1、1处理激光问题三个层次的理论处理激光问题三个层次的理论1速率方程理论速率方程理论2半经典理论半经典理论3全量子理论全量子理论12全量子力学方程全量子力学方程半经典方程半经典方程速率方程速率方程对泵浦和弛豫过程取平均对泵浦和弛豫过程取平均忽略掉所有的相位关系忽略掉所有的相位关系用来研究激光线宽、强度的起伏用来研究激光线宽、强度的起伏、相干性、光子统计等、相干性、光子统计等用来研究阈值条件、输出功率等用来研究阈值条件、输出功率等(连连续运转、脉冲运转、调续运转、脉冲运转、调Q激光器激光器)用来研究频率牵引和推斥、粒用来研究频率牵引和推斥、粒子数的脉动、相位锁定、超短子数的脉动、相位锁定、超短脉冲、
2、相干光学瞬态过程等脉冲、相干光学瞬态过程等三个层次理论之间的关系三个层次理论之间的关系 210.110.1 量子力学的三种图象量子力学的三种图象 对同一个物理内容，可以存在多种不同的数学描述方式，这些不同的描述方式是完全等价的。量子力学对微观系统状态及其运动规律存在三种等价的描述方式，称之为图像(picture)，或表象，或绘景，它们是：1Schrdinger图像2Heisenberg图像3相互作用(Interaction)图像34在量子力学中，可观测量不是力学量算符和态矢本身，而是力学量的平均值及其概率分布，它们是随时间演化的。如果把力学量平均值和概率分布随时间的演化，全都归之为态矢随时间的
3、演化，而力学量算符不随时间演化，这种描述方式就是Schrdinger图像；反之，全都归之为力学量算符随时间的演化而态矢保持不变，得到Heisenberg图像；部分归之为态矢变化，部分归之为算符变化，则是相互作用图像。4510.1.1 Schrdinger图像图像i()().)(1 1tHtt在该图像中，体系的状态矢量|(t)是随时间t演化的，其演化的方式遵守Schrdinger方程而力学量算符 不随时间演化：。力学量平均值随时间的演化由态矢来承载：Fdd0Ft()()()F tFtFt56令1100()(,)()(1.2)tU t tt其中算符 把t0时刻的态|(t0)变换成t1时刻的态|(t
4、1)，称为时间演化算符，它代表一个连续变换（t0和t1任意），把态矢随时间变化而变化用一个变换算符的作用来体现。10(,)U t t67由于概率守恒=，且 0011010100()()()()()(,)(,)()tttttUt t U t tt1010(,)(,)1Ut t U t t故由于Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的(1.8)式，可以进一步给出1010101011010(,)(,)(,)(,)1(,)(),(1.3)Ut t U t tU t t Ut tUt tUt t78000000110010011011001100()(,)()(,)1 ()(,)()()(,)()
5、(,)(1,)(,)(,)(.4)(1.)5)tU t ttU t ttU t tttU t ttU t tUt tU t t U t tt时间演化算符还满足以下性质满足(1.3)式的算符成为幺正算符，它所代表的的变换称为幺正变换（正交变换可看作是一种特殊的幺正变换）8911002211211002200()(,)()()(,)()(,)(,)()()(,)()tU t tttU t ttU t t U t tttU t tt下面令t1=t，t0=0，且采用简写()()(0)tU t10(,)(,0)()U t tU tU t把由202110(,)(,)(,()1.)6 U t tU t t
6、U t t有910代入Schrdinger方程，有 i()(0)()(0)U tHU tt由于|(0)是任意的，故 i()()(1.7 )U ttHU t 代表能量算符的Hamiltonian算符不显含t，(1.7)式有以下形式解1010(1.8)(,)exp i()()(,0)exp(i)U t tH ttU tU tHt101110.1.2 Heisenberg图像图像在下面，Schrdinger图像和Heisenberg图像下的态矢和力学量算符分别带有上标S和H。在Heisenberg图像中，力学量平均值随时间的演化，完全归之于力学量算符随时间的演化，而态矢保持不变。对于力学量平均值，有
7、()()()(0)()()(0)()SSSSSSSHHHF tFtFtUt F U tFt111211(0)()()()()()()()(1.9)HSSHSSUttFtUt F U tUt F U t其中分别是Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。不显含时间的Hamiltonian算符，在两种图像下是相等的，这是因为Hamiltonian算符与时间演化算符是对易的。()(1.10)HSSHUt H U tHH1213因此，对Schrdinger图像下的态矢和力学量算符，利用演化算符进行幺正变换，可以得到Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。这种幺正变换不改变态矢内积和力学量平均
8、值，不改变算符之间的对易关系，因此不改变物理内容，两种图像等价。假设力学量算符不显含t，即0SFt 利用(1.9)式，有 dd()()HSSFtUt F UU FUt 1314我们有i,iSSUtH UUtU H 利用(1.7)式，即 1 dd()i (1 i)(1 i)(1 i),HSSSSSSSSHHHHHHSUUHHHFtU H F UU F H UU F UU H UU H UU F UF HH FFH 1415(1d1(),.11 )diHHFtFHt总之，在Heisenberg图像中，态矢不随时间演化，而力学量算符是随时间演化的，其演化的方式遵守Heisenberg方程。于是，我们
9、得到在Heisenberg图像下，力学量算符随时间演化的Heisenberg方程。1516当一个量子系统的Hamiltonian算符可以分解成两部分：10.1.3 10.1.3 相互作用图像相互作用图像0(1.12 )SSSHHH其主要部分 不含时间（通常是自由部分），而微扰部分 只对系统产生较小的影响（通常是相互作用部分），这时就可以采用相互作用图像。相互作用图像下的态矢和算符（带上标I），可由Schrdinger图像下的态矢和算符作如下幺正变换得到：0SHSH16170010100()exp(i)()()()(1.13)()()()SISISU tH ttUttFtUt F U t其中的幺
10、正变换算符 是由Hamiltonian算符的主要部分来定义的时间演化算符，它同样满足前面给出的演化算符的一切性质。由(1.13)式中的第一式有0()Ut000i()()(1.14)SU ttH U t 171800expi()expi()(0)exp(i)(0)ISSSSSSH ttHH tH t000000,0,0exp(i)exp(i)expi()SSSSSSSSSHHHHHHHH tHtHH t如果Hamiltonian算符的主要部分和微扰部分对易，即有则相互作用图像下的态矢又可以表达为1819利用(1.13)(1.15)式以及Schrdinger方程0i()()()SSSStHHtt不
11、难验证，在相互作用图像下，态矢和算符分别满足以下方程（算符不显含时间）：由定义(1.13)，相互作用图像下Hamiltonian算符的微扰项与自由项分别为100100000()()()()(1.15)ISISSHUt H U tHUt H U tH19200i()()d1()(),di(1.16)IIIIIItHttFtFtHt因此，在相互作用图像下，态矢和算符都随时间演化，其中态矢的演化遵从Schrdinger方程，且由Hamiltonian算符中的相互作用项（微扰项）推动；算符的演化遵从Heisenberg方程，且由Hamiltonian算符中的自由项推动2021以上三种图像是对同一物理内
12、容的不同描述方式，在物理本质上是相互等价的。例如，在三种图像中，算符之间的对易关系不会变，算符的平均值不会变，态矢之间的内积不会变，测不准关系不会变，等等。如果对未微扰系统（）已经有充分了解，加上微扰 之后，取相互作用图像是合适的，此时算符的运动方程由未微扰系统的Heisenberg方程来描述，它的解是熟悉的、已知的，而态矢量的运动方程只含一个影响较小的微扰算符，便于近似求解。0SSHHSH212210.2 辐射场与原子的相互作用辐射场与原子的相互作用10.2.1 Schrdinger图像下的图像下的HamiltonianHamiltonian算符算符EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二
13、能级原子构成的系统单模辐射场与二能级原子构成的系统考虑由光场和原子共同组成的系统，其中原子是二能级的，上下能级本征态分别是|a和|b，分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b。2223上下能级的本征态矢量|a和|b满足正交归一和完备性关系，例如=1,=0。在以|a和|b作为基矢量的表象下，|a=1|a+0|b，|b=0|a+1|b。将一个矢量用基矢量展开时，展开系数即是该矢量的坐标，由坐标构成的列矩阵，就是矢量的矩阵表示。因此|a和|b在其自身表象下的矩阵表示为10,0(.1)12ab 23241.上升算符和下降算符上升算符和下降算符定义上升算符 和下降算符 如下：2201,()0 00 00(2
14、,.2()0 1)0abba,0 ,0(2.3)baaabb2425即上升算符 把下能级本征态|b变为上能级本征态|a，下降算符 则把上能级本征态|a变为下能级本征态|b。显然上升算符和下降算符互为复共轭转置，即互为厄米共轭。利用 和态矢的正交归一性，易证 ,aabb ,(2.4,)2526在原子的量子力学状态|=Ca|a+Cb|b下，上升算符和下降算符的平均值与原子的密度矩阵元对应(书上pp.106-107)：(2.5)abbaabababC CbaC C262.系统的系统的HamiltonianHamiltonian算符算符由单模光场和二能级原子组成的系统，其总的Hamiltonian算符
15、包括自由光场的贡献(带下标f)、纯原子的贡献(带下标a)，以及光场与原子之间的相互作用的贡献(带下标af，相互作用采用电偶极矩近似)，即有faaf (2.6)HHHH假设单模光场的频率为，二能级原子上下能级本征态分别是|a和|b，分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b，则有2728faaf(1 2)(,)(7)2.,abHa aHHez teRE z t R E其中原子的Hamiltonian算符在它自身的表象下，还可以表达为a(2.80)0ababHaabb2829显然有以下本征方程aa,(2.9)abHaaHbb考虑到原子的固有电偶极矩(平均)为零，即=0a eR ab eR b故光场与原子
16、之间相互作用项 对应的矩阵为af0(,)0a eR bHE z tb eR aaf(,)HeRE z t 2930af0(,)(,)(2.100)abbaD E z tHD E z t 即其中0()(2.11,)sin()abbaDDa eR bDE z tEkz aa定义光场与原子之间的耦合系数g为0()sin 2(.12)gDEkz 3031于是af000(,)(,)001sin()1001(),(sin)10abbaD E z tHD E z tDEkz aaDEg aagkz 3132于是相互作用项又可以表达成af()()Hg aa考虑到上升算符和下降算符满足0110即af ()Hg
17、aaaa3233在上面相互作用包含的四项中 表示原子从上能级跃迁到下能级，同时吸收光场的一个光子；表示原子从下能级跃迁到上能级，同时吸收光场的一个光子；表示原子从上能级跃迁到下能级，同时光场增加一个光子；表示原子从下能级跃迁到上能级，同时光场增加一个光子。a a a a3334我们考虑的是由光场和原子构成的孤立系统，无外界作用，为了满足能量守恒，相互作用项只能取为：af(2.13)(Hg aa综上所述，在全量子化理论下，由光场和原子构成的系统的总能量算符为(1 2)()(2.14)abHa ag aa 343510.2.2 相互作用图像下的相互作用能相互作用图像下的相互作用能在上面得到的由光场
18、和原子构成的系统的总哈密顿算符中，前两项对应系统的自由项（定态哈密顿算符），第三项对应相互作用项（微扰项），即有0af0af (1 2)(2.15)()abHHHHa aHg aa 3536因此，采用相互作用图象时，变换算符为00()exp(i)(2.16 i(1 2)expabU tH tta a 10100()()()()(1.13)ISISUttFtUt F U t前面已经讲过，相互作用图象下的态矢和算符可由(1.13)式得到3637我们考虑的系统其状态由光场状态和原子状态共同决定（光场状态用单模光子数态|n描述，原子状态用上下能级本征态|a和|b描述）。态矢对应概率振幅，根据同时发生事
19、件的概率相乘原理，可以用|a,n|a|n表示原子处于上能级而光场光子数为n的本征态，而用|b,n+1|b|n+1表示原子处于下能级而光场光子数为(n+1)的本征态，显然00,(1 2),1(1)1(2.2,1)17abHa nna nHb nnb n3738,1(2()(),(),1 .18)Ia nb ntCt a nCt b n其中展开系数Ca,n(t)和Cb,n+1(t)假定为时间的缓变函数。相互作用图像下的相互作用能为1af0af0afaf()()()2.1 (9)ISSHtUt H U tHHg aa在相互作用图像下，利用系统定态哈密顿算符 的两个本征态|a,n和|b,n+1，可把系
20、统的一般态矢表示为0H3839把(2.16)式代入(2.19)式，可得书上p.188的(10.2.29)式(作业：由(10.2.22)式推出证明(10.2.29)式），即下面的(2.20)式00afi()i()()(2.20)eeIttHtg aa 其中，0为二能级原子的共振跃迁频率：0 (2.21)ab为便于推导，可对(2.19)的第二式取它的原始表达式，再去掉不满足能量守恒的项。afaf()()SHHg aa394010.3 原子发射和吸收的跃迁几率原子发射和吸收的跃迁几率EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统单模辐射场与二能级原子构成的系统0=(Ea-Eb)/=a-
21、b|n|n+14041对于由单模辐射场与一个二能级原子构成的相互作用系统，上节里，我们已经在相互作用图像下，给出了系统态矢的表达式(2.18)和系统Hamiltonian算符中的相互作用项表达式(2.20)，即有（假定光场的初始光子数为n或者(n+1)）00afi()i()()(2.20)eeIttHtg aa ,1(2()(),(),1 .18)Ia nb ntCt a nCt b n0 (2.21)ab10.3.1 系统状态随时间演化的方程系统状态随时间演化的方程4142在相互作用图像下，系统态矢随时间的演化，是由系统总能量算符中的相互作用项推动的，即有以下方程afi()(3.1()III
22、tHtt将(2.18)、(2.20)和(2.21)式代入上式，再利用定态能量算符本征态的正交归一关系，可以求得（书上p.189方程(10.3.5)和(10.3.6)）。4243,0,1,10,()i1exp i()()()i1expi()()(3.2)a nb nb na nCtg nt CttCtg nt Ctt 上面的方程，就是系统处于态|a,n和|b,n+1 的几率振幅随时间变化的方程。10.3.2 状态演化方程的几种解状态演化方程的几种解使用迭代法求出Ca,n(t)和Cb,n+1(t)的各阶近似解，也可以求出它们的强信号解，从而确定系统处于态|a,n和|b,n+1上的几率。43441.
23、受激吸收几率受激吸收几率假定系统在初始t=0时刻处在|b,n+1 的状态,1,1(0)(0),(0),1 ,1(0)0,(0)1Ia nb na nb nCa nCb nb nCC即初始时刻系统中的原子处于下能级而光场有(n+1)个光子。在t0时刻，由于光场与原子之间的相互作用，原子有一定的几率跃迁到上能级而光场相应减少一个光子，即代表该过程的几率振幅Ca,n(t)0 for t0.4445为了具体地求出t0时的几率振幅Ca,n(t)，对(3.2)式的第一式积分，取一阶微扰近似，有,100(1)0,0,1()1()i1d()exp i()exp i()1()1ta nb na nb nCtCt
24、g nt CtttCtg n (一阶近似)系统从|b,n+1 态跃迁到|a,n态的几率为22(1)20,20sin()2()4(3.1)3()a ntCtgn4546系统受激吸收的几率正比于光场的初始光子数(n+1)，因此若初始光子数为零，原子就不会从下能级跃迁到上能级共振吸收时，=0，几率最大。2.受激发射几率和自发发射几率受激发射几率和自发发射几率假定系统在初始t=0时刻处在|a,n 的状态，即原子处于上能级而光场有n个光子的状态,1(0),(0)1,(0)0Ia nb na nCC同理，对(3.2)式的第二式积分，且取一阶微扰近似，有4647,1,00(1)0,10,()1()i1d()
25、expi()1 expi()()1tb na nb na nCtCtg nt CtttCtg n(一阶近似)系统从|a,n 态跃迁到|b,n+1态的几率为22(1)20,20sin()2()4(3.1)4()a ntCtgn由于初始光场的光子数为n，故上式右端可分为跟初始光场中n个光子相关的部分和跟n个光子无关的部分，即474822(1)20,2st022(1)20,2sp0sin()2()4()sin()2()4(3.5)a na ntCtg ntCtg(3.5)中第一式与初始光场的光子数n成正比，是n个光子诱发的受激发射(stimulated emission)几率，n=0时该几率为0；第
26、二式跟初始光场的光子数无关，即使初始光场处于光子数为0的真空态，该项仍然存在，故属于自发发射(spontaneous emission)几率。4849初始光场的光子数相同的情况下，同一系统的受激发射几率与受激吸收几率相同，都是正比于初始光场的光子数自发发射几率等于一个光子引发的受激发射几率。自发发射在全量子理论中完全是自然出现的，这是因为量子场存在真空起伏，从而存在零点能，零点能对处于上能级的原子产生干扰，使其产生向下能级的跃迁，这个过程中能量守恒（反之不存在“自发吸收”过程，因为违背能量守恒）。而经典电磁场不存在零点能，不能自然地解释自发发射共振发射时，=0，所有跃迁过程几率最大。49503
27、.自发发射自发发射(3.5)式的第二式表达的是一个模式上的自发发射几率。所有模式（频率）上总的自发发射几率，等于对各个模式上的自发发射几率求和（频率连续分布时，对应连续求和，即积分）。体积V内从频率(+d)之间的光频范围内的模式数为（已考虑到两种偏振状态）3232332d4dddd()2(2)kkkkcVkVNc 5051所有模式上总的自发发射几率为2(1)sp,total,sp222 202230222002320002()d()sin()2d()2sin()22d()2()2a ntPCtNtVg ttctVg ttct5152令x=(-0)t/2，考虑到被积函数中(sinx/x)2是一个
28、在x=0(即=0)附近的尖峰函数，且被积函数在0的区域上积分贡献近似为零，因此对被积函数中的2项取近共振近似=0并提出积分号之外。考虑到上式第三个等号右端积分的下限通常满足-0t/2|a增益增益损耗损耗线性损耗线性损耗，近似到，近似到二级微扰二级微扰激光器的全量子理论模型激光器的全量子理论模型6768假设原子与辐射场在t=t0时刻开始发生耦合，由原子和辐射场构成的系统的密度算符，满足Schrdinger图像下的运动方程：10.5.1 场与物质密度算符的运动方程场与物质密度算符的运动方程afafi dd,SSStH其中在Schrdinger图像下，原子与辐射场构成的系统其总Hamiltonian
29、算符满足(2.12)式，即0afaf0 ,()(1 2)SSSSSabHHHHg aaHa a 6869将Schrdinger图像下的密度算符方程变换到相互作用图象下的密度算符方程，有afafafdi,(5.1)dIIIHt其中相互作用图像下的相互作用能量算符由(2.16)给出，即为00afi()i()()eeIttHtg aa 其中是光场频率，0=a-b是原子的中心频率，a和b对应原子的上下能级能量。6970afaf0af1af11af1af0af2af220101()()(),()di1()()()(,()di5.2)IIIIIIIIttttttHtttttHttt对(5.1)式两边从初始
30、时刻t=t0开始进行关于时间的积分，便得到以下递推关系例如，把(5.2)式的第二式代入第一式右边，得1afaf0af1af01af1af2af22120001()()(),()di1 (),(),()d d(i)IIIIIIIttttttttHtttHtHtttt 7071这个过程可以重复进行下去，得到1afaf0af1af012af1af2af021af1af2af3af0321300012000()()(1 i)(),()d(1 i)(),(),()d d1(),(),(),()d d d(i).IIIIIIIIIIIttttttttttttttHtttHtHttttHtHtHttttt
31、这称作“微扰级数展开”，因为只有相互作用能足够小，相当于在系统上附加的一个“微扰”时，展开的无穷级数才收敛。此种求解方法只适用于微扰情形，故被称为“微扰方法”。7172对于以上微扰展开，令（为方便去掉上标I）：(0)(1)(2)afafafaf()()()()(.5.).3tttt其中 称为第n级微扰（n=0,1,2)，且有()afn(0)(0)(0)afaf0af1af2af0(1)(0)afaf1af11(1)()afaf1af1100()()(),(),.()1()(),()di.1()(),()d,0,1,(5.4)2.innttttttttttHttttHtttn7273利用密度算符
32、，可以把力学量算符的平均值表达如下（其中tr代表求迹运算）10.5.2 辐射场的约化密度矩阵辐射场的约化密度矩阵tr()MM考虑原子辐射场总系统的密度算符，设场的能量本征态为|fn，原子的能量本征态为|am，则体系总能量本征态为这两个态矢的并矢式：|am,fn|am|fn。以|am,fn 为基矢组，则一个只与场相关的算符平均值为7374其中注意到与场相关的算符只作用于场的本征态，因而可以与原子的本征态互换位置。定义总系统的约化密度算符为fafaffaffafffaafftr()()()tr tr()jiijjijiijjiMMfaMaffaaMfMfafaaftr(5)5.iiiaaffff(
33、5.6tr )MM7475因此，当只计算与场相关的算符平均值时，可以先把总密度算符对原子变量求迹，得到仅与场相关的约化密度算符，使得计算简化（形式上跟只有场存在时的计算是一样的）。若光场和原子两个系统独立，则总系统的密度算符，等于两个系统各自的密度算符之积：afaf 此时上述约化密度算符，就等于光场的密度算符。faafaf tr()tr()注：如果让总密度算符对应经典概论统计中的联合分布，则约化密度算符对应边缘分布。75下面只考虑共振场情形（即=0=a-b）。前面已经表明，在二能级原子的能量本征态|a、|b下，利用上升和下降算符，可把相互作用能表达为（共振时它在相互作用图像下和在Schrdin
34、ger图像下的表达式是一样的，下面符号表达上已经去掉上标I）10.5.3 总密度算符的求解总密度算符的求解af0(7 5.0)aHg aaga7677原子的一般状态|用它的能量本征态|a和|b展开为原子的密度算符为22(),11010,0101aababbCtCaC bCCCaabbab 2a2aabaabbbabCC CCCCCC CC7778增益原子初始时刻处于上能级，即有|(t0)=|a，因此初始时刻的密度算符为a0110()1(5.8)0 000taa 于是初始时刻场与原子整体系统的密度算符为f0af0f0a0()0(5.9()()()00tttt7879于是把(5.7)和(5.9)式
35、代入(5.4)式，可以求出各级近似。首先一级近似为(1)afaf1af1f001f00f0001()(),di0()0i,d000(0()i()(5.10)()0tttttHttatgtat ag ttatt 7980(2)(1)fafa1fa112f0f00f001()(),()d i()()0 i()2!02(5.11()tttHtttaatt aag ttat a再把求得的上式(5.10)和(5.9)式继续代入(5.4)式，可以求出二级近似同理，可以给出三级和四级近似，见书上p.196，方程(10.5.15)和(10.5.16)。可看出偶次近似的非对角元为零，奇次近似的对角元为零。以上都
36、是在原子能量本征态下的矩阵表示。8081实例：对于初始时刻t0泵浦到上能级|a的激活原子,假定它的寿命为，即平均来说大约经过时间之后，原子跃迁到下能级|b，并发射一个光子到辐射场中，使得原来的辐射场获得了增益。由于辐射场的密度算符（对应原子辐射场总系统的约化密度算符）描述了光子数占有概率，因此在时间内该密度算符的变化反映了辐射场的增益贡献。从t=t0到t=t0+时刻，增益使得辐射场密度算符的增量fGaaf0af0(5(.1)tr()()2)tt81824()af0af00(0)af0af0()()()()iitttt其中对原子辐射场系统的总密度算符，计算近似到四级（考虑增益饱和非线性），即取于
37、是把上式代入(5.12)式，得4()fGaaf01()tr()iit8283最后一式中的 （t=t0+）由书上p.196方程(10.5.16)给出。2244fG000f0f0f044(4)0aaf0()(1 2)()(1 24)()()()()2()()(5.13)24)tr()gX tgY tX taatt aaat aY tgt 把书上p.196方程(10.5.13)(10.5.16)代入上式，可得从t=t0到t=t0+时刻，增益使得辐射场密度算符的增量为(4)af()t8384反之，对于库中的损耗原子，它们在初始时刻t0处于下能级|b，即初始时刻原子辐射场系统的总密度算符为af0f0a0
38、f0f000()()()()0()(5.14)ttttbbt考虑损耗原子很多时的非饱和吸收，计算中只取二级线性近似，同理，从t=t0到t=t0+时刻，损耗原子使得辐射场的密度算符（总系统的约化密度算符）变化为22fLaaf0af000f0f0f0()tr()()(1 2)()()()()2()(5.15)ttgZ tZ ta att a aat a 8485(5.13)和(5.15)两式分别代表了一个增益原子和一个损耗原子所带来的对辐射场的密度算符（即原子辐射场总系统的约化密度算符）的贡献22fLaaf0af000f0f0f0()tr()()(1 2)()()()()2()(5.15)ttgZ
39、 tZ ta att a aat a 2244fG000f0f0f044(4)0af0()(1 2)()(1 24)()()()()2()()(24(5)tr()1.3)agX tgY tX taatt aaat aY tgt 858610.5.4 相互作用图像下约化密度算符的运动方程相互作用图像下约化密度算符的运动方程(5.13)和(5.15)式分别代表了一个增益原子和一个损耗原子所带来的对辐射场的密度算符的贡献，现在研究存在大量增益原子和损耗原子的情形下该密度算符的运动方程。假设a和b分别代表单位时间内注入到相互作用区域中的增益原子和损耗原子数量。由于大量原子的平均作用，可以认为在t0t0
40、+这段时间间隔内，场的变化是很小的，从而取近似f0f0()()for(5.1)6ttttt 8687令f表示辐射场开始出现明显变化的时间，则在时间间隔tf内，原子辐射场系统的约化密度算符（纯辐射场的密度算符）的平均变化率，等于增益原子与损耗原子的贡献之和fGfLfffGfL()()d()()d ()()ababttttttt 将(5.13)和(5.15)式代入上式右边，并且利用(5.16)式的近似，可得8788f224422dd()2()2()2(5.17),3,aabtAX tBY tCZ tAgBgCg讨论：以上计算是基于(5.16)式的“粗粒化近似”(coarse-grained app
41、roximation)，即假定在时间间隔t内辐射场基本不变化，而辐射场随时间变化的微分，对应它在时间间隔t表示单模辐射场的态矢，|n(n=0,1,2)表示辐射场的粒子数本征态，辐射场的密度算符（原子辐射场系统的约化密度算符）及其在粒子数表象下的矩阵表示为（为方便计，把下标f去掉）f,(5.18)nnmnmnF nmnF F显然nn代表光场有n个光子的概率8990密度矩阵元随时间的变化为dd dd(5.19)mnmntt把(5.17)式代入上式右边，并且利用(5.13)和(5.15)，以及1,111,11a nn nannnn annn ann9091得到场的密度矩阵元的运动方程1,1221,1
42、1,1d(2)2d2(1)6(1)(1)(1)84()()2(1)(1)52.20)mnmnmnmnmnmnmnAmnmntBmmnnmnmnCmnmn 9192对角元nn代表辐射场中有n个光子的概率，对上面(5.20)式令m=n，得到对角元nn随时间的变化为1,1221,11,1d(1)d (5.21(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnA nntB nnC nn 以上给出的是微扰近似解。严格的解析解，即非微扰的强信号解，前人也已经给出，即92931,11,1d(1)d1(1)1(5.22)(1)nnnnnnnnnnnAnAtnB AnB ACnC n 当nB/A1时，对(5.22)式取近
43、似则(5.22)式变成(5.21)式。在下一节中我们将知道，条件nB/A上的几率变化，它可以重新表达为21,11,121,1dd(5.(1)(1)(1)23)nnnnnnnnnnnnnnAnBnCntA nB nC n21,11,121,1d(1)(1)d(5.23)(1)nnnnnnnnnnnnnnAnB nC ntA nBnCn或9495由于nn代表场处于态|n上的几率，(5.23)式右边的正数项，让场处于态|n的几率增加，表示光场由其他态向态|n跃迁的过程；负数项让场处于态|n的几率减小，表示光场由态|n向其他态跃迁的过程。a和b分别代表单位时间内注入的增益原子和损耗原子数量，由(5.1
44、7)式知A,Ba,Cb，故含系数A、B的项跟增益原子数成正比，含系数C的项与损耗原子数成正比。有了这些准备，我们来分析(5.23)或(5.23)式右边各项的物理意义。95969697系数A跟单位时间内注入的增益原子数a成正比，(5.23)式第1项和第4项表示在场的作用下，增益原子对场的线性增益作用，其中第1项表示处于态|n-1的光场，由于增益原子受激发射而跃迁到态|n，使得场处于态|n的几率nn增加(故第1项为正)，此贡献与场处于初态|n-1的几率n-1,n-1成正比，这是因为增益原子受激发射几率与外场光子数成正比；21,11,121,1d(1)(1)d(5.23)(1)nnnnnnnnnnn
45、nnnAnB nC ntA nBnCn9798第4项表示处于态|n的光场，由于增益原子受激发射而跃迁到态|n+1，使得场处于初态|n的几率nn减小(故第4项为负)，此贡献与场处于初态|n的几率nn成正比，这是因为原子受激发射几率与外场光子数成正比。n=0时，第4项不等于零，表示处于真空态|0的场，由于增益原子自发发射而跃迁到态|1，因此系数A是与自发发射有关的量。21,11,121,1d(1)(1)d(5.23)(1)nnnnnnnnnnnnnnAnB nC ntA nBnCn9899系数B跟A一样，与增益原子数a成正比，但是跟含A的线性增益项相反，(5.23)式中含系数B的项是非线性损耗项（
46、跟粒子数平方成正比），这是由原子增益饱和造成的非线性效应。接近增益饱和时，原来处于上能级的增益原子，纷纷跃迁为处于下能级的损耗原子，所以非线性损耗与初始的增益原子数成正比。故系数B反映原子的增益饱和性质。21,11,121,1d(1)(1)d(5.23)(1)nnnnnnnnnnnnnnAnB nC ntA nBnCn99100系数C跟单位时间内注入的损耗原子数b成正比，(5.23)式第3项和第6项表示在场的作用下，损耗原子对场的线性损耗作用，其中第3项表示处于态|n+1的光场，由于损耗原子受激吸收而跃迁到态|n，使得场处于态|n的几率nn增加(故第3项为正)，此贡献与场处于初态|n+1的几率
47、n+1,n+1成正比，这是因为损耗原子受激吸收几率与外场光子数成正比；21,11,121,1d(1)(1)d(5.23)(1)nnnnnnnnnnnnnnAnB nC ntA nBnCn100101第6项表示处于态|n的光场，由于损耗原子受激吸收而跃迁到态|n-1，使得场处于态|n的几率nn减小(故第6项为负)，此贡献与场处于初态|n的几率nn成正比，这是因为损耗原子受激吸收几率与外场光子数成正比。n=0时第6项为0，即处于真空态|0的光场，其零点能不足以引起损耗原子的“自发吸收”。21,11,121,1d(1)(1)d(5.23)(1)nnnnnnnnnnnnnnAnB nC ntA nBn
48、Cn101102辐射场的平均光子数及其随时间的变化为(5.24)(5.,dd dd25)lnnnnnnlnnnnnntntnn把(5.23)式代入(5.25)式右端，并利用(5.24)式，可得2d()21dnACnAB nnt102103在激光器中，当泵浦速率超过阀值时，腔内光子数急剧增加，使得远大于，于是上式可简化为2(5.26d()d)nACnAB nt由于光强In与平均光子数成正比，上式可与半经典理论中得到的单模场运动方程相比较2d2()22 d(5.27)nnnnnnnnnIIIIIt103104即有22dd()dd 2 2 nnnnnntACnB nAItII可见，(A-C)与线性净
49、时间增益系数n对应，B与自饱和系数n对应，同时平均光子数运动方程比单模场运动方程多出一项正常数项A，使得=0时，腔内光子数仍然可以随时间增加而增加，即腔内辐射场可以从光子数为零的场建立起来，这是自发发射导致的，故常数A与自发发射相关。因此全量子理论能够揭示激光器的自激振荡性质。10410510.6 激光的光子统计激光的光子统计本节将讨论激光场在阀值以下和阀值以上时的光子统计规律，揭示激光振荡时辐射场从热辐射场演变为相干辐射场的过程与性质型10510621,11,121,1dd(5.(1)(1)(1)23)nnnnnnnnnnnnnnAnBnCntA nB nC n在(5.23)式中，前三项是场
50、在态|n-1和|n之间跃迁，后三项是场在态|n+1和|n之间跃迁，它们共同决定了场处于态|n上的几率nn随时间的变化率。在稳态震荡的条件下，nn保持不变：dnn/dt=0(光场的平均光子数保持不变)，此时场在态|n-1和|n之间以及在态|n+1和|n之间的跃迁，分别处于动态平衡状态，从而有10610721,11,121,10(1)(1)(1)0(6.1)nnnnnnnnnnnnAnBnCnA nB nC n对(6.1)式中的第一个方程作变换(nn+1)则得到第二个方程，因此(6.1)式中的两个方程其实对应同一个方程，它们都是反映光场在两个相邻能态之间的几率流量为0。从中得到以下递推关系1,1(
