1、一、随机试验一、随机试验 我们学习了概率有关知识我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次知道概率是描述在一次随机试验随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量中的某个随机事件发生可能性大小的度量.一般地，一个试验如果满足下列条件：一般地，一个试验如果满足下列条件：1试验可以在相同的情况下重复进行；试验可以在相同的情况下重复进行；2试验的所有可能结果是明确可知道的试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不只一个；并且不只一个；3每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在 一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果一次试验之前却不能肯定这次
2、试验会出现哪一个结果这种试验就是一个这种试验就是一个随机试验。随机试验。练习：判断下面问题是否构成随机试验练习：判断下面问题是否构成随机试验(1)、京广、京广T15特快列车到达广州站是否正点。特快列车到达广州站是否正点。(2)(2)、19761976年唐山大地震。年唐山大地震。解：是随机试验。因为它满足随机试验的三个条件：解：是随机试验。因为它满足随机试验的三个条件：即在相同的情况下可重复进行（每天一次）；所有可即在相同的情况下可重复进行（每天一次）；所有可能的结果是明确的（正点或误点）；试验之前不能肯能的结果是明确的（正点或误点）；试验之前不能肯定会出现哪种结果。定会出现哪种结果。解：不是随
3、机试验，因为它不可重复进行。解：不是随机试验，因为它不可重复进行。引例引例1 1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数数.引例引例2 2：某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品：某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的的100100件产品中任意抽取件产品中任意抽取4 4件，其中含有的次品件数件，其中含有的次品件数.若用若用表示所含次品数，表示所含次品数，有哪些取值？有哪些取值？若用若用表示命中的环数，表示命中的环数，有哪些取值？有哪些取值？可取可取0环、环、1环、环、2环、环、10环环,共共11种结果种结果可取可取 0件、件、1件、件、2件、件、3件
4、、件、4件件,共共5种结果种结果思考思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？说明：说明：任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化.=0，表示正面向上；，表示正面向上；=1，表示反面向上，表示反面向上二、随机变量二、随机变量定义定义:如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做这样的变量叫做随机变量随机变量。随机变量常用字母随机变量常用字母X、Y、等表示。等表示。1.如果随机变量
5、可能取的值可以按次序一一列出（可以是如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量.2.如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做随机变量叫做连续型随机变量连续型随机变量.注注:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数量来表达。如投掷一枚硬币，以用数量来表达。如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，表示正面向上，=1，表示反面向上，表示反面向上.(2)若若是随机变量是随机变量,ab，a、b是常
6、数是常数,则则也是随机变也是随机变量量附附:随机变量随机变量或或的特点：的特点：(1)可以用数表示；可以用数表示；(2)试验之试验之前可以判断其可能出现的所有值前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确在试验之前不可能确定取何值。定取何值。例例1:1:写出下列各随机变量可能的取值写出下列各随机变量可能的取值:(1)(1)从从1010张已编号的卡片（从张已编号的卡片（从1 1号到号到1010号）中任取号）中任取1 1张，被取出的卡片的号数张，被取出的卡片的号数(2)(2)一个袋中装有一个袋中装有5 5个白球和个白球和5 5个黑球，从中任取个黑球，从中任取3 3个，个，其中所含白球数其
7、中所含白球数（3 3）抛掷两个骰子，所得点数之和）抛掷两个骰子，所得点数之和(4)(4)接连不断地射击接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数首次命中目标需要的射击次数(5)(5)某一自动装置无故障运转的时间某一自动装置无故障运转的时间(6)(6)某林场树木最高达某林场树木最高达3030米，此林场树木的高度米，此林场树木的高度离离散散型型连连续续型型（1 1、2 2、3 3、1010）（内的一值）内的一值）0,30 取取（内的一值）内的一值）(0,)取取（0 0、1 1、2 2、3 3）2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 1,2,3,注注:随机变量是随机试验的试验结果和实数之间
8、的一种对随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系应关系.(1).(1).将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()()(A)两次出现的点数之和两次出现的点数之和(B)两次掷出的最大点数两次掷出的最大点数(C)第一次减去第二次的点数差第一次减去第二次的点数差(D)抛掷的次数抛掷的次数D(2).(2).某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要公司要求至少要买求至少要买5050只只,但不得超过但不得超过8080只只.商厦有优惠规定：一商厦有优惠规定：一次购买小于或等于次购买小于或等于5050只的不优
9、惠只的不优惠.大于大于5050只的，超出的只的，超出的部分按原价格的部分按原价格的7 7折优惠折优惠.已知水杯原来的价格是每只已知水杯原来的价格是每只6 6元元.这个人一次购买水杯的只数这个人一次购买水杯的只数 是一个随机变量，那么是一个随机变量，那么他所付款他所付款 是否也为一个随机变量呢是否也为一个随机变量呢?、有什么关系有什么关系呢？呢？902.47.06)50(650 N ,80,50例例2.例例3.3.袋中有大小相同的袋中有大小相同的5 5个小球，分别标有个小球，分别标有1 1、2 2、3 3、4 4、5 5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个五个号码，现在在有放回的条
10、件下取出两个小球，设两个小球号码之和为，则所有可能值的个数是小球号码之和为，则所有可能值的个数是_个；个；“”表示表示 4 “第一次抽第一次抽1 1号、第二次抽号、第二次抽3 3号，或者第一次抽号，或者第一次抽3 3号、号、第二次抽第二次抽1 1号，或者第一次、第二次都抽号，或者第一次、第二次都抽2 2号号9例例4.4.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为第二枚骰子掷出的点数的差为，试问，试问:(1)(1)“4”“4”表示的试验结果是什么？表示的试验结果是什么？(2)P(4)=?(2)P(4)=?答答:(1):(1)
11、因为一枚骰子的点数可以是因为一枚骰子的点数可以是1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6六种六种结果之一结果之一,由已知得由已知得 -5-5 5,也就是说也就是说“4”4”就是就是“5”.5”.所以，所以，“4”4”表示第一枚为表示第一枚为6 6点点,第二枚为第二枚为1 1点点 136练习练习:某城市出租汽车的起步价为某城市出租汽车的起步价为1010元元,行驶路程不超出行驶路程不超出4km,4km,则按则按1010元的标准收租车费元的标准收租车费.若行驶路程超出若行驶路程超出4km,4km,则按每超出则按每超出1km1km加收加收2 2元计费元计费(超出不足超出不足1km1km的部分按的
12、部分按1km1km计计).).从这个城市的从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为民航机场到某宾馆的路程为15km.15km.某司机常驾车在机场与此宾某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程换成行车路程(这个城市规定这个城市规定,每停车每停车5 5分钟按分钟按1km1km路程计费路程计费),),这个司机一次接送旅客的行车路程多少是一个随机变量这个司机一次接送旅客的行车路程多少是一个随机变量,他收他收旅客的租车费也是一个随机变量旅客的租车费也是一个随机变量 （）求租车费）求租车费关于行车路程关于行车
13、路程的关系式；的关系式；（）已知某旅客实付租车费）已知某旅客实付租车费3838元，而出租汽车实际行驶了元，而出租汽车实际行驶了15km15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？22,10)4(2,410,4)1(:即即时时当当；时时以以题题意意得得当当解解.15,.151518518,2238)2(分分钟钟累累计计最最多多出出租租车车在在途途中中因因故故停停车车所所以以）（，得得由由 对于一个随机试验对于一个随机试验,仅仅知道试验的可能结果是不够的，仅仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率还要能把握每一个结果发生的概率.引例：
14、抛掷一枚骰子，所得的点数引例：抛掷一枚骰子，所得的点数有哪些值？有哪些值？取每个取每个值的概率是多少？值的概率是多少？1616161616(4)P (2)P (3)P (5)P (6)P 16(1)P 则则解：解：的取值有的取值有1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6 P1 12 26 65 54 43 3161616161616列成列成表格表格形式形式注注:该表不仅列出了随机变量该表不仅列出了随机变量的所有取值的所有取值,而且列出了而且列出了的每一个取值的概率的每一个取值的概率分布列分布列取每一个值取每一个值 的概率的概率 123,ixxxxx1x2xipp1p2pi为随机变量为随机
15、变量 的的概率分布列概率分布列，简称，简称 的的分布列分布列.则称表格则称表格(1,2,)ix i ()iiPxp 设离散型随机变量设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为思考思考:根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出分布根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出分布列有什么性质？列有什么性质？注注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,1 2 3ipi ，123(2)1ppp2.概率分布还经常用图象来表示概率分布还经常用图象来表示.三、离散型随机变量的分布列三、离散型随机变量的分布列练习练习.随机变量随机变量的分布列为的分布列为解解:
16、(1)由离散型随机变量的分布列性质得由离散型随机变量的分布列性质得-10123p0.16a/10a2a/50.3（1）求常数）求常数a;（2）求）求P(14)(2)P(14)=P(=2)+P(=3)=0.12+0.3=0.42解得：解得：（舍）或（舍）或20.160.31105aaa910a 35a 的分布列为：的分布列为：1 P1101121611213141122121321 例例1:已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P2 21 13 32 21 10 0112161121314112分别求出随机变量分别求出随机变量112 22；的分布列的分布列 10232121121)
17、1(:11、的的取取值值为为可可得得由由解解 变变化化且且相相应应取取值值的的概概率率没没有有21(9)(3)12PP 的分布列为：的分布列为：2 2 解解:(2):(2)由由可得可得的取值为的取值为0、1、4、922 2(1)(1)(1)PPP 2(0)(0)PP 1;311412 132(4)(2)(2)PPP 1111264 P09411213141132 例例1:已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P2 21 13 32 21 10 0112161121314112分别求出随机变量分别求出随机变量112 22；的分布列的分布列 例例2.2.一个口袋里有一个口袋里有5 5
18、只球只球,编号为编号为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,在袋中同时在袋中同时取出取出3 3只只,以以表示取出的表示取出的3 3个球中的最小号码个球中的最小号码,试写出试写出的分布列的分布列.解解:随机变量随机变量的可取值为的可取值为 1,2,3.1,2,3.当当=1=1时时,即取出的三只球中的最小号码为即取出的三只球中的最小号码为1,1,则其它则其它两只球只能在编号为两只球只能在编号为2,3,4,52,3,4,5的四只球中任取两只的四只球中任取两只,故故有有P(P(=1)=1)=3/5;=3/5;2345/CC同理可得同理可得 P(P(=2)=3/10=2)=3/10;P(;P(=3)=
19、1/10.=3)=1/10.因此因此,的分布列如下表所示的分布列如下表所示 1 2 3P3/53/101/10练习练习:一袋中装有一袋中装有6个同样大小的小球，编号为个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出，现从中随机取出3个小球，以个小球，以表示取出球的表示取出球的最大号码，求最大号码，求 的分布列的分布列解：解：”3“表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比另两个都比“3”小小)3(P362211CCC201”4“)4(P362311CCC203”5“)5(P362411CCC103”6“)6(P362511CCC21随机变量随机变量的分布列为：
20、的分布列为：的所有取值为：的所有取值为：3、4、5、6表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比另两个都比“4”小小表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比另两个都比“5”小小表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比另两个都比“3”小小P654320120310321例例3.3.将一枚骰子掷将一枚骰子掷2 2次次,求下列随机变量的概率分布求下列随机变量的概率分布.(1)(1)两次掷出的最大点数两次掷出的最大点数;(2)(2)第一次第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差掷出的点数减去第二次掷出的点数之差.解解:(1):(1)=k=
21、k包含两种情况包含两种情况,两次均为两次均为k k点点,或一个或一个k k点点,另另一个小于一个小于k k点点,故故P(P(=k)=,(k=k)=,(k=1,2,3,4,5,6.)1,2,3,4,5,6.)3612662)1(1 kk(3)(3)的取值范围是的取值范围是-5,-4,-5,-4,，4 4，5.5.从而可得从而可得的分的分布列是：布列是：-5-5-4-4-3-3-2-2-1-1 0 01 12 23 34 45 5 p p136236336436536636536436336236136P6 65 54 43 32 21 1 1363365367369361136练习：练习：2.2
22、.设随机变量设随机变量的分布列为的分布列为则的值为则的值为1(),3iPia 1,2,3i a1.1.设随机变量设随机变量的分布列如下：的分布列如下：P4321a161316则则a的值为的值为3113273.3.设随机变量的分布列为设随机变量的分布列为 P1011212q 2q则（则（）q A、1B、C、D、212 212 212 4.4.设随机变量只能取设随机变量只能取5 5、6 6、7 7、1616这这1212个值，且个值，且取取每一个值的概率均相等，则每一个值的概率均相等，则 ,若若 则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是(8)P 1()12Px D326,5:布列的步骤布列的步骤求
23、离散型随机变量的分求离散型随机变量的分.1;验证各概率之和是否为验证各概率之和是否为第三步第三步概率概率求出与各种可能对应的求出与各种可能对应的第二步第二步的数值的数值确定随机变量可能取到确定随机变量可能取到第一步第一步问题问题:在掷一枚图钉的随机试验中在掷一枚图钉的随机试验中,令令1,0,X针针尖尖向向上上针针尖尖向向下下如果针尖向上的概率为如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量试写出随机变量X的分布列的分布列解解:根据分布列的性质根据分布列的性质,针尖向下的概率是针尖向下的概率是(1-p)，于是，于是，随机变量随机变量X的分布列是：的分布列是：X01P1pp两点分布列两点分布列:X0-1分
24、布分布.X 两点分布两点分布如果随机变量如果随机变量的分布列为：的分布列为：一、两点分布列一、两点分布列10Pp1-p这样的分布列称为这样的分布列称为两点分布列两点分布列,称随机变量称随机变量服从服从两点两点分布分布,而称而称p=P(=1)为成功概率为成功概率._)0(,1,2:P则则次次试试验验的的成成功功次次数数去去描描述述变变量量用用随随机机倍倍失失败败率率的的设设某某项项试试验验的的成成功功率率是是练练习习这样的分布列称为这样的分布列称为 两点分布列两点分布列.又称又称0-10-1分布分布如果随机变量如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称的分布列为两点分布列，就称X服从两点服从两点分
25、布分布，而称而称p=P(X=1)为为成功概率。成功概率。思考思考:在含有在含有5件次品的件次品的100件产品中件产品中,任取任取3件件,求求取到的次品数取到的次品数X的分布列的分布列.二、超几何分布二、超几何分布nNknMNkMCCCkXP )(k=0,1,2,m则随机变量则随机变量X的概率分布列如下：的概率分布列如下：发生的概率为：发生的概率为：件次品数，则事件件次品数，则事件件，其中恰有件，其中恰有件产品中，任取件产品中，任取件次品的件次品的在含有在含有kXXnNM 像上面这样的分布列称为像上面这样的分布列称为 超几何分布列超几何分布列.如果随机变量如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就
26、称的分布列为超几何分布列，就称X服从超服从超几何分布。几何分布。X01mPnNnMNMCCC00 nNnMNMCCC11 nNmnMNmMCCC *,minNNMnNMNnnMm 且且其中其中注注:超几何分布的模型是不放回抽样超几何分布的模型是不放回抽样超几何分布中的参数是超几何分布中的参数是M,N,n)4()4(.)2(.)2(._,10,10,715:10156847 PPCPBPACCC的的是是下下列列概概率率等等于于方方便便的的村村庄庄数数个个村村庄庄中中交交通通不不表表示示这这用用个个村村庄庄任任意意选选现现从从中中个个村村庄庄交交通通不不方方便便个个村村庄庄中中有有在在练练习习.,
27、0500)7(100,500)7(100,:.22的分布列的分布列数数试写出购买者获得奖金试写出购买者获得奖金则不得奖金则不得奖金并且若并且若元元则可得奖金则可得奖金之和为之和为数数若两枚骰子向上面的点若两枚骰子向上面的点可掷两枚骰子一次可掷两枚骰子一次产品一件者产品一件者规定购买该规定购买该品进行促销活动品进行促销活动某公司为促销某种新产某公司为促销某种新产例例YXXX .361)12(;181362)11(;363)10(;91364)9(;365)8(;61366)7(;365361)6(;9136)5(;12161)4(;4816)3(;361)2(:1212121221212 XPx
28、PXPXPXPXPCCXPCCXPCXPCXPXP由题意得由题意得解解X23456789101112Y2000 1100 4000000040011002000P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/36列出一个表格如下列出一个表格如下:故故Y的分布列为的分布列为Y040011002000P2/31/61/91/18例例:从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中，一件一件个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取三
29、种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的次数的分布列的分布列每次取出的产品都不放回此批产品中；每次取出的产品都不放回此批产品中；1234P10/135/265/1431/286;2861)4(;1435)3(265)2(;1310)1(.4,3,2,1:413110333131102321311013113110 ACAPACAPACCPCCP 的的所所有有取取值值为为解解:的分布列为的分布列为 123nP每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中每次取出一件产品后
30、总以一件合格品放回此批产品中1310133)(;13101331310133133)3(1310133)2(;1310)1(,.,.,3,2,1:2113110nnPPPCCPn）（同同理理可可得得）（。的的所所有有取取值值为为解解 :的分布列为的分布列为随机变量随机变量 13101310133 1310)133(2 1310)133(n例例:从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中，一件一件个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的次数的分布列的分布列123nPp(1-p)p(1-p)2p(1-p)n-1p:,的分布列为的分布列为所需的试验次数所需的试验次数发生为止发生为止直到事件直到事件则一直试验则一直试验发生的概率为发生的概率为事件事件一次试验中一次试验中 APA
