1、 第 1 页，共 8 页 2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.设集合31,Ax xkkZ，32,Bx xkkZ，U为整数集，则UAB=（）A.3,x xk kZ B.31,x xkkZ C.32,x xkkZ D.2.若复数()(1)2aiai，则a（）A.1 B.0 C.1 D.2 3.执行下面的程序框图，输出
2、的B（）A.21 B.34 C.55 D.89 4.向量1ab，2c 且0abc ，则cos,ac bc（）A.15 B.25 C.25 D.45 5.已知等比数列 na中，11a，nS为 na前n项和，5354SS，则4S （）A.7 B.9 C.15 D.30 6.有 50 人报名报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，结束 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1 7.“22sinsin1”是“sincos0”（）A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不
3、是充分条件也不是必要条件 第 2 页，共 8 页 8.已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为5，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于A，B两点，则AB（）A.15 B.55 C.2 55 D.4 55 9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有一人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120 B.60 C.40 D.30 10.已知()f x为函数cos 26yx向左平移6个单位所得函数，则()yf x与1122yx的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 11.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，4AB，3PCP
4、D，45PCA，则PBC的面积为（）A.2 2 B.3 2 C.4 2 D.5 2 12.已知椭圆22196xy，1F，2F为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPF，则OP（）A.25 B.302 C.35 D.352 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.若2(1)sin2yxaxx为偶函数，则a .14.设x，y满足约束条件2333231xyxyxy，则32zxy的最大值为 .15.在正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为CD，11A B的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .
5、16.在ABC中，2AB，60BAC，6BC，AD平分BAC交BC于点D，则AD .第 3 页，共 8 页 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分.17.（12 分）已知数列 na中，21a，设nS为 na前n项和，2nnSna.（1）求 na的通项公式；（2）求数列12nna的前项和nT.第 4 页，共 8 页 18.（12
6、 分）在三棱柱111ABCABC中，12AA，1AC 底面ABC，90ACB，1A到平面11BCC B的距离为 1.（1）求证：1ACAC；（2）若直线1AA与1BB距离为 2，求1AB与平面11BCC B所成角的正弦值.CBA1AC1B1 第 5 页，共 8 页 19.（12 分）为探究其药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X，求 X 的分布列和数学期望；（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g）：（己按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24
7、.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 2 2 列联表：m m 对照组 实验组 （ii）根据 2 2 列联表，能否有 95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：0k 0.10 0.05 0.010 20P kk 2.706 3.841 6.635 第
8、 6 页，共 8 页 20.（12 分）直线2 10 xy 与2:2(0)C ypx p交于 A，B 两点，|4 15AB.（1）求p；（2）设 C 的焦点为 F，M，N 为 C 上两点，0MF NF，求MNF面积的最小值.第 7 页，共 8 页 21.（12 分）已知3sin(),0,cos2xf xaxxx.（1）当8a 时，讨论()f x的单调性；（2）若()sin2f xx，求a的取值范围.第 8 页，共 8 页 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）已知(2,1)P，直线2cos:1sinxtlyt（t 为参数），l 与 x 轴,y 轴正半轴交于 A，B 两点，|4PAPB.（1）求的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知()2|f xxaa，0 a.（1）解不等式()f xx；（2）若()yf x与坐标轴围成的面积为 2，求 a.
