1、一、选择题1设，是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A过且与平行的平面有且只有一个B过且与垂直的平面有且只有一个C与所成的角的范围是D过空间一点与、均平行的平面有且只有一个2在下列四个正方体中，能得出直线与所成角为的是（ ）ABCD3球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ）ABCD4点，在球表面上，若球心到截面的距离为，则该球的体积为（ ）ABCD5如图，在长方体中，点M是棱的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内的一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）ABCD6某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积（单位：）是（ ）A10BCD7下列说法
2、正确的是（ ）A直线l平行于平面内的无数条直线，则lB若直线a在平面外，则aC若直线，直线，则aD若直线ab，那么直线a就平行于平面内的无数条直线8如图，在直四棱柱中，底面为正方形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD9在长方体中，则二面角的大小是（ ）A30B45C60D9010如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：截面异面直线与所成的角为其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD11已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的余弦值等于（ ）ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案12是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直
3、线，给出四个论断：以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个13长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，且四边形为正方形，则球的直径为（ ）A4BC4或D4或514用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，则圆台的母线长是（ ）ABCD二、解答题15在如图所示的几何体中，侧面为正方形，底面中，.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使平面？证明你的结论.16如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AEEBBC2，AD平面ABE，且CE上的点F满足BF平面ACE.（1）求证：A
4、E平面BFD；（2）求三棱锥C-AEB的体积.17如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，分别为的中点.（1）证明：直线平面；（2）求与平面所成角的正弦值.18如图所示正四棱锥，P为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若，侧棱上是否存在一点，使得 平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.19如图，在四棱锥中，为菱形，平面，连接，交于点O，E是棱上的动点，连接（1）求证：平面平面；（2）当面积的最小值是6时，求此时点E到底面的距离20如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别为棱B1C1、BB1中点，G在A1D上且DG3GA1，过E、F、G三点的平面截正方体.（1）作出截面图形并求出
5、截面图形面积（保留作图痕迹）；（2）求A1C1与平面所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分）21如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，. （1）证明：平面；（2）求点到平面的距离22如图，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点，求证：（1）平面； （2）23如图，在三棱锥中，（1）证明：；（2）求三棱锥的体积24如下图所示，四边形EFGH所在平面为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形（1）求证：平面EFGH；（2）若，求四边形EFGH周长的取值范围25如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面
6、积 26如图，已知三棱柱中，为上一点，平面（1）求证：为的中点;（2）若平面平面，求证：为直角三角形.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【分析】在A中，过m上一点作n的平行线，只能作一条l，l与m是相交关系，故确定一平面与n平行；在B中，只有当m与n垂直时才能；在C中，两异面直线所成的角的范围是；在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在【详解】在A中，过m上一点P作n的平行直线l，由公理三的推论可得m与l确定唯一的平面，l，n，故故A正确在B中，设过m的平面为，若n，则nm，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面与n垂直，故B不正
7、确在C中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是，故C不正确在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D不正确故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题2A解析：A【分析】根据线面垂直的性质以及判定定理判断A，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.【详解】对于A，如下图所示，连接由于，根据线面垂直判定定理得平面，再由线面垂直的性质得出，则A正确；对于B，如下图所示，连接因为为正三角形，所以直线与所成角为，则B错误；对于C，如图所示，连接因为在中，所以直线与所成角为，则C错误；
8、对于D，如下图所示，连接因为，所以直线与所成角为，则D错误；故选：A【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.3D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9、4D解析：D【分析】先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可.【详解】由，及余弦定理得，所以，即A是直角，是底面圆的直径，过球心作平面，即为的中点，所以，连接，即为半径，由勾股定理得，所以球的体积为，故选：D.【点睛】本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题.5C解析：C【分析】首先找出过点且与平面平行的平面，然后可知点的轨迹即为该平面与侧面四边形的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段长度的取值范围【详解】如图所示：，取的中点，取的中点，的中点，的三等分点靠近，并连接起来由题意可知，所以平面平面
10、即当点在线段上时，平面在中，所以为等边三角形，取的中点，故线段长度的取值范围是故选：C【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题6B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱，如下图所示该几何体的侧面积为故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.7D解析：D【分析】根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案.【详解】解：A项，若直线l平行于平面内的无数条直线
11、，则l可能平行于平面，也可能位于平面内，故A项错误；B项，直线a在平面外，则直线a与平面可能平行，也可能相交，故B错误；C项，直线，所以a可能与平面相交或与平面平行,故C项错误；D项，直线ab,当a时,直线a与平面内所有与直线b平行的直线平行；当时,除了直线a本身,直线a与平面内所有与直线b平行的直线平行,因此直线a平行于平面内的无数条直线,故D项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质，属于基础题型.8D解析：D【分析】本题先通过平移确定异面直线与所成角，再在中通过余弦定理求该角的余弦值即可.【详解】解：连接、（如图），设（），则，在直四棱柱中， 异面直线与所成角可
12、以表示为，在中，故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.9A解析：A【分析】取中点为，平面，所以即在平面上的投影，易知，再利用线面垂直证明，得到即二面角，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体的图象，取中点为，连接、，因为平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以，因为，所以四边形是正方形，为中点，所以，又，所以平面，又平面，所以，即二面角，又，所以，.故选：A【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.10B解析：B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断，由线面平行的判定定理和性质定理可判断，由平行线分线段成比
13、例可判断，由异面直线所成角的定义可判断.【详解】截面是正方形，,又平面，平面，平面，平面，平面平面，同理可得由正方形知，则，即正确；由，平面，平面，得平面，则正确；由，,得,所以，同理可证，由正方形知，但不一定与相等，则与不一定相等，即不正确；由知为异面直线与所成的角，由正方形知，则正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.11B解析：B【分析】连接，设侧棱与底面边长都等于，计算，再根据点到底面的距离等于点到底面的距离，求解与底面所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱的侧棱与底面边长都等于.连接，则.在中，得.在中，即，
14、则为等边三角形，所以.在菱形中，得.又因为点到底面的距离等于点到底面的距离所以与底面所成角的正弦值为.即与底面所成角的余弦值为.故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.12B解析：B【分析】分别以作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若，则与可能平行可能相交，即不能推出；同理不能推出；若，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则，即能够推出；若，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即，所以能够推出.所以一共两个命题正确.故选：B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂
15、直关系的判定和证明.13C解析：C【分析】设，则，由余弦定理可得，求出，即可求出球的直径.【详解】根据题意，长方体内接于球内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体：设，则，由余弦定理可得：，或，球的直径为；或，球的直径为.故选：C【点睛】本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题.14A解析：A【分析】计算得到，根据相似得到，计算得到答案.【详解】圆台上、下底面的面积之比为，则.设圆台母线长为，根据相似得到：，故.故选：.【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、解答题15（1）证明见解析；（2）为的中点，证明见解析.【
16、分析】（1）本题首先可通过正弦定理得出以及，然后根据以及线面垂直的判定即可证得结果；（2）本题首先可取的中点，连接、，然后通过三角形中位线的性质得出，最后通过线面平行的判定即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，即，解得，因为，所以平面.（2）当为的中点时，平面.证明如下：如图，取的中点，连接，与交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直与线面平行的判定，若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直，若平面外一条直线平行平面内一条直线，则线面平行，考查数形结合思想，是中档题.16（1）证明见解析；（2）.
17、【分析】（1）由ABCD为矩形，易得G是AC的中点，又BF平面ACE，BCBE，则F是EC的中点，从而FGAE，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD平面ABE，易得AEBC，再由BF平面ACE，得到AEBF，进而得到AE平面BCE，然后由求解.【详解】（1）如图所示：因为底面ABCD为矩形，所以AC，BD的交点G是AC的中点，连接FG，BF平面ACE，则CEBF，而BCBE，F是EC的中点，FGAE.又AE平面BFD，FG平面BFD，AE平面BFD.（2）AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC.又BF平面ACE，则AEBF，AE平面BCE.三棱锥C-AEB的体积.【点睛】
18、方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(，aa)；（4）利用面面平行的性质(，a，aa)17（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明四边形为平行四边形即可得直线平面；（2）将与平面所成角转化为与平面所成角，进而得为与平面所成角，即可求解.【详解】证明：（1）为的中点，且，又，且，四边形为平行四边形，又 平面，平面，平面.（2）由（1）知，又因为面，所以，在平面内的射影为，则为与平面所成角，在中
19、，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行与线面角的求解，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.常见的线面平行的证明方法有：通过面面平行得线面平行；通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质；常见的线面角的求解方法有：几何法即找出线面角的平面角，再根据几何关系求解；利用空间向量求解.18(1)证明见解析.(2) 侧棱上存在一点，当满足时，平面.【分析】（1）连结相交于点，可得平面，从而可证.（2）取点为的中点，可得，过点作，交于点，连结，可得平面平面，可得平面，从而得出答案.【详解】连结相交于点, 由棱锥为正四棱锥则平面，平面,所以又棱锥为正四棱锥
20、，则四边形为正方形，所以由,所以平面平面，所以（2）侧棱上存在一点，当满足时，平面.由，可得 取点为的中点，则点为的中点,又为的中点所以在中，.平面，平面，则平面过点作，交于点，连结 由平面，平面，则平面又，所以平面平面又平面,则平面.由，则,由，为的中点，则，所以所以侧棱上存在一点，当满足时，平面.【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点构造一个平面使之与平面平行，则所构造的平面与的交点即为所求，即取点为的中点，可得，过点作，交于点，连结，可得平面平面，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.19（1）证明见解析；（2）
21、【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理可得证（2）由（1）知平面，根据三角形的面积公式求得，作交于H，可得平面，从而求得点E到底面的距离【详解】（1）证明：四边形是菱形，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）解：如图（1），连接，由（1）知平面，平面，由，得，当时，取到最小值，此时作交于H，平面，平面，如图（2），由，得点E到底面的距离【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于
22、中档题.20（1）截面见解析，面积为；（2）.【分析】（1）先根据线面平行的性质定理确定出的位置关系，再根据的长度关系确定出的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求；（2）记，通过线面垂直证明即为所求的线面角，从而计算出与平面所成角的正弦值.【详解】（1）如图截面为矩形： 因为平面，且平面平面，所以，又因为，且，所以可知，所以，所以可知为棱的中点，所以四边形为矩形，且，所以截面的面积为；（2）记，连接，如图所示：因为，平面，所以平面，又平面，所以，由（1）知且，所以，所以，且，平面，所以与平面所成角为，因为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：
23、（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.21（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，进而可得，结合平面几何的知识可得，由线面垂直的判定即可得证；（2）取的中点，连接，作于，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解.【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，在中，,平面，平面；（2）设点到平面的距离为，取的中点，连接，作于，如图，则平面平面，平面平面，平面，在中，同理，是等腰三角形，
24、由，即，解得，点到平面的距离为【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离.22（1）证明见解析； （2）证明见解析.【分析】（1）推导出DEAB，ABA1B1，从而DEA1B1，由此能证明A1B1平面DEC1（2）推导出BEAA1，BEAC，从而BE平面ACC1A1，由此能证明BEC1E【详解】（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，DEAB，ABA1B1，DEA1B1，DE平面DEC1，A1B1平面DEC1，A1B1平面DEC1（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点，ABBCBEAC，直三棱柱ABCA1B1
25、C1中，AA1平面ABC，BE平面ABC，BEAA1，又AA1ACA，BE平面ACC1A1，C1E平面ACC1A1，BEC1E【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题23（1）证明见解析，（2）【分析】（1）取的中点，连接，可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得；（2）求解三角形证明，可得平面，利用等体积法求得结果【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，因为，所以平面，因为在平面内，所以，（2）解：在中，因为，所以，在中，因为，所以，在中，由于，所以，所以，因为 ，所
26、以平面，所以【点睛】此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥的体积，此题考查数学转化思想24（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先证得平面，然后根据线面平行的性质定理得到，由此证得平面.（2）设，通过比例求得，由此化简四边形周长的表达式，进而求得四边形周长的取值范围.【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，平面ABD，平面ABD，平面ABD平面ABC，平面平面，平面EFGH，平面EFCH，平面EFCH（2）同（1）可证，设，又，且，四边形EFCH的周长为故四边形EF
27、GH周长的取值范围是【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题.25，【分析】根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.【详解】如图，在中，E为BC的中点， 侧棱长都相等，【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积26(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接A1C交AC1于O，连接OD，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D为BC的中点；（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明ADC1D即可【详解】证明:(1) 联结交于，联结. 四边形是棱柱的侧面， 四边形是平行四边形. 为平行四边形对角线的交点， 为的中点. 平面，平面平面 ，平面， 为的中位线， 为的中点. （2），为的中点， . 平面平面,平面，平面 平面，平面. 平面， ， 为直角三角形.【点睛】本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.
