1、 1 合合肥市肥市 20192019 届高三第二次教学质量检测届高三第二次教学质量检测 数学试题( (理科理科) ) ( (考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分) ) 第第卷卷 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.设复数z满足 4 1 i z i ，则z在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合 2 0 1 x Ax x ，12Bx
2、x ，则AB ( ) A.2 2 ， B.1 1 ， C.(-1，1) D.(-1，2) 3已知双曲线 22 22 1 xy ab (00ab，)的一条渐近线方程为2yx，且经过点P(6，4)，则 双曲线的方程是( ) A. 22 1 432 xy B. 22 1 34 xy C. 22 1 28 xy D. 2 2 1 4 y x 4.在ABC中， 1 2 BDDC，则AD ( ) A. 13 44 ABAC B. 21 33 ABAC C. 12 33 ABAC D. 12 33 ABAC 5.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小
3、家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% -0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确 的是( ) A.该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6.将函数 2sin1 6 fxx 的图象上各点横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)得到函数 g x的图象，则下列说法正确的是( ) A.函数 g x的图象关于点 0
4、12 ，对称 B.函数 g x的周期是 2 C.函数 g x在0 6 ，上单调递增 D.函数 g x在0 6 ，上最大值是 1 7.已知椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左右焦点分别为 12 FF，右顶点为A，上顶点为B，以线段 1 F A为直径的圆交线段 1 FB的延长线于点P，若 2 /F BAP，则该椭圆离心率是( ) A. 3 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 2 8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执 行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有( ) A.36 种 B.44 种 C.4
5、8 种 D.54 种 2 9.函数 2 sinf xxxx的图象大致为( ) 10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相 垂直的有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 11.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首 创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求 和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货 物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每 一层比上一层多 1 件，最后一层是n件已知第一层货物单价 1 万 元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 9 10 若这堆货
6、物总 价是 9 100200 10 n 万元，则n的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 12.函数 1 21 xx f xeebx 在(0，1)内有两个零点，则实数b的取值 范围是( ) A. 11 eeee， B. 1 00 1ee， C. 1 00 1ee， D. 1 1eee e， 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第 1313 题题第第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题、第题、第 2323 题为选考题，考生根据题为选考题，考生根据要求作答要求作答. . 二、填空题：本
7、大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. .把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. . 13.设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 3a ， 4 16S ， 则数列 n a的公差d _. 14.若 1 sin 23 ，则cos2cos_. 15.若0ab，则 22 2 1 ab ab 的最小值为_. 16.已知半径为 4 的球面上有两点A B，4 2AB ，球心为O，若球面上的动点C满足二面角 CABO的大小为60o，则四面体OABC的外接球的半径为_. 三、解答题：解答应写出文三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步字
8、说明、证明过程或演算步骤骤 1717. .( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 在ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ， 22 sinsinsinsin2 sinABABcC， ABC的面积Sabc. ()求角C； ()求ABC周长的取值范围. 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 3 如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC 平面BCGF，2CBGF，BFCF. ()求证：ABCG； ()若BCCF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值. 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 某种大型医疗检查机器生产商， 对一次
9、性购买 2 台机器的客户， 推出两种超过质保期后两年内的 延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元； 方案二： 交纳延保金 10000 元， 在延保的两年内可免费维修 4 次， 超过 4 次每次收取维修费 1000 元. 某医院准备一次性购买 2 台这种机器。 现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案， 为此搜集并 整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率.记X表
10、示这 2 台机器超过质 保期后延保的两年内共需维修的次数. ()求X的分布列； ()以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) )已知抛物线 2 :2C xpy(0p )上一点M(m， 9)到其焦点F的距离为10. ()求抛物线C的方程； ()设过焦点F的直线l与抛物线C交于AB，两点，且抛物线在AB，两点处的切线分别交x轴 于PQ，两点，求APBQ的取值范围. 4 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) )已知函数 2 1 ln1f xa xxxax(0a )是减函数. ()试确定a的值； ()已
11、知数列 n a， ln1 1 n n a n ， 123nn Ta a aa(nN)，求证：ln21 2 n n nT . 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第 一个题目计分，作答时，请用一个题目计分，作答时，请用 2B2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑框涂黑. . 22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，
12、曲线 1 C的参数方程为 2cos sin x y (为参数).在以原点O为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C极坐标方程为 2 4 sin3. ()写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； ()若PQ，分别为曲线 1 C， 2 C上的动点，求PQ的最大值. 23.(23.(本小本小题满分题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知 32f xx. ()求 1f x 的解集； ()若 2 f xa x恒成立，求实数a的最大值. 合合肥市肥市20192019届高三第二次教学质量检测数学试题届高三第二次教学质量检测数学试题( (理科理科)
13、) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共6060分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分分，共，共2 20 0分分. . 13.2 14. 4 9 15.2 16. 4 6 3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C B B C D B A C D D 5 三、解答题：三、解答题： 1717. .( (本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：()由 1 sin 2 SabcabC可知2sincC， 222 sinsinsinsin
14、sinABABC. 由正弦定理得 222 ababc. 由余弦定理得 1 cos 2 C ， 2 3 C . 5分 ()由()知2sincC，2sinaA，2sinbB. ABC的周长为 1 sinsinsin 2 a b cABC 13 sinsin 234 AA 1313 sincossin 2224 1 133 sincos 2 224 13 sin. 234 AAA AA A 0 3 A ， 2 333 A ， 3 sin 1 32 A ， ABC的周长的取值范围为 323 24 ，. 12分 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：()取BC的中点为D，连结DF.
15、 由ABCEFG是三棱台得，平面ABC平面EFG，从而/BCFG. 2CBGF， / CDGF ， 四边形CDFG为平行四边形，/CGDF. BFCF，D为BC的中点， DFBC，CGBC. 平面ABC 平面BCGF，且交线为BC，CG 平面BCGF， CG平面ABC，而AB平面ABC， CGAB. 5分 ()连结AD. 由ABC是正三角形，且D为中点得，ADBC. 由()知，CG平面ABC，/CGDF， DFAD DFBC， DBDFDA，两两垂直. 以DBDFDA，分别为x y z， ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设2BC ，则A(0 0 3， ，)，E( 13 3 22
16、， ，)，B(1，0，0)，G(-1，3，0)， 13 3 22 AE ， 2 3 0BG ， 33 3 22 BE ， ，. 设平面BEG的一个法向量为nxyz， ，. 6 由 0 0 BG n BE n 可得， 230 33 30 22 xy xyz ， . 令3x ，则21yz ， 3 2 1n ， ，. 设AE与平面BEG所成角为，则 6 sincos 4 AE n AE n AE n ，. 12分 1 19 9. .( (本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：()X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. 111 0 1010100 P X ， 111 12 10525 P
17、 X ， 11213 22 5551025 P X ， 131211 322 10105550 P X ， 22317 42 5510525 P X ， 236 52 51025 P X ， 339 6 1010100 P X ， X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 100 1 25 3 25 11 50 7 25 6 25 9 100 5分 ()选择延保方案一，所需费用 1 Y元的分布列为： 1 Y 7000 9000 11000 13000 15000 P 17 100 11 50 7 25 6 25 9 100 1 1711769 7000900011000130001
18、500010720 100502525100 EY (元). 选择延保方案二，所需费用 2 Y元的分布列为： 2 Y 10000 11000 12000 P 67 100 6 25 9 100 2 6769 10000110001200010420 10025100 EY (元). 12 EYEY，该医院选择延保方案二较合算. 12分 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：()已知M( 9m，)到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10. 抛物线的准线为 2 p y ，910 2 p ， 解得，2p ，抛物线的方程为 2 4xy. 5分 ()由已知可判断直线l的斜率
19、存在，设斜率为k，因为F(0，1)，则:1l ykx. 设A( 2 1 1 4 x x，)，B( 2 x， 2 2 4 x )，由 2 1 4 ykx xy 消去y得， 2 440xkx ， 12 4xxk， 12 4 x x. 7 由于抛物线C也是函数 2 1 4 yx的图象，且 1 2 yx ，则 2 1 11 1 : 42 x PA yxxx. 令0y ，解得 1 1 2 xx ，P 1 1 0 2 x ，从而 22 11 1 4 4 APxx. 同理可得， 22 22 1 4 4 BQxx， 2 22 1212 1 44 16 APBQx xxx 22 22 121212 1 164
20、16 x xxxx x 2 2 1 k. 2 0k，AP BQ的取值范围为2, . 12分 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：() f x的定义域为1， ln12fxaxx. 由 f x是减函数得，对任意的1x ，都有 ln120fxaxx恒成立. 设 ln12g xaxx. 21 2 1 a x gx x ，由0a 知，11 2 a ， 当11 2 a x ，时， 0gx；当1 2 a x ，时， 0gx， g x在11 2 a ，上单调递增，在1 2 a ，上单调递减， g x在1 2 a x 时取得最大值. 又 00g，对任意的1x ， 0g xg恒成立，即 g
21、 x的最大值为 0g. 10 2 a ，解得2a . 5分 ()由 f x是减函数，且 00f可得，当0x 时， 0f x ， 0f n ，即 2 21 ln 12nnnn. 两边同除以 2 21n得， ln112 1211 nnn nnn ，即 12 211 n nn a nn . 从而 1 2 3 1 11 2 33 4 5212 2 3 412 3 41122 nn nn nnn Ta a aa nnn ， 所以 2 1 2 ln2ln2ln2ln11 ln2 21 n n n nTnnn n . 下面证 2ln2ln11 ln21 0 2 n nnn ： 记 2ln2ln11 ln21
22、 2 x h xxxx，1x，. 2 211111 ln2ln2ln2 2 2122232 3 x hx xxxx x x ， 2 yx x 在2 ，上单调递增， h x在2 ，上单调递减，而 1111 2ln223ln22ln80 6233 h ， 当2x，时， 0h x恒成立， h x在2 ，上单调递减，即2x， 22ln4 ln3 3ln2ln2 ln30h xh， 8 当2n 时， 0h n . 19 12ln3ln22ln2lnln0 28 he， 当 * nN时， 0h n ，即 2ln2ln11 ln21 2 n nnn . 综上可得，ln21 2 n n nT . 12分 22
23、.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) ) 解：()曲线 1 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y， 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 43xyy，即 2 2 21xy.5分 ()设P点的坐标为(2cos sin，). 2 1PQPC 2 22 4cossin213sin4sin81 当 2 sin 3 时， m a x PQ= 2 21 1 3 . 10分 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) ) 解：()由 1f x 得|32| 1x， 所以1 32 1x ，解得 1 1 3 x ， 所以， 1f x 的解集为 1 1 3 ，. 5分 () 2 f xa x恒成立，即 2 32xa x恒成立. 当0x 时，aR； 当0x 时， 2 322 3 x ax xx . 因为 2 32 6x x (当且仅当 2 3 x x ，即 6 3 x 时等号成立)， 所以2 6a ，即a的最大值是2 6. 10分
