1、2 2.2 2.2 2 事件的相互独立性 1.理解相互独立事件的定义及意义. 2.理解概率的乘法公式. 3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公 式解题. 事件的相互独立性 (1)如果两个事件A,B中任一事件发生,不影响另一事件的发生,即 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立. 知识拓展知识拓展1.对于事件A,B,如果A(或B)是否发生对事件B(或A)发生 的概率没有影响,则称这两个事件为相互独立事件.而两事件互斥 是指两个事件不可能同时发生. 2.如果事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率 等于各个事件发生的概率的积,即 P(A1A2A
2、n)=P(A1) P(A2) P(An). (2)若 A 与 B 相互独立,则 A 与,与 B,与也都相互独立. 【做一做】 甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概 率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49B.0.42 C.0.7 D.0.91 解析:记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,且A,B相互独立. 答案:B 则恰有 1 人击中目标为 A或B,所以只有 1 人击中目标的概率 P=P(A)+P(B)=0.70.3+0.30.7=0.42. 应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求概率的解题步骤 是什么 剖析(1)确定各事件是否为相互独立事件;(2)确定
3、各事件是否同 时发生;(3)先求每个事件发生的概率,再求其积. 【示例】甲组3名男生,2名女生,乙组2名男生,3名女生.今从甲、 乙两组中各选1名同学参加游园活动,求从甲组中选出1名男生,同 时从乙组中选出1名女生的概率. 解:第一步:确定事件是否是相互独立事件.记“从甲组中选1名男 生”为事件A,“从乙组中选1名女生”为事件B,事件A,B相互独立. 第二步:确定同时发生的事件. 本例中所求概率为A,B同时发生的概率,即求AB发生的概率. 第三步:先求每个事件发生的概率,再求积. 由题意,可求得 P(A)=3 5,P(B)= 3 5, 所以 P(AB)=P(A)P(B)=3 5 3 5 = 9
4、 25=0.36. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 相互独立事件的判断 【例1】 下列事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件? (1)1 000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中 二等奖. (2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙 中奖. (3)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,从“8个球中任意取出 1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是 白球”. 分析利用相互独立事件的定义判断. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖,即这两个事件不 可能同时发生,故它们是互斥事件. (2)由双
5、色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙没有影响,反之亦 然,故它们是相互独立事件. (3)“从 8个球中任意取出 1个,取出的是白球”的概率为5 8,若这一 事件发生了,则“从剩下的 7个球中任意取出 1个,取出的仍是白球” 的概率为4 7;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为 5 7.可见, 前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相 互独立事件,也不是互斥事件. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思判断两个事件相互独立的方法: (1)用定义,若P(AB)=P(A)P(B),则事件A和B相互独立. (2)有些事件没有必要通过概率的计算来判定其独立性.例如,有 放回地抽取
6、,掷一枚硬币3次等.由事件本身的性质也能直接判定是 否相互影响,从而得出事件是否相互独立. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,设 A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相 互独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1)A与B; (2)C与A. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红牌”,则抽到红牌中 有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到K,故事件A,B有可能同时 发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件. 以下考虑它们是否为相互独立事件: 抽到 K 的概率为 P
7、(A)= 4 52 = 1 13, 抽到红牌的概率为 P(B)=26 52 = 1 2, 则 P(A)P(B)= 1 13 1 2 = 1 26, 事件 AB 为“既抽到 K 又抽到红牌”,即“抽到红桃 K 或方块 K”, 故 P(AB)= 2 52 = 1 26,从而有 P(A)P(B)=P(AB),因此 A 与 B 相互独立. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张,抽到K就不可能抽 到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与事件A不可能同时发生,A与C 互斥. 由于 ,而P(AC)=0,所以A与C不是相互独 立事件. 又抽不到K不一定抽到J, 故A与C不
8、是对立事件. P(A)= 1 13 0,P(C)= 1 13 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 相互独立事件和互斥事件的概率问题 【例2】 已知甲袋中装有大小、形状、质地相同的3个白球和2 个红球,乙袋中装有1个白球和4个红球.现从甲、乙两袋中各摸一 个球,试求: (1)两球都是红球的概率; (2)恰有一个是红球的概率; (3)至少有一个是红球的概率. 分析判断基本事件的构成,及各事件间的关系,选择合适的公式 计算. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:记事件A表示“从甲袋中摸出一个红球”,事件B表示“从乙袋 中摸出一个红球”,事件 C 表示“从甲、乙两袋中各摸一个球,恰好摸 出一个
9、红球”,事件 D 表示“至少摸出一个红球”. (1)由题意,A,B 相互独立,且 P(A)=2 5,P(B)= 4 5,所以两球都是红球 的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=2 5 4 5 = 8 25=0.32. (2)由已知 C=A B,且 A与B 为互斥事件,而 P()=3 5,P()= 1 5,则 P(C)=P(A B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=2 5 1 5 + 3 5 4 5 = 14 25=0.56. (3)由已知 D=CAB,且 C 与 AB 为互斥事件,则 P(D)=P(C AB)=P(C)+P(AB)=0.56+0.32=0.88. 题型一
10、题型二 题型三 题型四 反思反思求复杂事件的概率,应先列出题中涉及的各事件,并用适当的 符号表示,再理清各事件之间的关系,最后根据事件之间的关系选 取相应的公式进行计算. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 甲、乙两人独立地破译一个密码,他们能译出密 码的概率分别为 (1)2人都译出密码的概率; (2)2人都译不出密码的概率; (3)恰有1人译出密码的概率; (4)至多有1人译出密码的概率; (5)至少有1人译出密码的概率. 1 3 和 1 4,求: 题型一 题型二 题型三 题型四 解:记“甲独立地译出密码”为事件 A,“乙独立地译出密码”为事 件 B,A,B 为相互独立事件,且
11、P(A)=1 3,P(B)= 1 4. (1)2 个人都译出密码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=1 3 1 4 = 1 12. (2)2 个人都译不出密码的概率为 P( )=P()P() =1-P(A)1-P(B) = 1- 1 3 1- 1 4 = 1 2. 题型一 题型二 题型三 题型四 (3)恰有 1 个人译出密码可以分为两类:甲译出乙未译出以及甲 未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,则恰有 1 个人译出密码的概 率为 P(A + B)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B) =1 3 1- 1 4 + 1- 1 3 1 4 = 5 12. (4)“至多有 1 人译
12、出密码”的对立事件为“有 2 个人译出密码”, 则至多有 1 人译出密码的概率为 1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-1 3 1 4 = 11 12. (5)“至少有 1 人译出密码”的对立事件为“2 人都未译出密码”, 所以至少有 1 人译出密码的概率为 1-P( )=1-1 2 = 1 2. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 相互独立事件同时发生的概率 【例3】 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答 问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第 一、二、三、四轮的问题的概率分别为 ,且各轮问题能否 正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰
13、的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 分析把所求事件分解成几个独立事件或互斥事件. 4 5 , 3 5 , 2 5 , 1 5 题型一 题型二 题型三 题型四 解:记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3,4), 则 P(A1)=4 5,P(A2)= 3 5,P(A3)= 2 5,P(A4)= 1 5. (1)“该选手进入第四轮才被淘汰”记为事件 B,P(B)=P(A1A2A34)=P(A1)P(A2)P(A3)P(4)=4 5 3 5 2 5 1- 1 5 = 96 625. (2)方法一:“该选手至多进入第三轮考核”记为事件 C,P(C)=P(1A
14、12A1A23)=P(1)+P(A1)P(2)+P(A1)P(A2)P(3) =1 5 + 4 5 1- 3 5 + 4 5 3 5 1- 2 5 = 101 125. 题型一 题型二 题型三 题型四 方法二:“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为事件 D, 则 P(D)=4 5 3 5 2 5 1 5 = 24 625. 因为 C 与 BD 为对立事件,B 与 D 为互斥事件,所以 P(C)=1-P(BD)=1-P(B)-P(D)=1- 96 625 24 625 = 101 125. 反思反思求相互独立事件同时发生的概率时,可运用公式 P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否
15、独立,把复杂事件 分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简 单化. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统. 当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率 为( ) A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 题型一 题型二 题型三 题型四 答案:B 解析:本题考查独立事件发生的概率,可以用直接法将事件分为 K1A2+KA12+KA1A2或用对立事件的概率:P(K)1-P(1 2). 方法一:由题意
16、知,K,A1,A2正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8. K,A1,A2相互独立,A1,A2至少有一个正常工作的概率为 P(1A2)+P(A12)+P(A1A2)=(1-0.8)0.8+0.8(1-0.8)+0.80.8=0.96, 系统正常工作的概率为 P(K)P(1A2)+P(A12)+P(A1A2)=0.90.96=0.864. 方法二:A1,A2至少有一个正常工作的概率为 1-P(1 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96, 系统正常工作的概率为 P(K)1-P(1 2)=0.90.96=0.864. 故选 B. 题型一 题型二 题型
17、三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:对相互独立事件理解有误而致错 【例 4】 设事件 A 与 B 相互独立,两个事件中只有 A 发生的概 率和只有 B 发生的概率都是1 4,求事件 A 和事件 B 同时发生的概率. 错解:A 与 B 相互独立,且只有 A 发生的概率和只有 B 发生的 概率都是1 4,P(A)=P(B)= 1 4, P(AB)=P(A)P(B)=1 4 1 4 = 1 16. 错因分析在 A 与 B 中只有 A 发生是指 A 发生和 B 不发生这两 个事件同时发生,即事件 A发生. 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:在相互独立事件 A 和 B 中,只有 A 发生即事件 A发生,只 有 B 发生即事件B 发生. A 和 B 相互独立, A 与,和 B 也相互独立. P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=1 4, P(B)=P()P(B)=1-P(A)P(B)=1 4. 由-得 P(A)=P(B). 联立可解得 P(A)=P(B)=1 2. P(AB)=P(A)P(B)=1 2 1 2 = 1 4. 反思反思对于此类题目,应先搞清楚各事件之间的关系,再利用相互独 立事件同时发生的概率公式列方程组求解.
