2.3.2 离散型随机变量的方差.pptx

1、-1- 2 2.3 3.2 2 离散型随机变量的方差 -2- 2.3.2 离散型随机变量的方差 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标 准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决 一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方 差的求法,会利用公式求它们的方差. -3- 2.3.2 离散型随机变量的方差 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 S

2、UITANG LIANXI 随堂练习 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则(xl-E(X)2描述了 xi(i=1,2,n)相对于均值 E(X)的偏离程度,而 D(X)= =1 (-E(X)2为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其 均值E(X)的平均偏离程度,我们称D(X)为随机变量X 的方差,并称其算术平 方根 ()为随机变量 X 的标准差. (2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小. (3)

3、离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X). -4- 2.3.2 离散型随机变量的方差 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 提示:随机变量的方差即为总体方差,它是一个常数,不随抽样样本的变 化而客观变化;样本方差则是随机变量,它是随样本的不同而变化的,对于简 单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差. -5- 2.3.2 离散型随机变量的方差 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZH

4、ONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p); (2)若 XB(n,p),则 D(X)=np(1-p). 思考 2两名射手每次射击中靶的概率分别为 0.8 和 0.7,则每 射击 3 次中,两名射手的方差分别为( ) A.0.8,0.7 B.2.4,2.1 C.0.48,0.63 D.0.16,0.21 提示:射手独立射击 3 次中靶次数 X 都服从二项分布,即 XB(3,0.8),YB(3,0.7), 所以 D(X)=np(1-p)=30.80.2=0.48

5、,D(Y)=nq(1-q)=30.70.3=0.63. -6- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差. -7- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探

6、究三 探究四 【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球. 表示所取球的标号. (1)求 的分布列、期望和方差; (2)若 =a+b,E()=1,D()=11,试求 a,b 的值. 思路分析:(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值, 方差公式求解. (2)运用 E()=aE()+b,D()=a2D(),求 a,b. -8- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随

7、堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1) 的分布列为: 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 则 E()=0 1 2+1 1 20+2 1 10+3 3 20+4 1 5=1.5.D() =(0-1.5)2 1 2+(1-1.5) 21 20+(2-1.5) 21 10+(3-1.5) 23 20+(4-1.5) 21 5 =2.75. -9- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)由 D(

8、)=a2D(),得 a22.75=11,得 a= 2. 又 E()=aE()+b,所以, 当 a=2 时,由 1=21.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-21.5+b,得 b=4. 所以 = 2, = -2, 或 = -2, = 4. -10- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结求离散型随机变量的方差的关键是列分布列,而 列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要能 正确求出每一个结果出现

9、的概率. -11- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 离散型随机变量的方差的应用 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方 差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.因此在实 际决策问题中,需先运算均值,看谁的平均水平高,然后再计算方差,分析谁 的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视情况而定. -12- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难

10、点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 2012 年 4 月 1 日至 7 日是江西省“爱鸟周”,主题是“爱 鸟护鸟观鸟,共享自然之美”.为更好地保护鄱阳湖候鸟资源,需评测保护区 的管理水平. 现甲、 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和数量 也大致相等,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布 列分别为: X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. -13- 2.3.2 离散型随机

11、变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析:要比较两个保护区的管理水平,要先比较两个保护区的违规 事件的平均次数,然后比较其稳定性,即方差. 解:甲保护区内的违规次数 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3, D(X)=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21. 乙保护区内的违规次数 Y 的数学期望和方差分别为 E(Y)=00.1+10.5+20.

12、4=1.3, D(Y)=(0-1.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41. 因为 E(X)=E(Y),D(X)D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事 件的平均次数相同,但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动较大,乙 保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好 一些. -14- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结在解决此类问题时,应先比较均值,若均值相等, 再比较

13、方差,方差较小的数据较稳定. -15- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 两点分布、二项分布的方差 (1)如果随机变量 X 服从两点分布,则其方差 D(X)=p(1-p)(p 为成功概 率). (2)如果随机变量 X 服从二项分布即 XB(n,p),则方差 D(X)=np(1-p)直 接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程. 【典型例题 3】 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗, 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互

14、独立的,并且概率是1 3. (1)求这位司机遇到红灯数 的期望与方差; (2)若遇上红灯,则需等待 30 秒,求司机总共等待时间 的期望与方差. -16- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)易知司机遇上红灯次数 服从二项分布,且 B 6, 1 3 , E()=6 1 3=2,D()=6 1 3 1- 1 3 = 4 3. (2)由已知 =30, E()=30E()=60,D()=900D()=1 200. -17- 2.3.

15、2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结在解决有关均值和方差问题时,如果题目中离散 型随机变量符合二项分布,就应直接代入公式求期望和方差,以简化问题的 解答过程. -18- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 机械套用公式致误 【典型例题 4】 已知随机变量

16、 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 a 0.2 0.1 求 E(X),D(X),D(-2X-3). 错解:E(X)=00.2+10.2+2a+30.2+40.1=1.2+2a, D(X)=0-(1.2+2a)20.2+1-(1.2+2a)20.2+2-(1.2+2a)2a+3-(1.2+ 2a)20.2+4-(1.2+2a)20.1=(1.2+2a)20.2+(0.2+2a)20.2+(0.8-2a)2a+( 1.8-2a)20.2+(2.8-2a)20.1,D(-2X-3)=-2D(X). -19- 2.3.2 离散型随机变量的方差 ZHONGDIAN NANDIA

17、N 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误. 正解: 0.2+0.2+a+0.2+0.1=1, a=0.3. E(X)=00.2+10.2+20.3+30.2+40.1=1.8. D(X)=(0-1.8)20.2+(1-1.8)20.2+(2-1.8)20.3+(3-1.8)20.2+(4-1.8)20 .1=1.56. D(-2X-3)=4D(X)=6.24. -20- 2.3.2 离散型随机

18、变量的方差 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 1.已知 的分布列为: -1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 若 =2+2,则 D()的值为( ) A.-1 3 B.5 9 C.10 9 D.20 9 解析:E()=-1 1 2+0 1 3+1 1 6=- 1 3,D()= -1 + 1 3 2 1 2 + 0 + 1 3 2 1 3 + 1 + 1 3 2 1 6 = 5 9,则 D()=D(2+2)=4D()= 45 9 = 20 9 . 答案:D -21- 2.3.2 离散型

19、随机变量的方差 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 2.已知离散型随机变量 的分布列如下: 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D()= . 解析: 0.5+m+0.2=1, m=0.3. E()=10.5+30.3+50.2=2.4. D()=(1-2.4)20.5+(3-2.4)20.3+(5-2.4)20.2=2.44. 答案:2.44 -22- 2.3.2 离散型随机变量的方差 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHO

20、NGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 3.设随机变量 服从二项分布,即 B(n,p),且 E()=3,p=1 7,则 n= ,D()= . 解析:由已知 () = , () = (1-), 即 3 = 1 7 n, () = 6 49 n, n=21,D()=126 49 = 18 7 . 答案:21 18 7 -23- 2.3.2 离散型随机变量的方差 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 4.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外 (环数记为 0)的概率为

21、0.1,飞镖落在靶内的各个点是随 机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为 30 cm,20 cm,10 cm,飞镖落在不同区域的环数如图中所示. 设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量 X,求 X 的 分布列、数学期望和方差. -24- 2.3.2 离散型随机变量的方差 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 解:由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它 们的质量和形状无关. 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为 3 2 1,面积比为9 4 1,所以 8 环区域、9 环区域、10 环区域的面积比为 5 3 1,则掷得 8 环、9 环、10 环的概率分别设为 5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质有 0.1+5k+3k+k=1,解得 k=0.1,得到离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 8 9 10 P 0.1 0.5 0.3 0.1 所以 E(X)=00.1+80.5+90.3+100.1=7.7. D(X)=0.1(0-7.7)2+0.5(8-7.7)2+0.3(9-7.7)2+0.1(10-7.7)2=7.01.