1、 1 第三届青年教师中考数学压轴题讲题比赛 第一天上午 主持人 于永库 赵 辉 孔令志 1王小武和他的朋友们代表队 2019 长沙第 26 题 2河南大学附中代表队 2019 河南第 23 题 3东道主长春市净月实验中学代表队 2019 长春第 23 题 第一天下午 主持人 赵 辉 王小武 张春莹 4曲阜市代表队（孔祥骞名师工作室代表队） 2019 济宁第 22 题 5宜昌市代表队（张钦博士工作室代表队） 2019 宜昌第 24 题 6长春市 XYZ 数学工作室代表队 2019 长春第 24 题 7河北邢台刘雪教研员代表队 2019 河北第 26 题 第二天上午 主持人 王小武 李长春 于永库
2、 8太原市第 38 中学代表队 2019 山西第 23 题 9淄博市张店区七中代表队 2019 淄博第 24 题 10上海挑战压轴题代表队 2019 上海第 25 题 台下策应 王勇战 贺基旭 王丽萍 几何画板&读题 邵新虎 赵 彬 总主持人 马学斌 黄晓龙 专家 嘉宾 罗增儒教授 方运加教授 孟祥静教授 学术支持 中小学数学 中学数学教学参考 华东师范大学出版社 2 长长春春市市净净月月实实验验中中学学简简介介 长春市净月实验中学（原长春市实验中学初中 部）创建于 2008 年，学校是由长春市实验中学和 长春宏达产业集团联合创办、市教育局批准成立的 民办住宿制初级中学。 学校现有教职员工 2
3、00 余人，教学班级 54 个， 在籍学生 2000 余人。学校坐落在长春市净月高新 技术产业开发区，占地 18000 平方米，建筑面积 22000 平方米。其中教学楼共有学生教室 54 间，拥 有一流的理、化、生实验室、图书室、微机室等多 功能室，班级配备了先进的多媒体教学系统，现代 化教学设施一应俱全。宿舍楼共有学生宿舍 260 间，每间宿舍均配有独立洗漱间。学校食堂 可容纳 2000 余人同时就餐。 我校坚持贯彻“关注生命，关注健康，关注品德，关注学业”的办学理念，遵循“乐观， 宽容，感恩”的育人思想，树立“为孩子成长负责，为国家未来负责”的教育信仰，致力于 培养个性张扬，活泼开朗，明德
4、知礼，博爱感恩的阳光少年。学校坚定实施素质教育，恪守 严爱相济的育人原则，注重学生的素质养成教育，使学生“学会正义、学会热爱、学会责任、 学会文明、学会生存、学会学习、学会健康、学会相处”，成为素质高，能力强，敢创新， 有思想的优秀中学生。 长春净月实验中学精英荟萃， 名师辈出， 他们既有来长春市实验中学等名校的全国知名 校长；有长春市优秀初中的校长、管理人才及教学精英；有一支师德高尚、业务精湛、实力 非凡的教师队伍，他们是净月实验学子的良师益友，更是学生获得成功的坚实保障。 “学为 人师，行为世范”，创建优质教风，树立淳厚校风，铸造师魂丰碑。学校现有教师 150 余人， 全部本科学历以上，其
5、中具有研究生以上学历 30 余人；教师平均年龄 30 岁，正处于年富力 强，张扬理想，敢于创新，极具亲和力的“黄金时期”。学校还聘请心理、舞蹈、跆拳道、 生命教育等专任教师，为学生开拓更广泛的学习生活。 .小班化办学特色。学校全面做到为 30 人和 40 人的小班教学，在长春市所有初中仅此 一家。从现代学校教育的发展趋势来看，小班化教学已经成为优质教育的代名词。小班化教 学不只是班级人数相对较少，其本质内涵是要求课堂教学真正实现面向全体，尊重个性，体 现差异，因材施教。小班化教学，更便于教师开展“适合、适度、适性”的教育教学活动， 让每个孩子充分享受教育教学资源， 更大程度上实现教育公平。 我
6、们不断深化课堂教学改革， 将课堂定位为“知识的超市，生命的狂欢”，优化教学方式与学习方式，促进学生自主、主 动地学习。 除国家规定的课程之外， 我校还开设了有专任教师的男生跆拳道课、 女生形体训练课、 自主阅读课、生命教育课、心理咨询、各种学生社团(合唱团、腰鼓队、管乐队、朗诵社、 记者团等)及固定的 21 个课外兴趣小组活动类课程， 学科门类覆盖面广， 体现丰富性与选择 性，促进学生综合素质的提升。 3 形体舞蹈课配备专业舞蹈教师，面向全体女生，旨在培养秀外慧中的现代美丽女生： 气质优雅，身心健康，容止美好，情操高尚，具有良好行为习惯和较高审美水平。 跆拳道课设置专门场地，聘请专业教练，实行
7、正规认证，面向全体男生，旨在提高学 生文明谦和的礼仪水平，培养坚忍不拔的意志品质，形成宽宏自信的阳刚之气，实现强体健 美的育人目的。 自主阅读课每周一次，让学生在静谧的环境和浩瀚的书海中，快乐阅读，享受阅读，开 阔视野，生长胸襟。 生命健康教育课以专题教学和主题教学的形式开展， 旨在传授生命知识， 培养生命技能， 让学生学会敬畏生命、理解生命、尊重生命、珍爱生命。 二十一个课外兴趣小组的活动，极大地丰富了学生的课余文化生活，还可以开拓视野，培养 了学生多方面的才能。 4 2019 年长沙市中考第 26 题王小武代表队 王小武 朱建平 王娟 资二古 谢小飞 如图 1，抛物线 yax26ax（a
8、为常数，a0）与 x 轴交于 O、A 两点，点 B 为抛物线 的顶点，点 D 的坐标为(t, 0)（3t0） ，连接 BD 并延长与过 O、A、B 三点的P 相交 于点 C （1）求点 A 的坐标； （2）过点 C 作P 的切线 CE 交 x 轴于点 E 如图 1，求证：CEDE； 如图 2，连接 AC，BE，BO，当 a 3 3 ，CAEOBE 时，求 11 ODOE 的值 图 1 图 2 _ _ _ _ _ _ _ _ 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6 2019 年长沙市中考第 26 题王小武代表队
9、如图 1，抛物线 yax26ax（a 为常数，a0）与 x 轴交于 O、A 两点，点 B 为抛物线 的顶点，点 D 的坐标为(t, 0)（3t0） ，连接 BD 并延长与过 O、A、B 三点的P 相交 于点 C （1）求点 A 的坐标； （2）过点 C 作P 的切线 CE 交 x 轴于点 E 如图 1，求证：CEDE； 如图 2，连接 AC，BE，BO，当 a 3 3 ，CAEOBE 时，求 11 ODOE 的值 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“19 长沙 26” ，拖动点 D 或点 B 运动，可以体验到，ECD 中 的 EC 和 ED 的对角是等角的余角，EC 与 ED 保持
10、相等 点击屏幕左下方的按钮“第（3）题” ，拖动点 D 运动，或者点击按钮“” ，可以体 验到，当 时，BO 是BDE 的角平分线 思路点拨 1作弦心距 PH，那么 BH 垂直平分 AO，再连接半径 PB、PC，这样就出现了等角的 余角 2已知 D(t, 0)，设 E(m, 0)，这样就把 11 ODOE 转化为 11 tm 在BDE 中，由三个 点的坐标可以表示出所有线段的长，包括 BO、DO、EO 3解题过程中，只用点 B，不需要抛物线 满分解答 （1）由 yax26axax(x6)，得 A(6, 0) （2）如图 3，作弦心距 PH，那么 BH 垂直平分 AO 连接 PB、PC由 PBP
11、C，得PBCPCB 因为 CE 切P 于点 E，所以PCE90 根据等角的余角相等，得ECDBDH 又因为BDHEDC，所以ECDEDC 所以 CEDE 7 图 3 图 4 如图 4，由 2 33 (6)(3)3 3 33 yx xx，得顶点( 3, 3 3)B 再由 A(6, 0)，可知AOB 是边长为 6 的等边三角形 已知CAEOBE，又因为CAECBO，所以CBOOBE 所以 BO 是BDE 的角平分线，点 O 到 BD、BE 的距离相等所以 BDO BEO SBD SBE 如果把BDO 和BEO 看作同高三角形，那么 BDO BEO SDO SEO 所以 BDDO BEEO 设 E(
12、m, 0)由 22 22 BDDO BEEO ，得 222 2 22 (3)(3 3) (3)(3 3) tt mm 整理，得 6 6 t m t 所以 1611 66 t mtt 所以 11 ODOE 111 () 6tt 1 6 考点伸展 第（2）题求 m 与 t 的关系，还可以证明ABDAEB 如图 4，因为ABDABO60 ，AEBAOB60 ，所以ABD AEB又因为BAE 是公共角，所以ABDAEB于是 AB2AD AE 所以 62(6t)(6m)整理，得 6 6 t m t 8 2019 年河南省中考第 23 题河南大学附中代表队 桑静华 张梦蕰 金秀云 闫炳瑞 如图 1，抛物线
13、 2 1 2 yaxxc交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 1 2 2 yx 经过点 A、C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横 坐标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M、B、B到该直线的距离 都相等当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：ykxb 的解析式（k、b 可用含 m 是式子表示） 图 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _
14、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 10 2019 年河南省中考第 23 题河南大学附中代表队 如图 1，抛物线 2 1 2 yaxxc交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 1 2 2 yx 经过点 A、C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横 坐标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M、B、B到该直线的距离 都相等当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与
15、点 B 不重合时，请直接写出直线 l：ykxb 的解析式（k、b 可用含 m 是式子表示） 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“19 河南 23” ，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，直角 三角形 PCM 存在两种情况 点击屏幕左下方的按钮“第（2）题” ，拖动点 P 在 y 轴右侧的抛物线上运动，可以体 验到，BBM 的三条中位线所在的直线，每条都满足点 M、B、B到该直线的距离都相等 思路点拨 1分两种情况讨论直角三角形 PCM具体问题具体分析，MPC90时，PC/x 轴； MCP90时，构造两个直角三角形相似 2点 M、B、B到同一条直线的距离相等，不由得想起了三角形的中位线
16、满分解答 （1）由 1 2 2 yx ，得 A(4,0)，C(0,2) 将 A(4,0)、C(0,2)两点分别代入 2 1 2 yaxxc，得 1620, 2. ac c 解得 1 4 a ，c2所以 2 11 2 42 yxx （2）直线 PM 与直线 AC 的夹角保持不变，直角三角形 PCM 存在两种情况： （i）如图 2，当MPC90时，PC/x 轴所以 P、C 关于抛物线的对称轴 x1 对称 此时 P(2,2) （ii）如图 3，当MCP90时，作 MGy 轴于 G，作 PHy 轴于 H 由PHCCGM，得 PHCG HCGM 设 P 2 11 ( ,2) 42 mmm，M 1 ( ,
17、2) 2 mm 11 所以 2 1 2 11 42 m m m mm 因为 m0， 化简， 得 11 11 2 42 m 解得 m6 此时 P(6,10) 直线 l 的解析式是 4 2 24 m yx m 图 2 图 3 考点伸展 第（2）题可以这样思考：如图 4，BBM 的三条中位线所在的直线，每条都满足点 M、B、B到该直线的距离都相等 （i）将 B(2, 0)、M 1 ( ,2) 2 mm两点分别代入 ykxb，得 20, 1 2. 2 kb mkbm 解得 4 24 m k m 此时直线 l 的解析式为 4 2 24 m yx m （ii）将 B(2, 4)、M 1 ( ,2) 2 m
18、m两点分别代入 ykxb，得 20, 1 2. 2 kb mkbm 解得 4 24 m k m 此时直线 l 的解析式为 4 2 24 m yx m （iii）因为直线 BC 的斜率 k1，BM 的中点 为 D 11 (1,1) 24 mm，将点 D 代入 yxb， 得 3 2 4 bm 此时直线 l 的解析式为 3 2 4 yxm 图 4 12 2019 年长春市中考第 23 题东道主长春市净月实验中学代表队 李洋 石桂阳 周月昕 如图 1，在 RtABC 中，C90，AC20，BC15点 P 从点 A 出发，沿 AC 向 终点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们
19、的速度均为每秒 5 个单位长度， 点 P 到达终点时，P、Q 同时停止运动当点 P 不与点 A、C 重合时，过点 P 作 PNAB 于 点 N，连结 PQ以 PN、PQ 为邻边作平行四边形 PQMN设平行四边形 PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒 （1）AB 的长为_； PN 的长用含 t 的代数式表示为_ （2）当平行四边形 PQMN 为矩形时，求 t 的值 （3）当平行四边形 PQMN 与ABC 重叠部分图形为四边形时，求 S 与 t 之间的函数关 系式 （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过平行四边形 PQMN 一边的中点时，直接写出 t 的值 图 1 _ _ 13 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
