1、-1- 第一章第一章 计数原理计数原理 -2- 1 1.1 1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 -3- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.会分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 能知道两个原理的区别与联系. 2.能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解 决一些实际问题. -4- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重
2、点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 思考 1完成一件事有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2种不同的方法,在第 n 类方案中有 mn种不同的方法,则完成这件事共有多少种不同的方法? 提示:m1+m2+mn -5- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITA
3、NG LIANXI 随堂练习 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法. 思考 2完成一件事需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方 法,做第 2 步有 m2种不同的方法,做第 n 步有 mn种不同的方法,则完成 这件事共有多少种不同的方法? 提示:m1m2mn -6- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究
4、四 探究一 分类加法计数原理 分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类,每一类 中的各种方法都是相互独立的,且每一类中的每一种方法都可以独立地完 成这件事,在应用该原理解题时,首先要根据问题的特点,确定好分类的标准. 分类时应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类且仅属于某一类. 【典型例题 1】 某校高三共有三个班,各班人数如下表. 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,有多少种不同的选法; (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女
5、生中选 1 名学生任学生 会生活部部长,有多少种不同的选法? -7- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析:(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席都能独立完成这件事, 因此应采用分类加法计数原理.(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分 类加法计数原理. -8- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG
6、LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席,共有 3 类不同的方案: 第 1 类,从高三(1)班中选出 1 名学生,有 50 种不同的选法; 第 2 类,从高三(2)班中选出 1 名学生,有 60 种不同的选法; 第 3 类,从高三(3)班中选出 1 名学生,有 55 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中选 1 名学生任学生会主席,共有 50+60+55=165 种不同的选法. (2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生 活部部长,共有 3 类不同的方案: 第 1 类,从高三(1)班男生
7、中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法; 第 2 类,从高三(2)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法; 第 3 类,从高三(3)班女生中选出 1 名学生,有 20 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中 选 1 名学生任学生会生活部部长,共有 30+30+20=80 种不同的选法. -9- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结注意分类标准要明确,不能
8、相互交叉或重复,每 类办法都能独立地完成这件事. -10- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 分步乘法计数原理 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意: (1)按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; (2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这 件事. 【典型例题 2】 已知集合 M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)(a,bM)表示平面 上的点, 问:(1)点 P 可表示平面
9、上多少个不同的点? (2)点 P 可表示平面上第二象限内多少个不同的点? 思路分析:完成“确定点 P”这件事,需要依次确定点 P 的横坐标和纵坐 标,应运用分步乘法计数原理求解. -11- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)确定平面上的点 P(a,b),可分两步完成:第一步确定 a 的值,有 6 种 不同方法;第二步确定 b 的值,也有 6 种不同方法.根据分步乘法计数原理, 得到点 P 可表示平面上不同点的个数
10、为 66=36. (2)确定平面上第二象限内的点 P(a,b),可分两步完成:第一步确定 a 的 值,由于 a0,所以有 2 种不 同方法.由分步乘法计数原理,得到点 P 可表示平面上第二象限内不同的点 的个数为 32=6. -12- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结利用分步乘法计数原理计数的一般思路:首先考 虑这件事要经过哪几个步骤才能完成,然后找出每一步中有多少种不同的 方法,最后求其积,但应注意各个步骤是既
11、相互独立又密切相关的,都完成后 才能完成整件事. -13- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 解决此类题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”.首先要有意 识地去区分该问题是“分类”还是“分步”,如果完成这件事,可以分几种情况, 每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;而从其中一种情况中任 取一种方法只能完成一部分事件,且只有依次完成各种情况,才能完成这件 事
12、,则是分步. -14- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 王华同学有课外参考书若干本,其中有 5 本不同的外 语书,4 本不同的数学书,3 本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带 1 本去图书馆,有多少种不同的带法? (2)若带外语、数学、物理参考书各 1 本,有多少种不同的带法? (3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种 不同的带法? 思路分析
13、:解决两个原理的应用问题,首先应明确所需完成的事情是什 么,再分析每一种做法完成后,是否完成整件事,从而区分加法原理和乘法原 理. -15- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)完成的事情是带 1 本书,无论带外语书,还是数学书、 物理书,事情 都可完成,从而确定应用分类加法计数原理,结果为 5+4+3=12(种). (2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理 书中各选 1 本后,才能完成
14、这件事,因此应用分步乘法计数原理,结果为 543=60(种). (3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理,有 54=20 种选法;同样,选外语书、物理书各 1 本,有 53=15 种选法;选数学书、物理 书各 1 本,有 43=12 种选法;即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为 20+15+12=47(种). -16- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结对于两个计数原理的综合应用问题,一般
15、是先分 类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时 要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰, 也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观 地显现出来,从而便于我们解题. -17- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 两个基本原理分辨不清 【典型例题4】 (1)把3 封信投到4 个信箱,所有可能的投法共有( ). A.24 种
16、 B.4 种 C.43种 D.34种 (2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时 间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有 种. 错解:(1)每个信箱有三种选择,由分步乘法计数原理可得共有34种方法 选 D. (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种, 根据分步乘法计数原理,可得此人的走法有 4 3=12(种),故填 12. -18- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二
17、 探究三 探究四 错因分析:解决计数问题的基本策略是合理分类和分步,然后应用分类 加法计数原理和分步乘法计数原理来计算.解决本题易出现的问题是完成 一件事情的标准不清楚导致计算出现错误,对于(1),选择的标准不同,误认 为每个信箱有三种选择,所以可能的投法有34种;对于(2),易混淆“类”与“步” 误认为到达乙地先坐火车后坐轮船,使用分步乘法计数原理计算. 正解:(1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法;第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法;第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法,只要把这 3 封信投完,就做完了 这件事情,由分步乘法计数原理可得共有 43种方法,选 C. (2)因为某人从
18、甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种, 每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法有 4+3=7(种),故填 7. -19- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合 法证明,有 3 名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选 1 名同学证明 这个问题,不同的选法种数为( ) A.8 B.15 C.18 D.30 解析:共有 5+
19、3=8 种不同的选法. 答案:A -20- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个,不同的黄球 6 个,现从中任取两个不 同颜色的球,不同的取法有( ) A.336 种 B.21 种 C.104 种 D.146 种 解析:分三类:一红一白时,有 87 种;一红一黄时,有 86 种;一白一黄时,有 76 种.由分类加法计数原理知有 N=87+86+76=146 种取法. 答案:D -21- 1.1
20、 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文教师有20人,数学教师有8 人, 英语教师有 4 人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为 . 解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为 4+8+20=32. 答案:32 -22- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点
21、1 2 3 4 5 4.由数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 . 解析:分两个步骤:第 1步,从 2,4中取一个数作为个位数字,有 2种取法;再从 其余四个数中取出三个数排在前三位,有 432=24 种排法,由分步乘法计 数原理知,这样的四位偶数共有 224=48(个). 答案:48 -23- 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.有一项活动,需从 3 位教师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加. (1)若只需 1 人参加,有多少种不同的选法? (2)若需教师、男同学、女同学各 1 人参加,有多少种不同的选法? 解:(1)选 1 人,可分三类:第一类,从教师中选 1 人,有 3 种不同的选法;第二类, 从男同学中选 1 人,有 8 种不同的选法;第三类,从女同学中选 1 人,有 5 种不 同的选法,共有 3+8+5=16 种不同的选法. (2)选教师、男同学、女同学各 1 人,则分 3 步进行,第一步选教师,有 3 种不同的选法;第二步选男同学,有8 种不同的选法;第三步选女同学,有5种 不同的选法,共有 385=120 种不同的选法.
