分 （）依题，函数( )f x只有一个零点， ( )(0) x a fxxex x ， 0a 时， 0,x，( )0fx ，所以( )f x在0,上单调递增，且(1)0f， 所以函数( )f
10、x只有一个零点； 当0ae时，令( )( )(0) x a g xfxxex x ， 2 ( )(1)(0) x a gxxex x ， 所以( )g x在区间0,上单调递增， 若ae时，由（）知函数( )f x只有一个零点， 若0ae时，(1)0gea，( )0 a e aa gee ee ， 所以( )g x在区间0,上存在一个零点 0 x，且 0 ,1 a x e ， fxf x、随x的变化如下表： x 0 (0,)x 0 x 0 (,)x ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以 0 ()(1)0f xf， 因为( )(1)lnlnln xxxx f xxeaxxeeaxeax ，
11、取1 e a xe ，()ln+0 ee aa ee ee aa f eeaeee ， （用极限说明也给分）（用极限说明也给分） (1)=0f， 所以函数( )f x在区间 0 0,x和 0, x 上各有一个零点， 综上可知：a的取值范围是 ,0e. -15 分 21.（本小题共 14 分） 解： （）( )3A，( )2B，( )1C -3 分 （）当2020n 时，设 2020 A 且( )2A，则A中元素个数的最大值为 2019 2. 理由如下： （a） 一方面：对任意的 12320192020 ( ,.,)a a aaaAa，令 12320192020 ( )( ,.,1)fa a a
12、aaa 则 2020 ( , ( ) |12|12dfa aa，故( )fAa. 令集合 ( )|BfAaa， 则AB ， 2020 ()AB 且A与B的元素个数相同， 但 2020 中共有 2020 2个元素，其中至多一半属于A，故A中至多有 2019 2个元素. （b）另一方面，设 1220202020122020 ( ,.,)|Aa aaaaa是偶数 则A中的元素个数为 02420202019 2020202020202020 2CCCC. 对任意的 122020122020 ( ,.,),(,.,)x xxy yyAxy，xy 易得 1122 ( ,)| nn dxyxyxyx y与
13、112220202020 xyxyxy 奇偶性相同，故( , )d x y为偶数，由xy，得( , )0dx y，故( , )2dx y. 注意到(0,0,0,0,.,0,0),(1,1,0,0,.,0,0)A且它们的距离为2，故此时A满足题意. 综上，A中元素个数的最大值为 2019 2. -8 分 （）当2020n 时，设 2020 A 且( )3A，设 12 ,., m A x xx. 任意的 i Ax，定义x的领域 2020 ()| ( ,)1 ii Ndxaa x （a）对任意的1im ，() i N x中恰有2021个元素.事实上 （1）若( ,)0 i da x，则 i ax，恰
14、有一种可能； （2）若( ,)1 i da x，则a与 i x恰有一个分量不同，共 2020 种可能； 综上，() i N x中恰有2021个元素. （b）对任意的1ijm ，()() ij NNxx. 事实上，若 ()() ij NN xx 不妨设()() ij NNaxx，不妨设 122020 ( ,.,)a aaa， 122020 ( ,.,) i x xxx， 122020 (,.,) j xxxx，则 2020202020202020 1111 (,)|(|)|2 ijkkkkkk kkkk dxxxaaxxaax x x 这与( )3A，矛盾. 由（a）和（b） ， 12 ()()() m NNNxxx中共有2021m个元素，但 2020 中共有 2020 2个元素，所以 2020 20212m ， 2020 2 2021 m . 注意到m是正整数，但 2020 2 2021 不是正整数，上述等号无法取到. 所以，集合A中的 元素个数m小于 2020 2 2021 . -14 分
