1、第十七章第十七章17.2.1 17.2.1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理人教版数学八年级下册学习目标学习目标1.1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形否为直角三角形.2.2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.3.3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系系导入新知导入新知同学们，古埃及人曾经用下面的同学们，古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离方法画直角：将一根长绳打上等距离的的1313个结，然后用桩钉成一个三角形个结，然后用桩钉成一个三角形(如图如
2、图)，他们认为其中一个角便是直，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗？角你知道这是什么道理吗？勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这同学们，古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗？理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等
3、证明：如图，过点B作MNAC，2如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那内错角相等其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方本题易误认为也是勾股数152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；C，2，D21，28，35数，故错误；1知识点知识点逆命题、逆定理逆命题、逆定理如果两个命题的题设、结论正好相反，
4、那么这如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这 两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做 原命题，那么另一个叫做它的逆命题原命题，那么另一个叫做它的逆命题合作探究合作探究2如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那 么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理这两个定理称为互逆定理导引：导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判的题设和结论互换，写出原命题的逆命题
5、，最后判 断逆命题的真假断逆命题的真假例例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假：的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果如果ab，那么，那么a2b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果如果ab0，那么，那么a0，b0.解：解：(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆命题是真命题一个交点，那么它们相交逆命题是真命题 (2)原命题是假命题逆
6、命题为：如果原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么，那么a b.逆命题是假命题逆命题是假命题 (3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题零，那么它们互为相反数逆命题是真命题 (4)原命题是假命题逆命题为：如果原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，那么那么ab0.逆命题是真命题逆命题是真命题 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理
7、，判命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了新知小结新知小结1 说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角在角的内部，到角的两边距离相等的点在角 的平分线上的平分线上.巩固新知巩固新知(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行逆命题逆
8、命题：内错角相等，两条直线平行逆命题 成立成立(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这 两个实数相等逆命题不成立两个实数相等逆命题不成立(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等 逆命题不成立逆命题不成立(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相 等逆命题成立等逆命题成立解：解：已知下列命题：已知下列命题：若若ab，则，则acbc；若若a1，则则 a；内错角相等其中原命题与逆命题内错角相等其中原命题与逆命题均为真命题的个数是均为真命题的个数是()A0 B1 C2 D
9、32aA下列定理中，没有逆定理的是下列定理中，没有逆定理的是()A直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余B若三角形三边长若三角形三边长a，b，c (其中其中ac，bc)满足满足a2b2c2，则该三角形是直角三角形，则该三角形是直角三角形C全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等D互为相反数的两数之和为互为相反数的两数之和为03C方，记住常见的勾股数(3，4，5；(2)a=13，b=14，c=15.断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方a2(bc)(bc)；C2 D3不能确定a2b2是否为0角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最等逆命题成立A B C Da：b：c5：1
10、2：13.ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.常见的勾股数有：3，4，5；确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系所以QPR=90.(4)如果ab0，那么a0，b0.2知识点知识点勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形那
11、么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆定理互逆定理合作探究合作探究例例2 判断由线段判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直 角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最 大边长的平方大边长的平方.解解：(1)因为因为 152+82=225+64=289,172=289，所以，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三
12、角形是直角三角形根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.(2)因为因为132+142=169+196=365，152=225，所以，所以132+142 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角 形的内角和定理判断；形的内角和定理判断；(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系
13、一般通过计算得出三边的数量关系(即即a2b2c2)来判来判 断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方新知小结新知小结例例3 如图如图，某港口某港口P位于东西方向的海岸线上位于东西方向的海岸线上.“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开港口，各自沿号轮船同时离开港口，各自沿一一固固 定方向航行，定方向航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行 16 n mile，“海天海天”号号每小时航行每小时航行12 n mile.它们离开港口一个它们离开港口一个 半小时后分别位于点半小时后分别位于点Q，R处，且相距处，且相距30 n mile.如如
14、果知道果知道“远航远航”号沿东北方号沿东北方 向航行，能知道向航行，能知道“海天海天”号号 沿哪个方向航行吗？沿哪个方向航行吗？合作探究合作探究分析：分析：在图中可以看到，由于在图中可以看到，由于“远航远航”号的航向已知，号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天海天”号的航向了号的航向了.解：解：根据题意，根据题意，PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30.因为因为 242+182=302，即，即 PQ2+PR2=QR2，所以所以QPR=90.由由“远航远航”号沿东北方向航行可知号沿东北方向航行可知，1=45.因此
15、因此2=45，即，即“海天海天”号沿西北方向航行号沿西北方向航行.用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模建模思想思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与点与点之间的最短路线点之间的最短路线”就是就是“连接这两点的线段连接这两点的线段”，“点点与直线的最短距离与直线的最短距离”就是就是“点到直线的垂线段的长点到直线的垂线段的长”新知小结新知小结1 如果三条线段长如果三条线段长a，b，c满足满足a2=c2b2，这
16、三，这三 条线段组成的三角形是不是直角三角形？为条线段组成的三角形是不是直角三角形？为 什么？什么？这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长三条线段长a，b，c满足满足a2c2b2，即，即a2b2c2，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形直角三角形解：解：巩固新知巩固新知2 在在ABC中，中，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且(ab)(ab)c2，则，则()AA为直角为直角 BB为直角为直角 CC为直角为直角 DABC不是直角三角形不是直角三角形A3 五根小木棒，其长度五根小木棒，其
17、长度(单位：单位：cm)分别为分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是其中正确的是()C如图，如图，ABC的顶点在正方形网格的格点，若小的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为方格的边长为1，则，则ABC是是()A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形C钝角三角形钝角三角形 D以上都不对以上都不对4B(2)原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么a例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：A直角三角形的两锐角互余这两个定理称为互逆定理解：(1)因为 152+82=225+64=289,172=289，所以15
18、2+82=172，ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：“海天”号的航向了.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2，断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了A6，7，8 B5，8，13A直角三角形的两锐角互余(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这这两个定理称为互逆定理b.同学们，古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗？
19、ABC的三边长分别为的三边长分别为a，b，c，下列条件：，下列条件：ABC；A：B：C3：4：5；a2(bc)(bc)；a：b：c5：12：13.其中能判定其中能判定ABC是直角三角形的有是直角三角形的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个5C3知识点知识点勾勾 股股 数数勾股数：勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个能够成为直角三角形三条边长的三个 正整数正整数 常见的勾股数有：常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.合作探究合作探究2判断勾股数的方法：判断勾股数的方法：(1)确定是否是三个正整数；确定是否是三个正整数；(2)确定
20、最大数；确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的 平方平方导引：导引：根据勾股数的定义：满足根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整数的三个正整数 a，b，c称为勾股数称为勾股数27282，不能构成勾，不能构成勾 股数，故错误；股数，故错误；282132，不能构成勾股数，不能构成勾股数，故错误；和不是整数，所以不能构成勾股故错误；和不是整数，所以不能构成勾股 数，故错误；数，故错误；2282352，能构成勾股数，故，能构成勾股数，故 正确故选正确故选D.例例4 下面四组数中是勾股数的一组是下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8
21、 B5，8，13 C，2，D21，28，35D 确定勾股数的方法：确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度可以提高解题速度新知小结新知小结1 下面几组数中，为勾股数的一组是下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D，B巩固新知巩固新知给出下列命题：给出下列命题：如果如果a，b，c为一组勾股数，那么为一组勾股数，那么
22、4a，4b，4c仍是一组勾股数；仍是一组勾股数；如果直角三角形的两边长分别是如果直角三角形的两边长分别是3和和4，那么另一边长的平方必，那么另一边长的平方必为为25；如果一个三角形的三边长分别是如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必，那么此三角形必是直角三角形；是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边长分别是一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中，其中a是斜边长，是斜边长，那么那么a2 b2 c22 1 1.其中正确的是其中正确的是()A B C D2C(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”(1)逆命题：内错角
23、相等，两条直线平行逆命题命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判1 说出下列命题的逆命题.(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角证明：如图，过点B作MNAC，号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固(2)a=13，b=14，c=15.a2(bc)(bc)；(1)a=15，b=8，c=17；例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题易错点：忽视勾股数是正整数这一条件.(4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，思想，即将实际问题转化为数学问题；c，那么a2b2c2定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，c，且(ab)(ab)c2，则()逆定理逆定理三角
24、形两直角边分三角形两直角边分别为别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2b2c2定理定理直角三角形直角三角形！1知识小结知识小结归纳新知归纳新知下列各组数能构成勾股数的是下列各组数能构成勾股数的是_(填序号填序号)6，8，10；7，8，10；2易错小结易错小结易错点：易错点：忽视勾股数是正整数这一条件忽视勾股数是正整数这一条件.首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方本满足两个较小数的平方和等于最大数的平方本题易误认为题易误认为也是勾股数也是勾股数易错总结：易错总结：3 415 5，互逆命题互逆命题逆命题逆命
25、题课后练习课后练习逆定理逆定理BA直角三角形直角三角形不能确定a2b2是否为0ABC为等腰三角形或直角三角形CBC勾股数D解：解：ABC.证明：如图，过点B作MNAC，则MBAA，NBCC(两直线平行，内错角相等)MBAABCNBC180(平角的定义)，AABCC180(等量代换)，即ABC的内角和等于180.根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.1 勾股定理的逆定理C，2，D21，28，35QR=30.a2+b2=c2(1)确定是否是三个正整数；ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方解：根据题意，PQ=161.证明：如图，过点B作MNAC，(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角A直角三角形的两锐角互余(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相c，那么a2b2c2则MBAA，NBCC(两直线平行，内错角相等)分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，股数，故错误；1 说出下列命题的逆命题.再再 见见
