1、第二课时第二课时 组合的综合应用组合的综合应用 典例典例 课外活动小组共课外活动小组共 13 人，人， 其中男生其中男生 8 人，人， 女生女生 5 人，人， 并且男、女各指定一名队长，并且男、女各指定一名队长， 现从中选现从中选 5 人主持某种活人主持某种活 动，动， 依下列条件各有多少种选法？依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生；只有一名女生； (2)两队长当选；两队长当选； (3)至少有一名队长当选；至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选至多有两名女生当选 有限制条件的组合问题有限制条件的组合问题 解解 (1)一名女生， 四名男生， 故共有一名女生， 四名男生， 故共有
2、 C1 5 C 4 8 350(种种)选法选法 (2)将两队长作为一类，其他将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，人作为一类， 故共有故共有 C2 2 C 3 11 165(种种)选法选法 (3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名 队长都当选故共有队长都当选故共有 C1 2 C 4 11 C2 2 C 3 11 825(种种)选法选法 或采用间接法：或采用间接法：C5 13 C5 11 825(种种) (4)至多有两名女生含有三类： 有两名女生， 只有一名女生，至多有两名女生含有三类： 有两名女生， 只有一名女生， 没有女生故共
3、有没有女生故共有 C2 5 C 3 8 C1 5 C 4 8 C5 8 966(种种)选法选法 有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽有限制条件的抽(选选)取问题，取问题， 主要有两类：主要有两类： 一是一是“含含”与与“不含不含”问题，问题， 其解法常用直接分步法，其解法常用直接分步法， 即即 “含含”的先取出，的先取出， “不含不含”的可把所指元素去掉再取，的可把所指元素去掉再取， 分步计数；分步计数； 二是二是“至多至多”“”“至少至少”问题，问题， 其解法常有两种解决思路：一其解法常有两种解决思路：一 是直接分类法，是直接分类法， 但要注意
4、分类要不重不漏；二是间接法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意注意 找准对立面，找准对立面， 确保不重不漏确保不重不漏 活学活用活学活用 有有 4 个不同的球，个不同的球， 4 个不同的盒子，个不同的盒子， 把球全部放入盒内把球全部放入盒内 (1)恰有恰有 1 个空盒，有几种放法？个空盒，有几种放法？ (2)恰有恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？个盒子不放球，有几种放法？ 解：解：(1)先从先从 4 个小球中取个小球中取 2 个放在一起，有个放在一起，有 C2 4种不同的 种不同的 取法，再把取出的取法，再把取出的 2 个小球与另外个小球与另外 2 个小球看成三堆，个小球看成三堆，
5、并分别放入并分别放入 4 个盒子中的个盒子中的 3 个盒子里，有个盒子里，有 A3 4种放法，根 种放法，根 据分步乘法计数原理，共有据分步乘法计数原理，共有 C2 4A 3 4 144(种种)不同的放法不同的放法 (2)恰有恰有 2 个盒子不放球，也就是把个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放入个不同的小球只放入 2 个盒子中有两类放法：个盒子中有两类放法： 第一类，第一类，1 个盒子放个盒子放 3 个小球，个小球，1 个盒子放个盒子放 1 个小球，先把个小球，先把 小球分组，有小球分组，有 C3 4种，再放到 种，再放到 2 个盒子中有个盒子中有 A2 4种放法，共有 种放法，共有
6、C3 4A 2 4种放法； 种放法； 第二类，第二类，2 个盒子中各放个盒子中各放 2 个小球有个小球有 C2 4C 2 4种放法 种放法 故恰有故恰有 2 个盒子不放球的方法有个盒子不放球的方法有 C3 4A 2 4 C2 4C 2 4 84(种种) 典例典例 平面内有平面内有 12 个点，其中有个点，其中有 4 个点共线，此外再无任个点共线，此外再无任 何何 3 点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 几何中的组合问题几何中的组合问题 解解 法一：法一： 以从共线的以从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准个点中取点的多少作为分
7、类的标准 第一类： 共线的第一类： 共线的 4 个点中有个点中有 2 个点为三角形的顶点， 共有个点为三角形的顶点， 共有 C2 4C 1 8 48 个不同的三角形；个不同的三角形； 第二类： 共线的第二类： 共线的 4 个点中有个点中有 1 个点为三角形的顶点， 共有个点为三角形的顶点， 共有 C1 4C 2 8 112 个不同的三角形；个不同的三角形； 第三类：共线的第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点，共有个点中没有点为三角形的顶点，共有 C3 8 56 个不同的三角形个不同的三角形 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有由分类加法计数原理知，不同的三角形共有 4811256
8、216 个个 法二：法二：(间接法间接法)：从：从 12 个点中任意取个点中任意取 3 个点，有个点，有 C3 12 220 种取法，而在共线的种取法，而在共线的 4 个点中任意取个点中任意取 3 个均不能构成三角形，即个均不能构成三角形，即 不能构成三角形的情况有不能构成三角形的情况有 C3 4 4 种种 故这故这 12 个点构成三角形的个数为个点构成三角形的个数为 C3 12 C3 4 216 个个 解答几何组合问题的策略解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题 目多以立体几何中的点、线、面的位置关系
9、为背景的排列、组目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组 合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强 (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一 样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可 (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较 多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数 活学活用活学活用 正六边形的顶
10、点和中心共正六边形的顶点和中心共 7 个点，可组成个点，可组成_个三角形个三角形 解析：解析：不共线的三个点可组成一个三角形，不共线的三个点可组成一个三角形，7 个点中共线的是个点中共线的是 过中心的过中心的 3 条对角线，即共有条对角线，即共有 3 种情况，故组成三角形的个种情况，故组成三角形的个 数为数为 C3 7 332 答案：答案：32 排列与组合的综合问题排列与组合的综合问题 典例典例 用用 0 到到 9 这这 10 个数字组成没有重复数字的五位个数字组成没有重复数字的五位 数，其中含数，其中含 3 个奇数与个奇数与 2 个偶数的五位数有多少个？个偶数的五位数有多少个？ 解解 法一法
11、一 直接法直接法 把从把从 5 个偶数中任取个偶数中任取 2 个分为两类：个分为两类： (1)不含不含 0 的：由的：由 3 个奇数和个奇数和 2 个偶数组成的五位数，可个偶数组成的五位数，可 分两步进行：第分两步进行：第 1 步，选出步，选出 3 奇奇 2 偶的数字，方法有偶的数字，方法有 C3 5C 2 4种； 种； 第第 2 步，对选出的步，对选出的 5 个数字全排列有个数字全排列有 A5 5种方法 种方法 故所有适合条件的五位数有故所有适合条件的五位数有 C3 5C 2 4A 5 5个 个 (2)含有含有 0 的：这时的：这时 0 只能排在除首位只能排在除首位(万位万位)以外的四个位以
12、外的四个位 置中的一个，有置中的一个，有 A1 4种排法；再从 种排法；再从 2,4,6,8 中任取一个，有中任取一个，有 C1 4种 种 取法，从取法，从 5 个奇数数字中任取个奇数数字中任取 3 个，有个，有 C3 5种取法，再把取出 种取法，再把取出 的的 4 个数全排列有个数全排列有 A4 4种方法，故有 种方法，故有 A1 4C 1 4C 3 5A 4 4种排法 种排法 根据分类加法计数原理， 共有根据分类加法计数原理， 共有 C3 5C 2 4A 5 5 A1 4C 1 4C 3 5A 4 4 11 040 个符合要求的数个符合要求的数 法二法二 间接法间接法 如果对如果对 0 不
13、限制，共有不限制，共有 C3 5C 2 5A 5 5种，其中 种，其中 0 居首位的有居首位的有 C3 5 C1 4A 4 4种故共有 种故共有 C3 5C 2 5A 5 5 C3 5C 1 4A 4 4 11 040 个符合条件的数个符合条件的数 解答排列、组合综合问题的思路及注意点解答排列、组合综合问题的思路及注意点 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排先选后排”，也就，也就 是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：解排列、组合综合问题时
14、要注意以下几点： 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题 是组合问题，有序的问题是排列问题是组合问题，有序的问题是排列问题 对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条 件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问 题的一般方法题的一般方法 活学活用活学活用 有有 5 个男生和个男生和 3 个女生，从中选出个女生，从中选出 5 人担任人担任 5 门不同学科门不同学科 的科代表，求分别符合下列条件的选法数：的科代
15、表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生；有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表；某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代 表，但不担任数学科代表表，但不担任数学科代表 解：解：(1)先选后排，先选可以是先选后排，先选可以是 2 女女 3 男，也可以是男，也可以是 1 女女 4 男，男， 先选有先选有 C3 5C 2 3 C4 5C 1 3种，后排有 种，后排有 A5 5种， 种
16、， 共共(C3 5C 2 3 C4 5C 1 3) A 5 5 5 400 种种 (2)除去该女生后，先选后排有除去该女生后，先选后排有 C4 7 A 4 4 840 种种 (3)先选后排，但先安排该男生有先选后排，但先安排该男生有 C4 7 C 1 4 A 4 4 3 360 种种 (4)先从除去该男生该女生的先从除去该男生该女生的 6 人中选人中选 3 人有人有 C3 6种，再安排该 种，再安排该 男生有男生有 C1 3种，其余 种，其余 3 人全排有人全排有 A3 3种，共 种，共 C3 6 C 1 3 A 3 3 360 种种 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(六六)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
