1、2 2.3 3 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 2 2.3 3.1 1 离散型随机变量的均值 1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的 分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项分布 的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水 平解决一些相关的实际问题. X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 1 2 1.离散型随机变量的均值 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数 学期望. (2)离散型随机变量X的均值或
2、数学期望反映了离散型随机变量 取值的平均水平. 1 2 知识拓展知识拓展1.定义中给出了求离散型随机变量均值的方法,我们只 研究有限个随机变量的均值的情况. 2.随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身所固有的一 个数字特征.它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. 3.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 因为E(aX+b)=aE(X)+b,所以随机变量X的线性函数Y=aX+b的均 值等于随机变量X的均值的线性 函数.此式有如下几种特殊形式:(1)当b=0时,E(aX)=aE(X),此式表明 常量与随机变量乘积的均值等于这个常量与随
3、机变量的均值的乘 积;(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,此式表明随机变量与常量和的均值 等于随机变量的均值与这个常量的和;(3)当a=0时,E(b)=b,此式表明 常量的均值等于这个常量. 1 2 【做一做 1-1】 已知 的分布列为 -1 0 1 2 P 1 4 3 8 1 4 1 8 ,则 的均值为( ) A.0 B.-1 C. 1 8 D. 1 4 解析:E()=-1 1 4+0 3 8+1 1 4+2 1 8 = 1 4. 答案:D 【做一做1-2】 设一随机变量的均值为E()=3,则 E(10+2)=( ) A.3 B.5 C.30 D.32 解析:E(10+2)=10E
4、()+2=32. 答案:D 1 2 2.两点分布、二项分布的均值 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p. (2)若XB(n,p),则E(X)=np. 知识拓展知识拓展若离散型随机变量X服从参数为 N,M,n(nN,MN,n,m,NN*)的超几何分布,则 【做一做2】 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立 射击3次中靶次数X的均值为( ) A.0.8 B.0.83 C.3 D.2.4 解析:射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即XB(3,0.8),则 E(X)=30.8=2.4. 答案:D E(X)= . 1 2 1.求随机变量的均值的一般步骤是什么 剖析(1)写出的分布
5、列,在求取每一个值的概率时,要联系概率 的有关知识,如古典概型的概率,相互独立事件的概率等;(2)由分布 列求E();(3)如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布, 根据它们的均值公式计算. 1 2 【示例】 将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,求A邮箱的信 件数的分布列及均值. 分析(1)确定的所有可能取值;(2)计算出取每一个值时的概 率;(3)列出分布列;(4)利用E()的公式计算E(). 解:记 A 邮箱的信件数为 ,则 的所有可能取值为 0,1,2,P(=0)=22 33 = 4 9,P(=1)= 22 33 = 4 9,P(=2)= 1 9,故 的分布列为 0 1 2
6、P 4 9 4 9 1 9 E()=0 4 9+1 4 9+2 1 9 = 2 3. 1 2 2.随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系 剖析随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是 一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量, 它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的 增加,样本平均值越来越接近于总体的均值. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 求离散型随机变量的均值 【例1】 根据历次比赛和训练记录,甲、乙两名射手在同样的条 件下进行射击,成绩的分布列如下: 试比较甲、乙两名射手射击水平的高低并预测两名射手比赛的 结果. 射手 8 环 9
7、环 10 环 甲 0.3 0.1 0.6 乙 0.2 0.5 0.3 题型一 题型二 题型三 题型四 解:设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1,X2,则 E(X1)=80.3+90.1+100.6=9.3, E(X2)=80.2+90.5+100.3=9.1, 这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环 数的数学期望高,从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如 果两人进行比赛,甲赢的可能性较大. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 袋中有4个红球,3个黑球.今从袋中随机取出4个 球,设取到一个红球记2分,取到一个黑球记1分,试求得分的均值. 解:取出4个球,颜色
8、分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得 6分,1红3黑得5分, 相应的概率为 P(=5)=C4 1C33 C7 4 = 4 35,P(=6)= C4 2C32 C7 4 = 18 35, P(=7)=C4 3C31 C7 4 = 12 35,P(=8)= C4 4C30 C7 4 = 1 35. 随机变量 的分布列为 5 6 7 8 P 4 35 18 35 12 35 1 35 则 E()=5 4 35+6 18 35+7 12 35+8 1 35 = 44 7 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 离散型随机变量均值的性质 【例2】 某市出租车的起步价为6元,行驶路程不超
9、出3 km时,车 费为6元,若行驶路程超出3 km,则按每超出1 km收费3元计费(不足1 km按1 km计算).设出租车行车路程X是一个随机变量,司机所收车 费为Y(单位:元),则Y=3X-3.已知出租车在一天内行车路程可能取的 值有(单位:km)200,220,240,260,280,300,它们出现的概率分别为 0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12.求出租车行驶一天所收车费的均值. 分析先求出E(X),再利用E(Y)=E(3X-3)求E(Y). 解:E(Y)=E(3X-3)=3E(X)- 3=3(2000.12+2200.18+2400.20+2600.20+280
10、0.18+3 000.12)-3=3250-3=747. 反思反思本题利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,将求E(Y)的问题转化为求 E(X)的问题,避免了求Y的分布列的麻烦,简化了运算. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 已知随机变量X的分布列为 (1)试求E(X); (2)若Y=2X-3,求E(Y). X -2 -1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 解:(1)由随机变量分布列的性质,得1 4 + 1 3 + 1 5+m+ 1 20=1,m= 1 6. E(X)=(-2) 1 4+(-1) 1 3+0 1 5+1 1 6+2 1 20=- 17 30.
11、 (2)由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2 - 17 30 -3=- 62 15. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 与二项分布、两点分布有关的均值 【例3】 某运动员的投篮命中率为p=0.6. (1)求投篮一次时命中次数的均值; (2)求重复投篮5次时,命中次数的均值. 分析第(1)问中只有0,1两个结果,服从两点分布;第(2)问中服从 二项分布. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)投篮一次,命中次数的分布列为 ,则E()=p=0.6. (2)由题意,重复5次投篮,命中的次数服从二项分布,即B(5,0.6). 则E()=np
12、=50.6=3. 反思反思对服从二项分布或两点分布的随机变量求均值,只要利用相 应公式即可,但要准确判断问题中的变量是否服从二项分布、两点 分布. 0 1 P 0.4 0.6 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 3】 某人参加射击比赛,假设每次射中靶子的概率 为2 3,则 3 次射击中射中靶子次数的均值是 . 解析:设射中靶子的次数为 ,根据题设知 B 3, 2 3 ,则 E()=3 2 3=2. 答案:2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:分不清试验是不是独立重复试验 【例4】 某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛 两部分.为了增加节目的趣味性,初
13、赛采用选手选一题答一题的方 式进行.每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或 答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者 则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为 (1)求选手甲可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出的分布列,并求的 均值. 2 3. 题型一 题型二 题型三 题型四 错解:(1)选手甲答 3 题进入决赛的概率为C5 3 2 3 3 1 3 2 = 80 243; 选手甲答 4 题进入决赛的概率为C5 4 2 3 4 1 3 = 80 243; 选手甲答 5 题进入决赛的概率为C5 5 2 3 5 = 32 243. 所以选手甲可
14、进入决赛的概率为 80 243 + 80 243 + 32 243 = 192 243 = 64 81. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)依题意, 的可能取值为 3,4,5, P(=3)= 2 3 3 + 1 3 3 = 1 3; P(=4)=C4 3 2 3 3 1 3 + C4 3 1 3 3 2 3 = 40 81; P(=5)=C5 3 2 3 3 1 3 2 + C5 3 2 3 2 1 3 3 = 120 243 = 40 81. 则答题个数的分布列为 3 4 5 P 1 3 40 81 40 81 E()=3 1 3+4 40 81+5 40 81 = 49 9 . 题型一
15、 题型二 题型三 题型四 错因分析(1)甲答3题进入决赛指的是甲全部答对该3题,甲答4题 进入决赛指的是前3题中答对2道题,答错1道题,第4题答对.只有前3 次答题事件满足独立重复试验.同理答5题进入决赛指的是前4题答 对2道题,答错2道题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复 试验,不是对全部进行独立重复试验. (2)甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2道题,第4题答对进入决 赛,或前3题中有2道题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前 4题中的2道题. 正解:(1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为 2 3 3 = 8 27; 选手甲答 4 道题进入决赛的概率为C3 2 2 3
16、 2 1 3 2 3 = 8 27; 选手甲答 5 道题进入决赛的概率为C4 2 2 3 2 1 3 2 2 3 = 16 81. 所以选手甲可进入决赛的概率为 8 27 + 8 27 + 16 81 = 64 81. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)依题意, 的可能取值为 3,4,5, 则有 P(=3)= 2 3 3 + 1 3 3 = 1 3, P(=4)=C3 2 2 3 2 1 3 2 3 + C3 2 1 3 2 2 3 1 3 = 10 27, P(=5)=C4 2 2 3 2 1 3 2 2 3 + C4 2 2 3 2 1 3 2 1 3 = 8 27. 因此, 的分布列为 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 E()=3 1 3+4 10 27+5 8 27 = 107 27 . 反思反思正确理解事件发生的情况是解决本题的关键.
