1、 【课标要求】 1.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问 题. 2.会根据实际问题合理分类或分步. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 1两个计数原理在解决计数问题中的方法 2应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再对每一类进行计数，最 后用分类加法计数原理求和，得到总数 (2)分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤， 恰好完成任 务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数， 最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总 数 |自我尝试自我尝试| 1甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课 程中恰有 1 门相
2、同的选法有( ) A6 种 B12 种 C24 种 D30 种 解析：分步完成首先甲、乙两人从 4 门课程中同选一门，有 4 种选法，其次由甲从剩下的 3 门课程中任选一门，有 3 种方法， 最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙 所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 43224(种)，故选 C. 答案：C 2火车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，乘客下车的可能方 式有( ) A510种 B105种 C50 种 D500 种 解析：分 10 步 第 1 步：考虑第 1 名乘客下车的所有可能有 5 种； 第 2 步：考虑第 2 名乘客下车的所有可能有 5
3、种； 第 10 步：考虑第 10 名乘客下车的所有可能有 5 种 故共有乘客下车的可能方式510种 答案：A 3从 0,1,2，9 这 10 个数字中，任取两个不同数字作为平 面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在 x 轴上的点的个数 是( ) A100 B90 C81 D72 解析：分两步：第一步选 b，b0，所以有 9 种选法，第二 步选 a， 因 ab， 所以有 9 种选法， 由分步乘法计数原理知共有 99 81 个点 答案：C 4某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从 中共选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ( ) A30 种 B
4、35 种 C42 种 D48 种 解析：选 3 门课程，要求 A，B 两类至少各选 1 门，可分为两 种情况，一类是 A 类选修 2 门，B 类选修 1 门，共有 3412 种 选法；另一类是 A 类选修 1 门，B 类选修 2 门，共有 3618 种 选法根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有 1218 30(种) 答案：A 5 (1)把 5 本书全部借给 3 名同学， 则不同的借法共有_ 种； (2)把 3 个人分配到某工厂的 5 个车间去参加社会实践， 则不同 的分配方案共有_种 解析：(1)借书时，并没有要求每人必须借书，而只要把书借完 即可，故每本书应该借给三个人中的一个所以总的
5、借法有 33333243 种同样，(2)中，三个人分到五个车间，有 的车间可以没有人，但人必须分完，每个人可以到 5 个车间中的任 何一个车间，各有 5 种分法，一共有 555125 种不同的分配 方案 答案：(1)243 (2)125 课堂探究 互动讲练 类型一 组数问题 例 1 用 0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 【解析】 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可 以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 55553125(个) (2)三位数的首位不能为
6、 0，但可以有重复数字，首先考虑首位 的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二，三位可以排 0，因此，共有 455100(个) (3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分 两类，一类是末位数字是 0，则有 4312 种排法；一类是末位数 字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在 首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318 种 排法因而有 121830 种排法即可以排成 30 个能被 2 整除的 无重复数字的三位数. 方法归纳 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占 领分类， 分类中再按特殊位
7、置(或者特殊元素)优先的方法分步完成； 如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解 (2)解决组数问题， 应特别注意其限制条件， 有些条件是隐藏的， 要善于挖掘排数时，要注意特殊元素，特殊位置优先的原则. 跟踪训练 1 若用 0,1,2,3,4 五个数字 (1)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (2)组成多少个无重复数字的三位偶数？ 解析：(1)三位奇数的末位只能是 1 或 3，若末位是 1，则首位 只能从 2,3,4 中取 1 个，共有 3 种不同方法，十位则从 0 与 2,3,4 中 剩余的 2 个取 1 个，共有 3 种不同方法，由分步乘法计数原理知共 有 339(个) 同理，末位是
8、3 时，也有 9 个三位奇数，由分类加法计数原理 知共有 9918 个不同的三位奇数 (2)三位偶数的末位只能是 0,2,4. 若末位是 0，则首位与十位共有 4312(种) 若末位是 2，则首位有 3 种，十位有 3 种，共 9 种 同理，若末位是 4，则有 9 种，由分类加法计数原理知共有不 同的三位偶数 129930(个). 类型二 涂色(种植)问题 例 2 如图，要给地图 A，B，C，D 四个区域分别涂上 4 种 不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须 涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ 【解析】 法一 按 ABCD 的顺序分步涂色 第一步：涂 A 区域，有 4
9、 种不同的涂法； 第二步：涂 B 区域，从剩下的 3 种颜色中任选一种颜色，有 3 种不同的涂法； 第三步： 涂 C 区域， 再从剩下的 2 种不同颜色中任选一种颜色， 有 2 种不同的涂法； 第四步：涂 D 区域，可分两类，一类 D 区域与 A 同色； 另一类 D 区域与 A 不同色，共有 112(种)涂法 根据分步乘法计数原理共有 432248 种不同的涂法 法二 按所用颜色的多少分类涂色 第一类：用三种颜色，有 4(3211)24(种)不同涂法； 第二类：用四种颜色，有 432124(种)不同涂法 根据分类加法计数原理，共有 242448(种)不同涂法. 方法归纳 解决涂色(种植)问题的
10、一般思路 (1)按涂色(种植)的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数 (2)按颜色(种植品种)恰当选取情况分类，用分类加法计数原理 计数 (3)几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理 (4)如果正面情况较多，可用间接法计算. 跟踪训练 2 用红、黄、绿、黑 4 种不同的颜色给图中的 5 个区域涂色，要 求相邻的两个区域的颜色都不相同，颜色可以不全用，问有多少种 不同的涂色方法？ 解析： 将 5 个区域分别标记号为 A，B，C，D，E，则 A 区域有 4 种 不同的涂色方法， B 区域有 3 种， C 区域有 2 种， D 区域有 2 种 但 E 区域的涂色依赖于 B 区域与 D 区域涂的颜色
11、，如果 B 区域与 D 区域涂的颜色相同，则 E 区域有 2 种涂色方法；如果 B 区域与 D 区域所涂的颜色不相同，则 E 区域只有 1 种涂色方法因此应先分 类后分步 (1)当 B 与 D 同色时，有 432248(种) (2)当 B 与 D 不同色时，有 4321124(种) 故共有 482472 种不同的涂色方法. 类型三 抽取(分配)问题 例 3 5 个工程队承包某项工程的 5 个不同的子项目， 每个工 程队承建 1 项，其中甲工程队不能承建 1 号子项目，则不同的承建 方案有多少种？ 【解析】 法一 完成承建任务可分五步：第一步安排 1 号子 项目有 4 种；第二步安排 2 号也有
12、 4 种；第三步安排 3 号有 3 种； 第四步安排 4 号有 2 种；第五步，安排 5 号有 1 种 由分步乘法计数原理知共有 4432196(种) 法二 完成承建任务可分步安排各工程队，第一步，安排甲队 有 4 种，第二步安排乙队有 4 种，第三、四、五步安排其余工程队 共有 321， 由分步乘法计数原理知共有 4432196(种). 方法归纳 求解抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图 法或者图表法 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类 加法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计 算所有的抽取方法数， 然后减去所
13、有不符合条件的抽取方法数即可. 跟踪训练 3 本题中若改为：甲工程队不能承建 1 号子项目， 乙工程队不能承建 2 号子项目，则不同安排方法有多少种 解析： 按甲、 乙工程队承建项目分类求解如下： 若甲承建 2 号， 则不同承建方法有 432124 种； 若甲承建 3 号，则先从除甲、乙外的 3 人中，选 1 人承建 2 号 有 3 种，其余承建方法有 321，此时共有不同承建方法 332118(种) 同理，甲承建 4,5 时，也各有 18 种 由分类加法计数原理知，满足题意的承建方法有 24183 78(种) |素养提升素养提升| 两个计数原理的使用方法 (1)合理分类，准确分步 处理计数问
14、题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是 “分类”还是“分步”，接下来要搞清楚“分类”或者“分步”的 具体标准是什么分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥 (保证不重复)； 总数要完备(保证不遗漏) 也就是要确定一个合理 的分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到 步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性 (2)特殊优先，一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊 元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解 题过程中的主次思想 (3)分类讨论，数形结合，转化与化归 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干 个小问题予以击
15、破，这是解决计数问题的基本思想数形结合，转 化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化未知为 已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要 |巩固提升巩固提升| 1现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同 学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种类是( ) A56 B65 C.565432 2 D65432 解析：由分步乘法计数原理得 55555556. 答案：A 2从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分 别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方 法有( ) A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 解析： 方法一： (直接法)若黄瓜种在第一块土地上， 则有 321 6 种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均 有 3216 种不同的种植方法故不同的种植方法共有 63 18 种 方法二：(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种种在三块地上，有 43224 种方法，其中不种黄瓜有 3216 种方法，故共有 不同的种植方法 24618 种 答案：B 3从 1 到 10 的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数 的不同情形有_种 解析：偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有 5525 种 答案：25
