1、登天之梯登天之梯 高飞之翼高飞之翼你的数学好吗？整式方程 分式方程 一元一次方程 一元二次方程 二元一次方程组 解法 应用Here I am!Here I am!中考数学满分，高考数学138分二元一次方程组二元一次方程组列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤（1）审：）审：（2）找：找：（3）列：）列：（4）解：）解：（5）答：）答：一、数字问题一、数字问题例例1 一个两位数，比它十位上的数字与个位一个两位数，比它十位上的数字与个位上的数字的和大上的数字的和大9；如果交换十位上的数字；如果交换十位上的数字与个位上的数字，所得两位数比原两位数大与个位上的数字，所得两
2、位数比原两位数大27，求这个两位数，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数字为分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的，个位上的数字为数字为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：系可用下表表示：十位上十位上的数的数个位个位上的上的数数对应的两位对应的两位数数相等关系相等关系原两位数原两位数xy10 x+y10 x+y=x+y+9新两位数新两位数y10y+x10y+x=10 x+y+27解：设这个两位数十位上的数字为解：设这个两位数十位上的数字为x，个位，个位上的数字为上的数字为y，由题意，得，由题意，得10 x+y=x+y+910y+x
3、=10 x+y+27解得解得x=1y=4因此，所求的两位数是因此，所求的两位数是14 套路：一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一套路：一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为般应设各个数位上的数为“元元”，然后列多元方程组，然后列多元方程组解之解之二、利润问题二、利润问题例例2 一件商品如果按定价打九折出售可以一件商品如果按定价打九折出售可以盈利盈利20%；如果打八折出售可以盈利；如果打八折出售可以盈利10元，元，问此商品的定价是多少？问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为此，
4、设此商品的定价为x元，进价为元，进价为y元，则：元，则：打九折时的卖出价为打九折时的卖出价为0.9x元，获利元，获利(0.9x-y)元，因此元，因此得方程得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为打八折时的卖出价为0.8x元，获利元，获利(0.8x-y)元，可得元，可得方程方程0.8x-y=10.解：设此商品的定价为解：设此商品的定价为x元，进价为元，进价为y元，元，由题意，得由题意，得解得解得因此，商品定价为因此，商品定价为200元元 0.9x-y=20%y 0.8x-y=10 x=200y=150套路：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为套路：商品销售盈利百分数是相对于进价
5、而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润利润=卖出价卖出价-进价；二是：利润进价；二是：利润=进价进价利润率（盈利百分利润率（盈利百分数）数）特别注意特别注意“利润利润”和和“利润率利润率”是不同的两个概念是不同的两个概念三、配套问题三、配套问题例例3某厂共有某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺名生产工人，每个工人每天可生产螺栓栓25个或螺母个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺，那么每天安排多名工人生产螺栓，多
6、少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数每天生产的螺母数1套路：利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即：（2）“三合一”问题：如果甲产品件，乙
7、产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：故应安排故应安排20人生产螺栓，人生产螺栓，100人生产螺母人生产螺母设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓栓25x个，螺母个，螺母20个，依题意，得个，依题意，得四、行程问题四、行程问题例例4 在某条高速公路上依次排列着在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加三个加油站，两个加油站间的距离为油站，两个加油站间的距离为120千米。分别在千米。分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在以相
8、同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往两个加油站驶去，结果往B站站驶来的团伙在驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？是多少？解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米千米/时，由题意，得时，由题
9、意，得x+y=120 x-y=40因此，巡逻车的速度因此，巡逻车的速度是是80千米千米/时，犯罪团时，犯罪团伙的车的速度是伙的车的速度是40千千米米/时时套路：套路：“相向而遇相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；来的距离；“同向追及同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离它们原来的距离x+y=120 3(x-y)=120整理，得整理，得解得解得x=80y=40五、货运问题五、货运问题例例5 某船的载重量为某船的载重量为300吨，容积为吨，容积为1200立方米，现有立方米，现有甲、乙两
10、种货物要运，其中甲种货物每吨体积为甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米立方米，乙种货物每吨的体积为，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：分析：“充分利用这艘船的载重和容积充分利用这艘船的载重和容积”的意思是的意思是“货物的总重量等于船的载重量货物的总重量等于船的载重量”且且“货物的体积等于船货物的体积等于船的容积的容积”设甲种货物装设甲种货物装x吨，乙种货物装吨，乙种货物装y吨，则吨，则因此，甲、乙两重货物应各装因此，甲、乙两重货物应各装150吨吨套路套路：
11、由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑先化简，再考虑消元和解法消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项公约数或移项、合并同类项等等六、工程问题六、工程问题解：设订做的工作服是解：设订做的工作服是x套，要求的期套，要求的期限是限是y天，依题意，得天，依题意，得x=150y x+25=200(y-1)解得解得x=3375y=18套
12、路：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三套路：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即个基本量的关系，即“工作量工作量=工作时间工作时间工作效工作效率率”以及它们的变式以及它们的变式“工作时间工作时间=工作量工作量工作效工作效率，工作效率率，工作效率=工作量工作量工作时间工作时间”其次注意当其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示表示总工作量总工作量1.在在“家电下乡家电下乡”活动期间，凡购买指定家活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴的财政补贴.村民小李购
13、买了一台村民小李购买了一台A型洗衣机，型洗衣机，小王购买了一台小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到型洗衣机，两人一共得到财政补贴财政补贴351元，又知元，又知B型洗衣机售价比型洗衣机售价比A型型洗衣机售价多洗衣机售价多500元元.求：求：（1）A型洗衣机和型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多型洗衣机的售价各是多少元？少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？实际各付款多少元？练习练习2.某旅游商品经销店欲购进某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，两种纪念品，若用若用380元购进元购进A种纪念品种纪念品7件，件，B种纪念品种纪念品8件；也可以
14、用件；也可以用380元购进元购进A种纪念品种纪念品10件，件，B种纪念品种纪念品6件。件。求求A、B两种纪念品的进价分别为多少？两种纪念品的进价分别为多少？若该商店每销售若该商店每销售1件件A种纪念品可获利种纪念品可获利5元，每元，每销售销售1件件B种纪念品可获利种纪念品可获利7元，该商店准备元，该商店准备用不超过用不超过900元购进元购进A、B两种纪念品两种纪念品40件，件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？大，最大为多少？3.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停某
15、停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为车费为6元元/辆，小型汽车的停车费为辆，小型汽车的停车费为4元元/辆辆.现在停车场有现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多元，问中、小型汽车各有多少辆？少辆？4.一群学生前往滩坑电站建设工地进行社会实一群学生前往滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，
16、而每位女生看到白色的安全帽是红色一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的的2倍倍.根据这些信息，请你推测这群学生共有根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？多少人？5.为满足市民对优质教育的需求，某中学决定为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校元，建新校舍每平方米需舍每平方米需700元元.计划在年内拆除旧校舍与计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的地
17、面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆，而拆除旧校舍则超过了计划的除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化）若绿化1平方米需平方米需200元，那么在实际完元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？多少平方米？销售方式销售方式直接销售直接销售粗加工后销售粗加工后销售精加工后销售精加工后销售每吨获利（元）每吨获利（元）1002504506.某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下
18、表某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：所示：现在该公司收购了现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时吨（两种加工不能同时进行）进行）（1）如果要求在）如果要求在18天内全部销售完这天内全部销售完这140吨蔬菜，请吨蔬菜，请完成下列表格：完成下列表格：销售方式销售方式全部直接销售全部直接销售 全部粗加工后销售全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求
19、在求在15天内刚好加工完天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分吨蔬菜，则应如何分配加工时间？配加工时间？7.某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的的2倍，到两个工厂的人数各是多少？倍，到两个工厂的人数各是多少？8.小兰在玩具工厂劳动，做小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、个小狗、7个个小汽车用去小汽车用去3小时小时42分，做分，做5个小狗、个小狗、6个个小汽车用去小汽车用去3小时小时37分，平均做分，平均
20、做1个小狗、个小狗、1个小汽车各用多少时间？个小汽车各用多少时间？9.甲、乙二人相距甲、乙二人相距6km，二人同向而行，二人同向而行，甲甲3小时可追上乙；相向而行，小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。小时相遇。二人的平均速度各是多少？二人的平均速度各是多少？10.通讯员要在规定时间内到达某地通讯员要在规定时间内到达某地,他每他每小时走小时走15千米千米,则可提前则可提前24分钟到达某地分钟到达某地;如果每小时走如果每小时走12千米千米,则要迟到则要迟到15分钟分钟.求求通讯员到达某地的路程是多少千米通讯员到达某地的路程是多少千米 和原和原定的时间为多少小时定的时间为多少小时 12.甲乙两地相距
21、甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时小时20分分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？机从开始到现在各自行驶了多少千米？11.甲、乙两人从相距甲、乙两人从相距28公里的两地同时相公里的两地同时相向出发，向出发，3小时小时30分钟后相遇；如果甲先出分钟后相遇；如果甲先出发发2小时，那么在乙出发小时，那么在乙出发2小时后相遇，求小时后相遇，求甲、乙两人的速度甲、乙两人的速度.
