1、2 2.3 3.2 2 离散型随机变量的方差 1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列 求方差和标准差. 2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利 用公式求它们的方差. 1 2 1.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程 度越小. (3)D(aX+b)=a2D(X). X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)= =1 ( ()2为随机变量X的方差,并称其算术 平方根 ()为随机变量 X 的标准
2、差. 1 2 知识拓展知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上 描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个 值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.在实 际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究 变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度, 这就需要求出方差. 1 2 【做一做1-1】 已知的分布列为 则D()等于( ) A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 解析:E()=-10.5+00.3+10.2=-0.3,则D()=(- 1+0.3)20.5+(0+0.3)20.3+(1+0.3)20.2=0.245
3、+0.027+0.338=0.61. 答案:B 【做一做1-2】 若随机变量的方差D()=1,则D(2+1)的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:D(2+1)=4D()=4. 答案:C -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 X 1 3 5 P 0.4 0.1 x 1 2 【做一做1-3】 已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差 为 . 解析:由条件知,x=0.5. E(X)=10.4+30.1+50.5=3.2, 所以D(X)=(1-3.2)20.4+(3-3.2)20.1+(5-3.2)20.5=3.56. 答案:3.56 1 2 2.两点分布、二项分布的方差 (1)
4、若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),则D(X)=np(1-p). 【做一做 2】 已知随机变量 XB(3,p),D(X)=2 3,则 p= . 解析:由已知得,3p(1-p)=2 3,解得 p= 1 3或 p= 2 3. 答案:1 3 或 2 3 求离散型随机变量的方差的步骤是什么 剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:列出随机变量 的分布列;求出随机变量的均值;求出随机变量的方差. 【示例】 编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个 座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的 学生的个数是X,求D(X). 解:先求 X 的
5、分布列. X 所有可能的取值为 0,1,2,3. X=0 表示三位学生全坐错了,情况有 2 种, 所以 P(X=0)= 2 3! = 1 3; X=1 表示只有一位同学坐对了,情况有 3 种, 所以 P(X=1)= 3 3! = 1 2; X=2 表示有两位学生坐对,一位学生坐错,这种情况不存在,所以 P(X=2)=0; X=3 表示三位学生全坐对了,情况有 1 种, 所以 P(X=3)= 1 3! = 1 6. 所以 X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P 1 3 1 2 0 1 6 求随机变量 X 的均值. E(X)=0 1 3+1 1 2+20+3 1 6 = 1 2 + 1 2=1
6、. 求随机变量的方差. D(X)=(0-1)2 1 3+(1-1) 2 1 2+(2-1) 20+(3-1)2 1 6=1. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 求离散型随机变量的方差 【例1】 袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的 有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球 的标号. (1)求的分布列、均值和方差; (2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、 方差的公式求解. (2)运用E()=aE()+b,D()=a2D()求a,b. 题型一 题型二 题型三
7、 题型四 解:(1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 则 E()=0 1 2+1 1 20+2 1 10+3 3 20+4 1 5=1.5. D()=(0-1.5)2 1 2+(1-1.5) 2 1 20+(2-1.5) 2 1 10+(3-1.5) 2 3 20+(4-1.5) 2 1 5=2.75. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)由 D()=a2D(), 得 a22.75=11, 解得 a= 2. 因为 E()=aE()+b,所以, 当 a=2 时,由 1=21.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-21.5+b,得
8、b=4. 所以 = 2, = -2 或 = -2, = 4 即为所求. 反思反思求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分 布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要 能正确求出每一个结果出现的概率. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 袋中有大小、形状、质地相同的3个球,编号分 别为1,2,3.从袋中不放回地每次取出1个球,若取到的球的编号为奇 数,则取球停止.用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差 为 . 解析:X 的分布列为 X 1 3 5 P 1 3 1 2 1 6 则 E()=1 1 3+3 1 2+5 1 6 = 8 3,D()= 17
9、9 . 答案:17 9 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 方差的实际应用 【例 2】 有 A,B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强 度,指标如下: A 种: XA 110 120 125 130 135 P 0.1 a 2a 0.1 0.2 B 种: XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 b 其中XA,XB分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢 筋的抗拉强度不低于 120,试比较 A,B 两种钢筋哪一种质量好. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+
10、b=1,解得 a=0.2,b=0.2. 则XA,XB的分布列分别为 XA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 题型一 题型二 题型三 题型四 先比较它们的均值: E(XA)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, E(XB)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125, 所以,它们的均值相同,再比较它们的方差: D(XA)=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(12
11、5-125)20.4+(130- 125)20.1+(135-125)20.2=50, D(XB)=(100-125)20.1+(115-125)20.2+(125-125)20.4+(130- 125)20.1+(145-125)20.2=165. 因为D(XA)E(),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但 D()D(),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平 都不够全面,各有优势与劣势. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 离散型随机变量方差的综合应用 【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根 据市场分析,X1和X2的分布列分别为 (1)在A,B两
12、个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A 和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2); (2)将x(0x100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示 投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值. X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 题型一 题型二 题型三 题型四 分析本题已知随机变量X1,X2的分布列,从而可以求出Y1,Y2的分布 列,再利用求方差的公式和性质解决即可. 解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 E(Y1)
13、=50.8+100.2=6, D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4; E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8, D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12. Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)f(x)=D 100 1 +D 100- 100 2 = 100 2 D(Y1)+ 100- 100 2 D(Y2) = 4 1002x 2+3(100-x)2 = 4 1002(4x 2-600x+31002). 当 x=600 24=75 时,f(x)
14、=3 为最小值. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思解均值与方差的综合问题时需要注意: (1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一 般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列; (2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立 事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计 算; (3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一 些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分 布可直接利用对应公式求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制 了日销售量的频率分布直
15、方图,如图. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互 独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且 另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变 量X的分布列,均值E(X)及方差D(X). 题型一 题型二 题型三 题型四 分析(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销 售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为 第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概 率公式求值. (2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出均
16、值、方差. 解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售 量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不 低于100个且另一天销售量低于50个”. 因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为 P(X=0)=C3 0 (1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C3 1 0.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C3 2 0.62(1-0.6
17、)=0.432, P(X=3)=C3 3 0.63=0.216. 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 XB(3,0.6),所以均值 E(X)=30.6=1.8,方差 D(X)=30.6(1-0.6)=0.72. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:对方差性质掌握不准确致错 【例4】 已知随机变量X的分布列为 求E(X),D(X),D(-2X-3). 错解:E(X)=00.2+10.2+2a+30.2+40.1=1.2+2a, D(X)=0-(1.2+2a)20.2+1-(1.2+2a)20.2+2- (1.2+2a)2a
18、+3-(1.2+2a)20.2+4- (1.2+2a)20.1=(1.2+2a)20.2+(0.2+2a)20.2+(0.8- 2a)2a+(1.8-2a)20.2+(2.8-2a)20.1,D(-2X-3)=-2D(X). 错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械 地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 a 0.2 0.1 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:0.2+0.2+a+0.2+0.1=1, a=0.3. E(X)=00.2+10.2+20.3+30.2+40.1=1.8. D(X)=(0-1.8)20.2+(1-1.8)20.2+(2-1.8)20.3+(3- 1.8)20.2+(4-1.8)20.1=1.56. D(-2X-3)=4D(X)=6.24. 反思反思在求均值、方差时,要注意对随机变量分布列的性质及均值、 方差性质的应用.
