1、1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时 符合题目要求的. 1、设集合 13, 24AxxBxx ，则AB （） . 23. 23. 14. 14A xxB xxC xxD xx
2、2、 2 12 i i （） .1.1 ABC iDi 3、6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙 场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（） 120. A种90.B种60.C种30.D种 4、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的 晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心 记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面 所成角， 点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点 A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬 度为北纬 40，则晷针与点A处的水平面所成角为（） .2
3、0.40.50.90ABCD 2 5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96的学生喜欢足球或游泳，60的学生喜欢足 球， 82的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例时 （） .62.56.46.42ABCD 6、 基本再生数 0 R与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的 平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模 型：( ) rt I te描述累计感染病例数 tI随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与 0 R， T近似满足 0 1RrT .有学者基于已有数据估计出 0 3.28,
4、6RT.据此，在新冠肺炎疫情初 始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ln20.69）（） .1.2.1.8.2.5.3.5 ABCD天天天天 7、已知P是边长为 2 的正六边形ABCDEF内的一点，则AP AB 的取值范围是（） .2,6.6,2.2,4.4,6ABCD 8、若定义在R上的奇函数 xf在0 ,单调递减，且 02 f，则满足(1) 0xf x 的x的取值 范围是（） .1,13,.3, 10,1.1,01,.1,01,3ABCD 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，有选错的得
5、0 分，部分选对的得 3 分. 9、已知曲线 22 :1C mxny.（） . A若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上 .B若0mn，则C是圆，其半径为n .C若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为 m yx n .D若0,0mn，则C是两条直线 3 10、右图是函数sin()yx的部分图象，则sin()x（） 5 .sin.sin2.cos 2.cos2 3366 AxBxCxDx 11、已知0,0ab，且1ab，则（） 22 22 11 2.loglog2.2 22 a b AabBCabDab 12、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 1,2，n，且 1 ()0
6、(1,2, ),1 n ii i P Xipinp ，定义X的信息熵 2 1 ()log n ii i H Xpp . . A若1n，则 0xH .B若2n，则 xH随着 i p的增大而增大 .C若 1 (1,2, ) i pin n ，则 xH随着n的增大而增大 .D若mn2， 随机变量Y的所有可能取值为 1,2， ，m， 且 21 () jmj P Yjpp (1,2,)jm 则()( )H XH Y 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13、斜率为3的直线过抛物线 2 :4C yx的焦点，且与C交于BA,两点，则AB. 14、将数列21n与32n的公共项从小到大
7、排列得到数列 n a，则 n a的前n项和 为. 15、 某中学开展劳动实习， 学生加工制作零件， 零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点， 四边形DEFG 为矩形，BCDG，垂足为C， 3 tan,/ /,12,2 5 ODCBHDGEFcm DEcm，A到直线 DE和EF的距离均为cm7，圆孔半径为cm1，则图中阴影部分的面积为 2 cm. 4 16、已知直四棱柱 1111 DCBAABCD 的棱长均为 2，60BAD ，以 1 D为球心，5为半径的 球面与侧面 11B BCC的交线长为. 四、解答题：本题共 6
8、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（10 分） 在3ac ，sin3,cA 3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问 题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问 题 ： 是 否 存 在ABC， 它 的 内 角CBA,的 对 边 分 别 为cba,， 且 sin3sin, 6 ABC ，？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18、（12 分） 已知公比大于 1 的等比数列 n a满足 243 20,8aaa. （1）求 n a的通项公式； （2）记 m b为 n a在区间 * (0,mmN中的项的个数，求数列
9、m b的前 100 项和 100 S. 19、（12 分） 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的5 . 2PM和 2 SO浓度（单位： 3 /mg），得下表： PM2.5 SO2 50, 0150,50475,150 35, 032184 5 75,356812 115,753710 （1）估计事件“该市一天空气中5 . 2PM浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： PM2.5 SO2 150, 0475,150 75, 0 115,75 （3）根据（2）中的列联表，判断
10、是否有 99的把握认为该市一天空气中5 . 2PM浓度与 2 SO浓度有关？ 附： 2 2 2 0.0500.0100.001 () , 3.8416.63510.828()()()() Pk n adbc K ab cd a K c bdk 20、（12 分） 如图， 四棱锥ABCDP的底面为正方形，PD底面ABCD. 设平面PAD与平面PBC的交线为l. （1）证明：l平面PDC； （2）已知1 ADPD，Q为l上的点，求PB与平面QCD所 成角的正弦值的最大值. 6 21、（12 分） 已知函数 axaexf x lnln 1 . （1）当ea 时，求曲线 xfy 在点 1, 1 f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 1xf，求a的取值范围. 22、（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(2,1)A. （1）求C的方程； （2）点NM,在C上，且,AMAN ADMN D为垂足.证明：存在定点Q，使得DQ为 定值.
