1、 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学数学 （理）（理） 20193 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 1已知集合 |1Ax x，集合 2 |4Bx x，则AB A |2x x B |12xx C |12xx DR 2在复平面内，复数 12i i z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3
2、4 1 ()x x 的展开式中的常数项为 A12 B6 C6 D 12 4若函数 2 2 ,1, ( ) log,1 x x f x xx , 则函数( )f x的值域是 A(,2) B(,2 C0,) D(,0)(0,2) 5如图，函数( )f x的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则( )f x的解析式可 以是 A( )sin(2) 3 f xx B( )sin(4) 6 f xx C( )cos(2) 3 f xx D( )cos(4) 6 f xx 6记不等式组 0, 3, y yx ykx 所表示的平面区域为D“点( 1,1)D”是“1k ”的 A充分而不必要条件 B必要而不
3、充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A4 B2 C 8 3 D 4 3 8某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有 一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A5 B6 C7 D8 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 9双曲线 2 2 1 4 x y的右焦点到其一条渐近线的距离是
4、 10执行如图所示的程序框图，则输出的x值为 11在极坐标系中，直线cos1与圆4cos相交于,A B两点，则AB _ 12能说明“函数 ( )f x的图象在区间0,2上是一条连续不断的曲线若(0)(2)0ff ，则 ( )f x在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 13天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如 图 1 所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图 2所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环， 下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9块，从第二环起，每 正（主
5、）视图 俯视图 侧（左）视图 环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是_；上、中、 下三层坛所有的扇面形石块数是 14在平面内，点A是定点，动点CB,满足| |1ABAC，0AB AC，则集合 =+,12| P APABAC所表示的区域的面积是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题满分 13 分） 在ABC中，21a ，120A，ABC的面积等于3，且bc （）求b的值； （）求cos2B的值 16（本小题满分 13 分） 某部门在同一上班高峰
6、时段对甲、 乙两地铁站各随机抽取了 50名乘客， 统计其乘车 等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40 分钟）将统计数 据按5,10),10,15),15,20),35,40分组，制成频率分布直方图： 乘车等待乘车等待 时间时间（分钟分钟） 0.036 乙站乙站 O 40 0.048 0.008 0.016 0.052 O 40 5101520253035 频率频率/组距组距 0.048 0.012 0.028 0.036 0.012 0.040 甲站甲站 频率频率/组距组距 乘车等待乘车等待 时间时间（分钟分钟） 3530252015105 假设乘客乘车等待时间相互独
7、立 （）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取 1人，记为A；从乙站的乘客中 随机抽取 1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A,B乘车等待时间都小于 20分钟”的 概率； （）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取 3 人，X表示乘车等待时间小 于 20 分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望. 17（本小题满分 14 分） 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF 平面ABCD四边形ADEF为正方形，四 边形ABCD为梯形，且/AD BC，90BAD，1ABAD，3BC （）求证：AFCD； （）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值； （）线段BD上是否存在点M，
8、使得直线/CE平面AFM? 若存在，求 BM BD 的值；若不 存在，请说明理由 18（本小题满分 13 分） 已知函数 ln() ( ) ax f x x (Ra且0)a . （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （）当1a 时，求证：( )1f xx； （）讨论函数( )f x的极值 19（本小题满分 14 分） 已知点 00 (,)M xy为椭圆 2 2 :1 2 x Cy上任意一点，直线 00 :22l x xy y与圆 22 (1)6xy交于, A B两点，点F为椭圆C的左焦点 （）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； （）求证：直线l与椭圆C相切；
9、（）判断AFB是否为定值，并说明理由 20（本小题满分 13 分） 在无穷数列 n a中， 12 ,a a是给定的正整数， 21nnn aaa ，Nn * （）若 12 3,1aa，写出 910100 ,a aa的值； （）证明：数列 n a中存在值为0的项； （）证明：若 12 ,a a互质，则数列 n a中必有无穷多项为1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理）答案 20193 一、选择题：（本题满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A A C D B 二、填空题：（本题满分 30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 1 12 2
10、 3 2 (1)yx（答案不唯一） 243 3402 3 三、解答题：三、解答题：（本题满分 80 分） 15 (本小题满分 13分) 解：（）由已知得 222 1 =sin= 3, 2 ( 21) =2cos120 . SbcA bcbc 整理得 22 =4, =17. bc bc 解得 =1, =4 b c ， 或 =4, =1. b c 因为bc，所以1b.8 分 （）由正弦定理 sinsin ab AB ， 即 3 7 2 sin= 1421 B 所以 22 713 cos2 =1 2sin1 2() 1414 BB .13 分 16(本小题满分 13分) 解：（）设M表示事件“乘客A
11、乘车等待时间小于 20分钟”，N表示事件“乘客B 乘车等待时间小于 20 分钟”，C表示事件“乘客A,B乘车等待时间都小于 20分钟” 由题意知，乘客A乘车等待时间小于 20 分钟的频率为 0.0120.0400.048) 50.5(，故()P M的估计值为0.5 乘客B乘车等待时间小于 20 分钟的频率为 0.0160.0280.036) 50.4(，故()P N的估计值为0.4 又 121 ( )()()() 255 P CP MNP MP N=. 故事件C的概率为 1 5 .6 分 （）由（）可知，乙站乘客乘车等待时间小于 20分钟的频率为0.4， 所以乙站乘客乘车等待时间小于 20 分
12、钟的概率为 2 5 . 显然，X的可能取值为0,1,2,3且 2 (3, ) 5 X B. 所以 03 3 327 (0)( ) 5125 P XC； 12 3 2354 (1)( ) 55125 P XC； 22 3 2336 (2)( ) 55125 P XC； 33 3 28 (3)( ) 5125 P XC. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 26 3 55 EX .13分 17(本小题满分 14分) 解：解：（）证明：因为ADEF为正方形， 所以AFAD 又因为平面ADEF 平面ABCD， 且平面ADEF平面ABCD
13、AD， 所以AF 平面ABCD 所以AFCD4 分 （）由（）可知，AF 平面ABCD，所以AFAD，AFAB 因为90BAD，所以,AB AD AF两两垂直 分别以,AB AD AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 因为1ABAD，3BC ， 所以(0,0,0), (1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF， 所以( 1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BFDCDE 设平面CDE的一个法向量为( , , )x y zn， 则 0, 0. DC DE n n 即 20, 0. xy z 令2x，则1y ， 所以(2, 1,0)
14、n 设直线BF与平面CDE所成角为， 则 |2 ( 1)|10 sin|cos,| 552 BF n.9 分 （）设 (0 1) BM BD ， 设 111 ,M x y z，则 111 1,( 1,1,0)xy z， 所以 111 1,0xyz ，所以1, ,0M ， 所以1, ,0AM 设平面AFM的一个法向量为 000 (,)xy zm，则 0, 0. AM AF m m 因为0,0,1AF ，所以 00 0 (1)0, 0. xy z 令 0 x，则 0 1y，所以( ,1,0) m 在线段BD上存在点M，使得/CE平面AFM等价于存在0,1，使得0CEm 因为1, 2,1CE ，由0
15、CEm， 所以2(1)0 ， 解得 2 0,1 3 ， 所以线段BD上存在点M，使得/CE平面AFM，且 2 3 BM BD .14 分 18 (本小题满分 13分) 解：（）当1a 时， ln ( ) x f x x 所以 2 1 ln ( ) x fx x 因为(1)1,(1)0ff， 所以曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线方程为1yx.3 分 （）当1a 时， ln() ( ) x f x x 函数( )f x的定义域为(,0) 不等式( )1f xx成立 ln() 1 x x x 成立 2 ln()0xxx成立. 设 2 ( )ln()g xxxx(,0)x ， 则 2 121
16、( 21)(1) ( )21 xxxx g xx xxx 当x变化时，( )g x，( )g x变化情况如下表： x (, 1) 1 ( 1,0) ( )g x 0 ( )g x 极大值 所以( )( 1)g xg 因为( 1)0g ，所以( )0g x ， 所以 ln() 1 x x x .8 分 （）求导得 2 1 ln() ( ) ax fx x . 令( )0fx，因为0a可得 e x a 当0a时，( )f x的定义域为0,+.当x变化时，( )fx，( )f x变化情况如下表： x e (0,) a e a e (,) a ( )fx 0 ( )f x 极大值 此时( )f x有极
17、大值 e ( ) e a f a ，无极小值 当0a时，( )f x的定义域为,0，当x变化时，( )fx，( )f x变化情况如下表： x e (,) a e a e ( ,0) a ( )fx 0 ( )f x 极小值 此时( )f x有极小值 e ( ) e a f a ，无极大值.13 分 19 (本小题满分 14分) 解：（）由题意2a ，1b ， 22 1cab 所以离心率 2 2 c e a ， 左焦点( 1,0)F .4 分 （）当 0 0y 时直线l方程为2x 或2x ，直线l与椭圆C相切 当 0 0y 时，由 2 2 00 1, 2 22 x y x xy y 得 2222
18、 0000 (2)4440yxxx xy， 由题知， 2 20 0 1 2 x y，即 22 00 22xy， 所以 2222 0000 (4)4(2)(44)xyxy 22 00 162(1)xy = 22 00 16(22)0xy 故直线l与椭圆C相切.8 分 （）设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 当 0 0y 时， 12 xx， 12 yy ， 1 2x ， 22 11 (1)FA FBxy 22 11 (1)6(1)xx 2 1 240x， 所以FAFB，即90AFB 当 0 0y 时，由 22 00 (1)6, 22 xy x xy y 得 2222 0000 (
19、1)2(2)2 100yxyx xy， 则 2 00 12 2 0 2(2) 1 yx xx y ， 2 0 1 2 2 0 210 1 y x x y ， 2 00 121 212 222 000 1 () 42 xx y yx xxx yyy 2 00 2 0 544 22 xx y 因为 1122 (1,) (1,)FA FBxyxy 1 21212 1x xxxy y 2222 000000 22 00 4208422544 2222 yyxyxx yy 22 00 2 0 5(2)10 0 22 xy y 所以FAFB，即90AFB 故AFB为定值90 .14 分 20 (本小题满分
20、 13分) 解：(I) 910100 0,1,1aaa.3 分 (II)反证法：假设i,0. i a 由于 21nnn aaa ， 记 1,2 maxMa a.则 12 ,aM aM. 则 321 01aaaM， 432 01aaaM, 543 02aaaM， 654 02aaaM， 依次递推，有 765 03aaaM， 876 03aaaM， 则由数学归纳法易得 21 ,. k aMk k N 当kM时， 21 0, k a 与 21 0 k a 矛盾. 故存在i，使=0. i a 所以，数列 n a必在有限项后出现值为0的项.8 分 (III)首先证明：数列 n a中必有“1”项用反证法，
21、 假设数列 n a中没有“1”项，由(II)知，数列 n a中必有“0”项，设第一个“0”项是 m a (3)m ，令 1m ap ，1,ppN*，则必有 2m ap ， 于是，由 1233 | | mmmm paaapa ，则 3 2 m ap ，因此p是 3m a 的因数， 由 2344 | |2| mmmm paaapa ，则 4m ap 或3p，因此p是 4m a 的因数. 依次递推，可得p是 12 ,a a的因数，因为1p ，所以这与 12 ,a a互质矛盾所以，数列 n a 中必有“1”项 其次证明数列 n a中必有无穷多项为“1”. 假设数列 n a中的第一个“1”项是 k a，令 1k aq ，1,qqN*， 则 11 1 kkk aaaq ， 若 1k a 11q ，则数列中的项从 k a开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为 1； 若 1 1 1 k aq ，则 21321 2,1 kkkkkk aaaqaaa ， 若 2 21 k aq ，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为 1； 若 2 21 k aq ，则从 k a开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1qqqq， 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为 113 分
