1、第4章 流体力学基本方程组 4.1 物质积分的随体导数 4.1.1 线段元、体积元和面积元的随体导数（1）线段元的随体导数 在流场中任取一线段元r，它是矢径r和r0之差 线段元r的随体导数为(4.1.1)(4.1.2)根据梯度定理，速度分量的微分可以表示为 线段元r的随体导数（2）体积元的随体导数 体积元 的随体导数是体积元的变化率(4.1.3)(4.1.4)速度散度的定义 考虑到速度通量等于体积元 的变化率，速度散度的定义式 体积元的随体导数(4.1.5)(4.1.6)（3）面积元的随体导数 柱体微元体积 面积元S的随体导数(4.1.7)式的张量表示为 4.1.2 线积分、面积分和体积分的随
2、体导数（1）线积分的随体导数(4.1.7)(4.1.8)(4.1.9)（2）流体面积分的随体导数（3）流体体积分的随体导数 任一标量函数 的体积分的随体导数(4.1.10)(4.1.11)对于任一矢量函数a的体积分的随体导数 矢量函数a的体积分的随体导数另一形式(4.1.12)(4.1.13)4.2 连续性方程 4.2.1 质量守恒定律 4.2.2 积分形式的连续性方程（1）积分形式的连续性方程(4.1.14)(4.2.1)(4.2.2)(4.2.3)（2）控制体和控制面 4.2.3 微分形式的连续性方程（1）微分形式的连续性方程图4.1 控制体和控制面图4.2 流管(4.2.4)(4.2.5
3、)（2）直角坐标形式的连续性方程（3）定常运动的连续性方程(4.2.6)(4.2.7)（4）不可压缩流体的连续性方程（5）流管中平均运动的连续性方程 两个应用公式 由质量守恒定理，微元质量 的时间导数为零，即(4.2.8)(4.2.9)(4.2.10)两个应用公式(4.2.11)(4.2.12)4.3 运 动 方 程 4.3.1 动量定理的表达式 动量定理的表达式 4.3.2 积分形式的动量方程(4.3.1)(4.3.2)4.3.3 微分形式的动量方程(1)运动方程 流体动量的变化率 应用奥高公式有(4.3.3)(2)直角坐标形式的运动方程(4.3.4)(4.3.5)(4.3.6)(3)兰姆-
4、葛罗米柯()运动方程 于是速度的随体导数变成(4.3.7)式称为兰姆-葛罗米柯运动方程。4.3.4 动量矩定理的表达式 动量矩定理的表达式(4.3.7)（1）积分形式的动量矩定理 流体动量矩体积分的随体导数 动量矩定理（2）微分形式的动量矩定理(4.3.8)(4.3.9)流体动量矩的变化率 微分形式的动量矩定理 4.4 能量方程 4.4.1 能量守恒定律 能量守恒定律可以写为：4.4.2 积分形式的能量方程(4.3.10)(4.4.1)4.4.3 微分形式的能量方程(1)微分形式的能量方程 内能和动能总和的体积分的随体导数(4.4.2)上式是微分形式的能量方程。微分形式的能量方程可用张量表示（
5、2）直角坐标形式的能量方程(4.4.3)(4.4.4)（3）微分形式的能量方程的另一种形式(4.4.5)(4.4.6)(4.4.7)(4.4.8)张量表示（4.4.9）式在直角坐标系中的形式为(4.4.9)(4.4.10)(4.4.11)4.5 本构方程 4.5.1 广义牛顿定律的基本假定 1)运动流体的应力张量P在流体运动停止后，趋于静止流体的应力张量；2)流体中一点的应力是该点瞬时变形率的线性函数；3)流体各向同性，即流体的所有物性在各个分向上都相同；4)不可压缩流体的粘性，仅用动力学粘性常数来表示。依据假定1)依据假定2)依据假定3)(4.5.2)(4.5.1)(4.5.3)(4.5.4
6、)(4.5.5)(4.5.6)(4.5.7)(4.5.8)4.5.2 广义牛顿公式 在斯托克斯假设下，广义牛顿公式:(4.5.9)(4.5.10)(4.5.11)广义牛顿公式的分量形式(4.5.12)(4.5.13)(4.5.14)不可压缩流体的广义牛顿公式为 4.6 流体力学基本方程组 4.6.1 微分形式的基本方程组（1）应力形式的基本方程组(4.5.15)(4.5.16)(4.6.1)（2）张量形式的基本方程组（3）应变形式的基本方程组 应力张量的散度divP(4.6.2)运动方程可以写为矢量形式 运动方程（4.6.4）式(4.6.3)(4.6.4)(4.6.5)能量方程中，应力张量做功
7、 耗散函数(4.6.6)(4.6.7)应力张量做功 能量方程 连续性方程(4.6.8)(4.6.9)(4.6.10)能量方程 基本微分方程组(4.6.11)应力张量P(4.6.12)（4）粘性不可压缩均质流体的基本微分方程组（5）理想流体的基本微分方程组(4.6.13)(4.6.14)（6）静力学平衡微分方程（7）基本微分方程组在直角坐标系中的形式(4.6.15)(4.6.16)连续性方程：运动方程(4.6.17a)(4.6.17b)能量方程 本构方程：(4.6.17c)(4.6.17d)状态方程：其中耗散函数为（8）基本微分方程组在正交坐标系中的形式 连续性方程：(4.6.17e)(4.6.18a)运动方程：(4.6.18b)能量方程：本构方程(4.6.18c)(4.6.18d)状态方程 4.6.2 积分形式的基本方程组(4.6.18e)(4.6.19)4.6.3 初始条件和边界条件（1）初始条件 当t=t0时（2）边界条件 当 时，固体壁面边界条件(4.6.20)(4.6.21)(4.6.22)当固体壁面处于静止状态时，uw=0，固体壁面边界条件变为：如果流体是理想流体，固体壁面边界条件为：(4.6.23)(4.6.24)
