1、-1- 2 2.2 2.3 3 独立重复试验与二项分布 -2- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.会分析 n 次独立重复试验的模型及意 义. 2.能记住二项分布. 3.能利用独立重复试验的模型及二项分 布解决一些简单的实际问题. -3- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.n 次独立重复试验的
2、概念 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 思考 1如何正确认识独立重复试验? 提示:在相同条件下重复做 n 次试验的过程中,各次试验的结果都不 会受到其他试验结果的影响.在独立重复试验中,每一次试验只有两个结 果,也就是事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中,某事件发生的 概率都是一样的. -4- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.二项分布 一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试 验中
3、事件 A 发生的概率为 p,则 P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,3,n.此时称随 机变量 X 服从二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率. -5- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2如何理解二项分布与超几何分布的关系? 提示:由古典概型得出超几何分布,由独立重复试验得出二项分布,这两 个分布的关系是:在产品抽样检验中,如果采用有放回抽样,则次品数服从二 项分布,如果采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.在实际工作中,
4、抽 样一般都采用不放回方式,因此在计算次品数为 k 的概率时应该用超几何 分布,但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值,计算相对复杂,并 且二项分布的计算可以查专门的数表,所以,当产品总数很大而抽样数不太 大时,不放回抽样可以认为是有放回抽样,计算超几何分布可以用计算二项 分布来代替. -6- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 独立重复试验概率的求法 n 次独立重复试验的特征: 每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率
5、保持不变;每次试验 的结果互不影响,即各次试验相互独立;每次试验只有两种结果,这两种可 能的结果是对立的. -7- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算:(结果保留到 小数点后面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 思路分析:由于 5 次预报是
6、相互独立的,且结果只有两种(准确或不准 确),符合独立重复试验模型. -8- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)记预报一次准确为事件 A,则 P(A)=0.8. 5 次预报相当于 5 次独立重复试验, 2 次准确的概率为 p=C5 20.820.23=0.051 20.05, 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率为 0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确 或只有 1 次准
7、确”, 其概率为 p=C5 0(0.2)5+C 5 10.80.24=0.006 72. 所求概率为 1-p=1-0.006 72=0.993 280.99. (3)说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确. 概率为 p=C4 10.80.230.8=0.020 480.02. 恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02. -9- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结独立重复试验概率求解的关注点: (1
8、)运用独立重复试验的概率公式求概率时,要判断问题中涉及的试验 是否为 n 次独立重复试验,判断时可依据 n 次独立重复试验的特征. (2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公 式及对立事件的概率公式. -10- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 二项分布 利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布 的模型,也就是看它是否是 n 次独立重复试验,随机变量是否为在这 n 次独 立重复试验中某
9、事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布, 否则就不服从二项分布. -11- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 在一次数学考试中,第 14 题和第 15 题为选做题.规定 每位考生必须且只需在其中选做一题.设 4 名考生选做这两题的可能性均 为1 2. (1)求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 15 题的考生数为 个,求 的分布列. 思路分析:(1)设出事件,利用
10、独立事件求概率.(2)按照求分布列的步骤 写出分布列即可. -12- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)设事件A 表示“甲选做 14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、 乙 2 名考生选做同一道题的事件为“(AB)( )”,且事件 A,B 相互独立. 所以 P(AB)( )=P(A)P(B)+P()P() =1 2 1 2 + 1- 1 2 1- 1 2 = 1 2. -13- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZH
11、ONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 B 4, 1 2 . 所以 P(=k)=C4 1 2 1- 1 2 4- = C4 1 2 4 (k=0,1,2,3,4). 所以变量 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 -14- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练
12、习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结本题考查互斥事件至少有一个发生的概率,相互 独立事件的概率以及二项分布的有关知识.解答此题目关键在于分清各知 识点的内在区别与联系. -15- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 独立重复试验 在解含有相互独立事件的概率时,首先把所求的随机事件分拆成若干 个互斥事件的和,其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件 的乘积. -16- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHON
13、GDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是 否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是1 3,遇到红灯时停留的时间 都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概 率. 思路分析:(1)第三个路口首次遇到红灯,表示前 2 个路口是绿灯,第 3 个 路口是红灯. (2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到 2 个红灯.
14、 -17- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A.因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在 第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为 P(A)= 1- 1 3 1- 1 3 1 3 = 4 27. -18- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 S
15、UITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min” 为事件 B,“这名学生在上学路上遇到 k 次红灯”为事件 Bk(k=0,1,2,3,4). 由题意得 P(B0)= 2 3 4 = 16 81,P(B1)=C4 1 1 3 1 2 3 3 = 32 81, P(B2)=C4 2 1 3 2 2 3 2 = 24 81. 所以事件 B 的概率为 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=8 9. -19- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JIC
16、HU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结本题考查运用概率知识解决实际问题的能力. -20- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 审题不清致误 【典型例题 4】 9 粒种子分种在 3 个坑内,每坑放 3 粒,每粒种子发芽 的概率为 0.5,若一个坑内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一 个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定
17、每个坑至多补种一次,求需 要补种坑数的分布列. -21- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错解:设需要补种的坑数为 X,则 X 取值为 0,1,2,3. 由独立重复试验知 P(X=0)=C3 0 1 2 3 = 1 8, P(X=1)=C3 1 1 2 1 2 2 = 3 8,P(X=2)=C3 2 1 2 2 1 2 = 3 8, P(X=3)=C3 3 1 2 3 = 1 8. 则所求分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8
18、3 8 3 8 1 8 错因分析:错把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补种的概率. -22- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 正解:因为单个坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=1 8,所以单个 坑不需补种的概率为 1-1 8 = 7 8. 设需要补种的坑数为 X,则 X 取值为 0,1,2,3. P(X=0)=C3 0 1 8 0 7 8 3 = 343 512;P(X=1)=C3 1 1 8 1 7 8 2 =
19、147 512;P(X=2)=C3 2 1 8 2 7 8 1 = 21 512;P(X=3)=C3 3 1 8 3 7 8 0 = 1 512. 所以需要补种坑数的分布列为 X 0 1 2 3 P 343 512 147 512 21 512 1 512 -23- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 1.某学生参加一次选拔考试,有 5 道题,每题 10 分.已知他解题的正确率为3 5, 若 40 分为最低分数线,则该生被选中的概率是( ) A.C5
20、 4 3 5 4 2 5 B.C5 5 3 5 5 C.C5 4 3 5 4 2 5 + C5 5 3 5 5 D.1-C5 3 3 5 3 2 5 2 解析:该生被选中包括“该生做对 4 道题”和“该生做对 5 道题”两种情形.故 所求概率为 P=C5 4 3 5 4 2 5 + C5 5 3 5 5 . 答案:C -24- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 2.若随机变量 B 5, 1 3 ,则 P(=k)最大时,k 的值为( ) A.5 B.
21、1 或 2 C.2 或 3 D.3 或 4 解析:依题意 P(=k)=C5 1 3 2 3 5- ,k=0,1,2,3,4,5. 可以求得 P(=0)= 32 243,P(=1)= 80 243,P(=2)= 80 243,P(=3)= 40 243,P(=4)= 10 243,P(=5)= 1 243. 故当 k=1 或 2 时,P(=k)最大. 答案:B -25- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 3.在等差数列an中,a4=2,a7=-4.现
22、从an的前 10 项中随机取数,每次取出 一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数 中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 .(用数字作 答) 解析:由已知可求通项公式为 an=10-2n(n=1,2,3,),其中 a1,a2,a3,a4为正 数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10为负数, 从中取一个数为正数的概率为 4 10 = 2 5,取得负 数的概率为1 2.三次取数相当于三次独立重复试验. 取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C3 2 2 5 2 1 2 1 = 6 25. 答案: 6 25 -26- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 SU
23、ITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 4.某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互 独立).求: (1)至少 3 人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于 0.3? -27- 2.2.3 独立重复试验与二项分布 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 解:(1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率,即 1-C6 0(0.5)6-C61(0.5)6-C62(0.5)6=1-1+6+15 64 = 21 32. (2)至少 4 人同时上网的概率为 C6 4(0.5)6+C65(0.5)6+C66(0.5)6=11 320.3, 至少 5 人同时上网的概率为 (C6 5 + C6 6)(0.5)6= 7 640.3. 因此,至少 5 人同时上网的概率小于 0.3.
