1、教育部教育部“精英杯公开课大赛简介精英杯公开课大赛简介 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体组织实施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“小学至高中全系列部编新教材进行了统一的培训和指导。每次指導，都輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中，不乏全國名師和各省名師中的佼佼者。他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真研判，把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中小学、又包括乡村大局部学校的教学模式。適合全國大局部教學大區。本課件就是從全國一等獎作品中，优选出的具有代表性的作品。示范性强，有很大的推广价值。6.4 三角形的中位线定理1.1.知道三角形中位线的概念，明确三
2、角形中知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同；位线与中线的不同；2.2.理解三角形中位线定理，并能运用它进行理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算有关的论证和计算.铁匠师傅要把一块周长为铁匠师傅要把一块周长为30cm30cm的等边三角形铁皮，的等边三角形铁皮，裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮,你能帮你能帮助他想出方法吗？助他想出方法吗？说说你的想法说说你的想法.你能知道每块小三你能知道每块小三角形铁皮的周长是多少吗？角形铁皮的周长是多少吗？A AB BC CE EF FG GDEFABC一个三角形有一个三角形有三条三条中位
3、线中位线.定义：连接三角形定义：连接三角形两边中点两边中点的线段叫做的线段叫做三角形三角形的中位线的中位线.如果如果D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点，那么的中点，那么DEDE是是ABCABC的中位线；的中位线；如果如果DEDE是是ABCABC的中位线，那么的中位线，那么D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点的中点.注意：注意：理解三角形中位线定义的两层含义：理解三角形中位线定义的两层含义：区分三角形的中位线与中线区分三角形的中位线与中线中位线是连结三角形两边中点的线段；中位线是连结三角形两边中点的线段；中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段中线是连结一个顶点和它的
4、对边中点的线段.一个三角形共有三条中位线一个三角形共有三条中位线三角形的中位线和它所对应的底边有什么关系呢三角形的中位线和它所对应的底边有什么关系呢?证明：证明：延长延长DEDE至至F F，使，使EFEFDEDE，连接，连接CFCFAEAECECE，AEDAEDCEFCEFADEADECFECFEADADCFCF，ADEADEF FBDCFBDCF已知：如图，已知：如图，DEDE是是ABCABC的中位线的中位线求证：求证：DEBCDEBC，DEDE B BC C12DEBCDEBC，DEDE BCBC12A AD DE E ADADBDBDBDBDCFCF四边形四边形BCFDBCFD是平行四边
5、形是平行四边形DFBCDFBC，DFDFBCBCF FB BC C三角形的中位线定理三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三第三边的一半边的一半.DEDE是是ABCABC的中位线的中位线 （D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点）的中点）DEBCDEBC，DE=BCDE=BC21用符号语言表示用符号语言表示E EA AB BC CD D 如果三边的长分别为如果三边的长分别为a a、b b、c c，那么顺次连接，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？各边中点所得的三角形周长是多少？三角形的面积是三角形的面积是S,S,顺次连接
6、各边中点所得顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？的三角形面积是多少？1()2abc =14S周长周长面积面积例1 如图，证明：结论：结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.1 1顺次连结对角线相等的四边形各边中点顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？菱形ABCD拓展了解拓展了解 3 3顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？点所得的四边形是什么？2 2顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么
7、？得的四边形是什么？矩形正方形ABCDFEGHABCDEF如图，在三角形如图，在三角形ABCABC中，中，D,E,FD,E,F分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的中点，的中点，AC=12AC=12，BC=16.BC=16.求：四边形求：四边形DECFDECF的周长的周长.13cm13cm2.2.如果等边三角形的边长为如果等边三角形的边长为3 3，那么连结各边中，那么连结各边中所成的三角形的周长所成的三角形的周长_._.1.1.三角形的各边长分别为三角形的各边长分别为6cm6cm，8cm8cm，12cm12cm，求连结各边中点所成三角形的周长求连结各边中点所成三角形的周长_._.ABC
8、DEF3.3.假设假设ABCABC的周长为的周长为12,12,那么那么DEFDEF的周长为的周长为_._.6 65 512a14s 4.4.假设假设ABCABC的面积为的面积为20,20,那么那么DEFDEF的面积为的面积为_._.5.5.假设假设ABCABC的周长为的周长为a,a,面积为面积为S S，那么，那么DEFDEF的周为的周为_，面积为，面积为 _._.2 2、三角形中位线定理有两个结论：、三角形中位线定理有两个结论：（1 1）表示位置关系）表示位置关系-平行于第三边；平行于第三边；（2 2）表示数量关系）表示数量关系-等于第三边的一半等于第三边的一半.应用时要具体分析，需要哪一个就
9、用哪一个应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个.1 1、三角形中位线是三角形中重要的线段，要与三角、三角形中位线是三角形中重要的线段，要与三角形的中线区分开来形的中线区分开来.角平分线第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 八年级数学下BS 教学课件 第第1 1课时课时 角平分线角平分线 1.会表达角平分线的性质及判定;重点2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;难点3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明意识和能力学习目标情境引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路
10、距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？比例尺为120000DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O导入新课导入新课1.1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜测线段PD与PE的大小关系，写出结：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质一讲授新课讲授新课验证猜测：如图，AOC=BOC,点
11、P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：PDOA,PEOB，PDO=PEO=90.在PDO和和PEO中，PDO=PEO，AOC=BOC，OP=OP，PDO PEO(AAS).PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.u应用格式：OP 是AOB的平分线，PD=PE在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PDOA,PEOB，BADOPE
12、C判一判：1 如下左图，AD平分BAC，=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC(2)如上右图，如上右图，DCAC，DBAB .=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC例1：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，DE=DF,DEB=DFC=90.在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD，RtBDE RtCDF(HL).EB=FC.例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC
13、，垂足分别是D、E，PD=4cm，那么PE=_cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段直接应用ABCP变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，假设PC4,AB=14.1那么点P到AB的距离为_.D4温馨提示：存在一条垂线段构造应用ABCP变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，假设PC4，AB=14.2求APB的面积.D14PDBCPDPBDBPCPBDBBCDBADDBAB3求PDB的周长.ABPD=28.12PDBS由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及
14、涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法利用角平分线的性质利用角平分线的性质所得到的等量关系进所得到的等量关系进行转化求解行转化求解角平分线的判定二PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上思考：交换角的平分线性质中的和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.证明：作
15、射线OP，点P在AOB 角的平分线上.在RtPDO和RtPEO 中，全等三角形的对应角相等.OP=OP公共边，公共边，PD=PE，BADOPEPDOA,PEOB.PDO=PEO=90，RtPDO RtPEO HL.AOP=BOP证明猜测u 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.u应用格式：PDOA,PEOB，PD=PE.点点P 在AOB的平分线上.知识总结例3:如图，CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过
16、点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现方案修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保存作图痕迹)ONMABONMABP方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如以以下图：归纳总结
17、图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定角的平分线的性质当堂练习当堂练习2.ABC中中,C=90,AD平分平分CAB,且且BC=8,BD=5,那么点那么点D到到AB的距离是的距离是 .ABCD3E1.如图，如图，DEAB，DFBG，垂足分别是，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，那么，那么 EBF=度，度，BE=.60BFEBDFACG3.用三角尺可按下面方法画角平分线：在用三角尺可按下面方法画角平分线：在AOB的两边上，分别取的两边上，分别取OM=ON,再分别过点再分别过点M,N作作OA,OB的垂线，交点为的垂线，交点为P，画射线，画射线OP,那么那么OP平分平分AOB.为什么？为什么？AOBMNP解：在RTMOP和RTNOP中，OM=ON，OP=OP，RTMOP RTNOPHL.MOP=NOP，即OP平分AOB.课堂小结课堂小结角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅 助 线添加过角平分线上一点向两边作垂线段判定定理在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
