1、2 2.4 4 正态分布正态分布 1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率. 1 2 3 4 1.正态曲线 (1)若 ,(x)= 1 2 e- (-)2 22 ,x(-,+),其中实数 和 (0)为参 数,我们称 ,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)随机变量落在区间(a,b的概率为 P(a)=P(X)=1 2, P(-X)=P(X0) 曲线在 x= 处达到峰 值 1 2 0,(x) 1 2 曲线与 x 轴围成的 面积为 1 P(-xC),则C等于 ( ) A.0 B
2、. C.- D. 解析:正态分布在x=对称的区间上概率相等,则C=. 答案:D 1 2 3 4 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.682 7; P(-2X+2)0.954 5; P(-3X+3)0.997 3. 知识拓展知识拓展正态总体几乎总取值于区间(-3,+3)之内.而在此区 间以外取值的概率只有0.002 7,通常认为这种情况在一次试验中几 乎不可能发生. 1 2 1.如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率 剖析首先找出随机变量X服从正态分布时,的值,再利用3原则 求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在 关于X=对称的区间上取值的概率
3、相等求得结果. 1 2 2.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 剖析(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值. (3)注意概率值的求解转化: P(Xa)=1-P(Xa); P(X-a)=P(X+a); 若 b,则 P(Xb)=1-(-+) 2 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 正态曲线的应用 【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度 曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差. 分析该曲线的对称轴和最高点从图中容易看出,从而求出总体随 机变量的均值、标准差以及正态曲线的函数解析式
4、. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:由图象可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为 1 2 , 则 =20, 1 2 = 1 2 ,解得 = 2.于是正态分布密度曲线的函数解析 式为 ,(x)= 1 2 e- (-20)2 4 ,x(-,+). 总体随机变量的均值是 =20,方差是 2=( 2)2=2. 反思反思1.要特别注意方差是标准差的平方. 2.用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式,关键是确定 参数与的值. 3.当x=时,正态分布密度曲线的函数取得最大值,即 注意该式在解题中的运用. f()= 1 2, 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 关于正态曲线特点
5、的描述: 曲线关于直线x=对称,这条曲线在x轴上方; 曲线关于直线x=对称,这条曲线只有当x(-3,3)时才在x轴 上方; 曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个 偶函数; 曲线在x=时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐 渐降低; 曲线的对称轴由确定,曲线的形状由确定; 越大,曲线越“矮胖”;越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A. B. C. D. 题型一 题型二 题型三 题型四 解析:参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,且只有当=0 时,正态曲线才关于y轴对称,因此知A选项正确. 答案:A 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 正态分布下的概率计算
6、 【例2】 设N(1,4),试求: (1)P(-13); (2)P(35); (3)P(5). 分析首先确定,然后根据正态曲线的对称性和P(- X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5进行求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:N(1,4),=1,=2. (1)P(-13)=P(1-21+2) =P(-+)=0.682 7. (2)P(35)=P(-3-1), P(35)=1 2P(-35)-P(-13) =1 2P(1-41+4)-P(1-21+2) =1 2P(-2x+2)-P(-x+) =1 2(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 题型一 题型二 题型
7、三 题型四 (3)P(5)=P(-3), P(5)=1 21-P(-35) =1 21-P(1-41+4) =1 21-P(-2x+2) =1 2(1-0.954 5)=0.022 75. 反思反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线 的对称性和正态分布的三个常用数据. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 设XN(10,1). (1)求证:P(1X2)=P(18X19); (2)若P(X2)=a,求P(10X18). (1)证明XN(10,1), 正态曲线,(x)关于直线x=10对称, 而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称, 即P(1X2)=P(18
8、X19). 2 1 ,(x)dx= 19 18 ,(x)dx, (2)解:P(X2)+P(2X10)+P(10X18)+P(X18)=1,=10, P(X2)=P(X18)=a,P(2X10)=P(10X18),2a+2P(10X 18)=1, 即 P(10X18)=1-2 2 = 1 2-a. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 正态分布的应用 【例3】 某厂生产的圆柱形零件的外径XN(4,0.25).质检人员从 该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm. 试问该厂生产的这批零件是否合格? 分析欲判定这批零件是否合格,关键是看随机抽查的一件产品的 尺寸是在(-
9、3,+3)内,还是在(-3,+3)之外. 解:由于圆柱形零件的外径XN(4,0.25),由正态分布的特征可知, 正态分布N(4,0.25)在区间(4-30.5,4+30.5)即(2.5,5.5)之外取值 的概率只有0.002 7,而5.7(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几 乎不可能发生的小概率事件,故可以认为该厂生产的这批产品是不 合格的. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思在试验应用中,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X 只取(-3,+3)之间的值,并简称为3原则.如果服从正态分布的随 机变量的某些取值超出了这个范围,就说明出现了意外情况. 题型一 题型二 题型三
10、 题型四 【变式训练3】 一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布, 其中=8,=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长 度小于2 m.这时,他让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋,还是让钢 筋工停止生产,检修钢筋切割机? 解:设检验出钢筋长为x m,则x2. 由题意XN(,2),其中=8,=2,则-3=2,+3=14.因为x(2,14), 所以这一钢筋的长度出现在区间(-3,+3)之外,所以检验员应 马上让钢筋工停止生产,立即检修钢筋切割机. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:混淆密度函数中,意义而致错 【例4】 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长
11、 度,得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是( ) A.曲线C2仍是正态曲线 B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等 C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的 总体的方差大2 D.以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的 总体的均值大2 错解:D 错因分析把正态密度函数中,的意义混淆了. 题型一 题型二 题型三 题型四 度后,曲线形状没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标f()没变,从 而没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即变了,因为曲线 向右平移2个单位长度,所以均值增大了2个单位长度. 答案:C 反思反思正态曲线的左右平移只改变其均值的大小,不改变方差的大小. 也就是平移变换不改变随机变量的方差,只有沿y轴方向的伸缩变 换才改变其方差. 正解:正态密度函数为 f(x)= 1 2 e- (-)2 22 ,正态曲线的对称轴 x=,曲 线最高点的纵坐标为 f()= 1 2.所以曲线 C1 向右平移 2 个单位长
