1、章末优化总结 网络 体系构建 专题 归纳整合 章末检测 专题一专题一 两个计数原理及其应用两个计数原理及其应用 (1)应用分类加法计数原理，应准确进行应用分类加法计数原理，应准确进行“分类分类”，明确分类的标准：每一种方法必，明确分类的标准：每一种方法必 属于某一类属于某一类(不漏不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重不重)，每一类中的每一种，每一类中的每一种 方法都能独立地方法都能独立地“完成这件事情完成这件事情” (2)应用分步乘法计数原理，应准确理解应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步分步”的含义，完成这件事情，需要分成的含义，完成这件事情，需
2、要分成 若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成 (3)利用两个计数原理解决问题的关键是区别利用两个计数原理解决问题的关键是区别“分类分类”与与“分步分步”，解题时两个原理，解题时两个原理 经常交叉在一起使用经常交叉在一起使用 从从1、0、1、2、3 中选三个中选三个(不重复不重复)数字组成二次函数数字组成二次函数 yax2bx c 的系数的系数 (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条？开口向上且不过原点的不同抛物线有几条？ (2)与与 x 轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与与
3、x 轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条？轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条？ 解析解析 (1)a0 且且 c0，共有，共有 C1 3C 1 3C 1 3 27(条条) (2)只需只需 ac0，故，故 a，c 中必须有一个为中必须有一个为1，共有，共有 A1 3A 1 3A 2 2 18(条条) (3)可分为三类：第一类与可分为三类：第一类与 x 轴正、负半轴均有交点的直线共有轴正、负半轴均有交点的直线共有 18 条；第二类过原点条；第二类过原点 且与且与 x 轴负半轴有一个交点，此时，轴负半轴有一个交点，此时，c0，ab0，共有，共有 A2 3 6(条条)；第三类，与；第三类，与
4、x 轴轴 负半轴有两个交点，则必须满足负半轴有两个交点，则必须满足 0， b a 0， c a 0， b24ac0， a，b，c同号，同号， 即即 b3，a，c 在在 1,2 中取，有中取，有 2 条，由分类加法计算原理可得，共有条，由分类加法计算原理可得，共有 186226(条条) 1如图为电路图，从如图为电路图，从 A 到到 B 共有共有_条不同的线路可通电条不同的线路可通电 解析：解析：先分三类第一类，经过支路先分三类第一类，经过支路有有 3 种方法；第二类，经过支路种方法；第二类，经过支路有有 1 种方法；种方法； 第三类，经过支路第三类，经过支路有有 224(种种)方法，所以总的线路
5、条数方法，所以总的线路条数 N3148. 答案：答案：8 2.如图有如图有 4 个编号为个编号为 1、2、3、4 的小三角形，要在每一个小的小三角形，要在每一个小 三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且 相相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 解析：解析：分为两类：分为两类： 第一类，若第一类，若 1、3 同色，则同色，则 1 有有 5 种涂法，种涂法，2 有有 4 种涂法，种涂法，3 有有 1 种涂法种涂法(与与 1 相同相同)， 4 有有 4 种涂法种涂法，故，故
6、 N1541480. 第二类，若第二类，若 1、3 不同色，则不同色，则 1 有有 5 种涂法，种涂法，2 有有 4 种涂法，种涂法，3 有有 3 种涂法，种涂法，4 有有 3 种种 涂法涂法 故故 N25433180. 综上可知不同的涂法共有综上可知不同的涂法共有 NN1N280180260 种种 专题二专题二 排列组合的应用排列组合的应用 通过对近年高考试题分析可以看出，有限制条件的排列、组合问题，高考每年必通过对近年高考试题分析可以看出，有限制条件的排列、组合问题，高考每年必 考，主要考查以下类型：选派问题、抽样问题、几何问题、集合问题、分组问题等，考，主要考查以下类型：选派问题、抽样问
7、题、几何问题、集合问题、分组问题等， 题型多是选择题与填空题，常用的解题策略是：题型多是选择题与填空题，常用的解题策略是： (1)特殊元素优先安排的策略特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分步的策略合理分类和准确分步的策略 (3)排列、组合混排列、组合混合问题先选后排的策略合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑处理的策略相邻问题捆绑处理的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略分排问题直排处理的策略 (9)“小集团小集团”排列问
8、题中先整体后局部的策略排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略构造模型的策略 从从 1 到到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数试问：的九个数字中取三个偶数四个奇数试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ (3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？ 解析解析 (1)分步完成：第一步在分步完成：第一
9、步在 4 个偶数中取个偶数中取 3 个，可有个，可有 C3 4种情况；第二步在 种情况；第二步在 5 个个 奇数中取奇数中取 4 个，可有个，可有 C4 5种情况；第三步 种情况；第三步 3 个偶数，个偶数，4 个奇数进行排列，可有个奇数进行排列，可有 A7 7种情 种情 况，所以符合题意的七位数有况，所以符合题意的七位数有 C3 4 C 4 5 A 7 7 100 800(个个) (2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有上述七位数中，三个偶数排在一起的有 C3 4 C 4 5 A 5 5 A 3 3 14 400(个个) (3)上述七位数中，上述七位数中，3 个偶数排在一起，个偶数排在一起，
10、4 个奇数也排在一起的有个奇数也排在一起的有 C3 4 C 4 5 A 3 3 A 4 4 A 2 2 5 760(个个) (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，再将个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入个偶数分别插入 5 个空档，共有个空档，共有 C3 4 C 4 5 A 4 4 A 3 5 28 800(个个) 3某校高二年级共有六个班级，现从外地转入某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班名学生，要安排到该年级的两个班 级且每班安排级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数有名，则不同的安排方案种数有(
11、 ) A6 B24 C180 D90 解析：解析：先把先把 4 名学生分两组有名学生分两组有C 2 4C 2 2 A2 2 3(种种)然后再把这两组给这然后再把这两组给这 6 个班个班中的两个班中的两个班 有有 A2 6 30(种种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有 33090(种种) 答案：答案：D 4袋中有大小相同的袋中有大小相同的 4 个红球和个红球和 6 个白球，从中取出个白球，从中取出 4 个球个球 (1)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？ (2)取出一个
12、红球记取出一个红球记 2 分，取一个白球记分，取一个白球记 1 分，若取出分，若取出 4 球的总分不低于球的总分不低于 5 分，则有分，则有 多少种不同的取法？多少种不同的取法？ 解析：解析：(1)可分三类：有可分三类：有 4 红、红、3 红红 1 白、白、2 红红 2 白，则有不同的取法有白，则有不同的取法有 C4 4 C3 4C 1 6 C2 4C 2 6 115(种种) (2)取取 4 球的总分不低于球的总分不低于 5 分转化为至少有一个红球被取即可分转化为至少有一个红球被取即可 解法一解法一(直接法直接法) C1 4C 3 6 C2 4C 2 6 C3 4C 1 6 C4 4 195(
13、种种) 解法二解法二(间接法间接法) C4 10 C4 6 195(种种) 专题三专题三 二项式定理及其应用二项式定理及其应用 (1)二项式定理揭示了二项展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系二项式定理揭示了二项展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系 (2)求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之 一解这类问题的关键是弄清楚待求解的特定项是哪一项，这一项如何计算，基本方一解这类问题的关键是弄清楚待求解的特定项是哪一项，这一项如何计算，基本方 法就是根据题目的要求和二项展开式的通项列出
14、方程，通过解方程找到是哪一项，然法就是根据题目的要求和二项展开式的通项列出方程，通过解方程找到是哪一项，然 后再根据二项展开式的通项进行计算后再根据二项展开式的通项进行计算 (3)赋值法是解决有关二项式展开式中系数问题的有力工具，作为一种常用方法，在赋值法是解决有关二项式展开式中系数问题的有力工具，作为一种常用方法，在 考查中也时常出现，应熟练掌握考查中也时常出现，应熟练掌握 (xa)10的展开式中，的展开式中，x7的系数为的系数为 15，则，则 a_.(用数字填写答案用数字填写答案) 解析解析 Tr 1Cr10x10 rar，令 ，令 10r7，得，得 r3， C3 10a 3 15，即，即
15、10 98 321 a315， a31 8， ，a1 2. 答案答案 1 2 5(2015 年高考北京卷年高考北京卷)在在(2x)5的展开式中，的展开式中，x3的系数为的系数为_(用数字作答用数字作答) 解析：解析： (2x)5的展开式的通项为的展开式的通项为 Tr 1Cr525 r xr(r 0,1， ， 5)， 则， 则 x3的系数为的系数为 C3 5 22 40. 答案：答案：40 6若若 ax2b x 6 的展开式中的展开式中 x3项的系数为项的系数为 20，则，则 a2b2的最小值为的最小值为_ 解析：解析：Tr 1Cr6(ax2)6 r b x r Cr 6a 6rbrx123r， ， 令令 123r3，得，得 r3.C3 6a 3b3 20，即，即 ab1. a2b22ab2，即，即 a2b2的最小值为的最小值为 2. 答案：答案：2 章末检测
