1、-1- 2 2.1 1.2 2 离散型随机变量的分布列 -2- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列 的概念. 2.会求出简单的离散型随机变量的分布列并能记住 分布列的性质. 3.能知道两点分布和超几何分布及其推导过程,并能 简单的运用. -3- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG
2、 LIANXI 随堂练习 1.离散型随机变量的分布列 (1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,xi,xn,X 取 每一个值 xi(i=1,2,n)的概率 P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下: X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 这个表格称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列.用 等式可表示为 P(X=xi)=pi,i=1,2,n,也可以用图象来表示 X 的分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质: pi0,i=1,2,n; =1 = 1. -4- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 JICHU ZHISHI 基础知识
3、 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 4 m 1 3 1 6 则 m 为( ) A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 提示:由概率分布列的性质知,1 4+m+ 1 3 + 1 6=1,得 m= 1 4. -5- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.两点分布 (1)随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 1-p p 若随机变量
4、X 的分布列具有上表的形式,则称 X 服从两点分布. (2)上表中的 p=P(X=1)为成功概率. -6- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2如果随机变量 X 的分布列由下表给出,它服从两点分 布吗? X 1 2 P 0.4 0.6 提示:不服从两点分布,因为 X 的取值只能是 0 和 1. -7- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随
5、堂练习 3.超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品, 则 P(X=k)= C C- - C ,k = 0,1,2,m,即 X 0 1 m P C 0 C- -0 C C 1 C- -1 C C C- C 其中 m=minM,n,且 nN,MN,n,M,NN*.如果随机变量 X 的分布列具 有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布. -8- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考3设袋中有80个红球,20 个
6、白球,若从袋中任取 10个球, 则其中恰有 6 个红球的概率为( ) A.80 4 10 6 100 10 B.80 6 10 4 100 10 C.80 4 20 6 100 10 D.80 6 20 4 100 10 提示:由超几何分布概率公式为:P(X=k)= C C- - C ,k=0,1,2,m. 根据题意知 N=100,M=80,n=10,k=6,所以 P(X=6)=C80 6 C20 4 C100 10 . -9- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习
7、探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量的分布列的步骤: (1)找出随机变量 的所有可能的取值 xi(i=1,2,); (2)求出随机变量 的每个取值的概率 P(=xi)=pi; (3)列出表格. -10- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 从装有 6 个白球,4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取 出两个球,规定每取出 1 个黑球赢 2 元,而每取出 1 个
8、白球输 1 元,取出黄球 无输赢. (1)以 X 表示赢得的钱数,随机变量 X 可以取哪些值?求 X 的分布列. (2)求出赢钱的概率,即 X0 时的概率. -11- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)从箱中取两个球的情形有以下 6 种: 2 白球,1 白球 1 黄球,1 白球 1 黑球,2 黄球,1 黑球 1 黄球,2 黑球. 当取到 2 白球时,随机变量 X=-2; 当取到 1 白球 1 黄球时,随机变量 X=
9、-1; 当取到 1 白球 1 黑球时,随机变量 X=1; 当取到 2 黄球时,随机变量 X=0; 当取到 1 黑球 1 黄球时,随机变量 X=2; 当取到 2 黑球时,随机变量 X=4. 所以随机变量 X 的可能取值为-2,-1,0,1,2,4. -12- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 P(X=-2)= C6 2 C12 2 = 5 22,P(X=-1)= C6 1C21 C12 2 = 2 11,P(X=0)= C2
10、2 C12 2 = 1 66,P(X=1)= C6 1C41 C12 2 = 4 11,P(X=2)= C4 1C21 C12 2 = 4 33,P(X=4)= C4 2 C12 2 = 1 11. 所以 X 的分布列如下: X -2 -1 0 1 2 4 P 5 22 2 11 1 66 4 11 4 33 1 11 (2)P(X0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)= 4 11 + 4 33 + 1 11 = 19 33. 赢钱的概率为19 33. -13- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识
11、 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 规律总结求离散型随机变量的分布列的关键有两点: (1)随机变量的取值;(2)随机变量每一个取值的概率. -14- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 离散型随机变量分布列的性质及应用 (1)离散型随机变量的特征是能一一列出,且每个值各代表一个试验结 果,所以研究离散型随机变量时,关键是随机变量能取哪些值. (2)在求概率pi时,充分运用分
12、布列的性质,既可减少运算量,又可验证所 求的分布列是否正确. -15- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 设随机变量 X 的分布列 P = 5 =ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数 a 的值; (2)求 P 3 5 ; (3)求 P 1 10 7 10 . 思路分析:已知随机变量 X 的分布列,根据分布列的性质确定 a 的值及 相应区间的概率. -16- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZH
13、ONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:由题意,得随机变量 X 的分布列为 X 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得 a+2a+3a+4a+5a=1, 解得 a= 1 15. -17- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)P 3 5 =
14、P = 3 5 +P = 4 5 + P = 5 5 = 3 15 + 4 15 + 5 15 = 4 5,或 P 3 5 =1-P 2 5 =1- 1 15 + 2 15 = 4 5. (3) 1 10X 7 10, X= 1 5 , 2 5 , 3 5. P 1 10 7 10 =P = 1 5 +P = 2 5 + P = 3 5 = 1 15 + 2 15 + 3 15 = 2 5. -18- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究
15、四 探究五 规律总结利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机 变量在某个范围内取值的概率,此时只需根据随机变量的取值范围确定随 机变量可取哪几个值,再利用分布列即可得到它的概率,注意分布列中随机 变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥,因此利用概率的加法公式即 可求出其概率. -19- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 两点分布的应用 两点分布的几个特点: (1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的. (2
16、)两点分布又称为 0-1 分布,应用十分广泛. (3)由对应事件的概率求法可知:P(x=0)+P(x=1)=1. -20- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 一个袋中有形状、 大小完全相同的 3 个白球和 4 个红 球. (1)从中任意摸出 1 球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出红球,即 X= 0,摸出白球, 1,摸出红球. 求 X 的分布列; (2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白
17、球,用“X=1”表示 两个球不全是白球,求 X 的分布列. 思路分析:两问中 X 只有两个可能取值,且为 0,1,属于两点分布,应用概 率知识求出X=0的概率,然后根据两点分布的特点求出 X=1的概率,最后列 表即可. -21- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)由题意知 P(X=0)=3 7,P(X=1)= 4 7. X 的分布列如下表: X 0 1 P 3 7 4 7 (2)由题意知 P(X=0)=C3 2 C
18、7 2 = 1 7,P(X=1)=1-P(X=0)= 6 7. X 的分布列如下表: X 0 1 P 1 7 6 7 -22- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 规律总结(1)如果一个随机试验只有两个可能的结果, 那么就可以用两点分布来研究,为此只需定义一个随机变量,使其中一个结 果对应 1,另一个结果对应 0 便可以了. (2)两点分布的应用非常广泛,如抽取的彩票是否中奖,买回的一件产品 是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是
19、否命中等等,都可以用两点分布列来研 究. -23- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 超几何分布及应用 超几何分布是一种很重要的分布,其理论基础是古典概型,主要运用于 抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型,其中的随机变量相应是正品(或 次品)的件数、某种小球的个数. -24- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG
20、LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 某高二数学兴趣小组有 7 位同学,其中有 4 位同学参 加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选 3位同学参加高二数学“南 方杯”竞赛,求这 3 位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数 的分 布列及 P(2). 思路分析:该问题与抽取产品在本质上是一致的,从而可用超几何分布 解决. -25- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:由题
21、意可知, 的可能取值为 0,1,2,3.则 P(=0)=C4 0C33 C7 3 = 1 35,P(=1)= C4 1C32 C7 3 = 12 35, P(=2)=C4 2C31 C7 3 = 18 35,P(=3)= C4 3C30 C7 3 = 4 35. 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 P(2)=P(=0)+P(=1)= 1 35 + 12 35 = 13 35. -26- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI
22、随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 规律总结解决此类问题,先分析随机变量是否满足超几何 分布,若满足超几何分布,则建立超几何分布列的组合关系式,求出随机变量 取相应值的概率;否则利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概 率.在解题中不应拘泥于某一特定的类型. -27- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点 随机变量的取值错误 【典型例题 5】 盒中装有 12 个乒乓球,其中 9 个新的
23、,3 个旧的(用过 的球即为旧的),从盒中任取 3个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,求 X 的分布列. 错解:由题意知X服从超几何分布,且X的取值为0,1,2,3,所以分布列为: X 0 1 2 3 P 84 220 108 220 27 220 1 220 -28- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错因分析:本题关键有两点:一是认清X的取值,题目中说的是盒中旧球 个数为 X,所以取值应为 3,
24、4,5,6,而不是 0,1,2,3;二是正确利用公式求解概率, 以免出现计算错误. -29- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 正解:从盒中任取 3 个,这 3 个可能全是旧的,2 个旧的 1 个新的,1 个旧 的2个新的或全是新的,所以用完放回盒中,盒中旧球个数可能是3个,4个,5 个,6 个,即 X 可以取 3,4,5,6. P(X=3)= C3 3 C12 3 = 1 220;P(X=4)= C9 1C32 C12 3
25、 = 27 220; P(X=5)=C9 2C31 C12 3 = 27 55;P(X=6)= C9 3 C12 3 = 21 55. 所以 X 的分布列为: X 3 4 5 6 P 1 220 27 220 27 55 21 55 -30- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.随机变量 的分布列为 -1 0 1 P a b c ,其中 a,b,c 成等差数列.则 P(|=1)等于( ) A.1 3 B.1 4 C.1 2 D.2 3 解析:
26、 a,b,c 成等差数列, 2b=a+c. 又 a+b+c=1, b=1 3. P(|=1)=a+c= 2 3. 答案:D -31- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.设某项试验的成功概率是失败概率的2倍,用随机变量X描述一次试验成 功与否(记 X=0 为试验失败,记 X=1 为试验成功),则 P(X=0)等于( ) A.0 B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析:设试验成功的概率为 p1,失败的概率为 p2,则 p1=2p2,又随机变量
27、 X 服 从两点分布,所以 p1+p2=1,从而可解得 p2=1 3,即 P(X=0)= 1 3. 答案:C -32- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= 2,i=1,2,3,则 P(X=2)= . 解析:由分布列的性质可得 1 2 + 2 2 + 3 2=1, a=3, P(X=2)= 2 2 = 1 3. 答案:1 3 -33- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 SUITANG LIANXI
28、随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.某学校从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人作为参加两会的志愿者,设随机 变量 表示所选 3 人中女生的人数,则 P(1)= . 解析:由题意可知 的可能取值为 0,1,2,且 服从超几何分布,即 P(=k)=C2 C 4 3- C6 3 ,k=0,1,2, P(1)=P(=0)+P(=1) =C2 0C43 C6 3 + C2 1C42 C6 3 = 1 5 + 3 5 = 4 5. 答案:4 5 -34- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 SUITANG LIA
29、NXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖.某 顾客从这 10 张奖券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列. -35- 2.1.2 离散型随机变量的分布列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 解:(
30、1)该顾客中奖,说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张,由于是等 可能地抽取,所以该顾客中奖的概率 P=C4 1C61+C42 C10 2 = 30 45 = 2 3. 1 2 3 4 5 (2)依题意可知X的所有可能取值为0,10,20,50,60,则P(X=0)=C4 0C62 C10 2 = 1 3, P(X=10)=C3 1C61 C10 2 = 2 5,P(X=20)= C3 2 C10 2 = 1 15, P(X=50)=C1 1C61 C10 2 = 2 15,P(X=60)= C1 1C31 C10 2 = 1 15. 所以,X 的分布列为 X 0 10 20 50 60 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15
