1、 求数列的通项公式求数列的通项公式 讷河市拉哈一中讷河市拉哈一中 谷洪明谷洪明求数列的通项公式求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的第数列的通项公式是数列的第n n项项a an n与与n n之间之间的关系可以用一个公式来表示的关系可以用一个公式来表示,那么这个公那么这个公式就叫做这个数列的通项公式式就叫做这个数列的通项公式.反映了数列中的每一项与每一项的序号反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系的关系基本数列的通项公式基本数列的通项公式(1)1,2,3,4,(2)1,3,5,7,(3)3,5,7,9,(4)2,4,6,8,(5)1,4,9,16,(6)2,4,8,16,nan21nan21
2、nan2nan2nan2nna (7)1,1,1,1,(8)1,1,1,1,an=(1)n1或或(1)n1 (9)等差数列的通项公式等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d (10)等比数列的通项公式等比数列的通项公式 an=a1qn1 (1)nna 一、观察法（又叫猜想法，不完全一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：归纳法）：观察数列中各项与其序观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式构成规律写出通项公式 解：
3、变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，110 nna例 2，求 数 列 3，5，9，1 7，33，解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，12 nna 可见联想与转化是由已知认识未知的两可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如的，如2，4，8，。可归纳成。可归纳成 或或 者者 两个不同的数列（两个不同的数列（便不同）便不同）nn
4、a222nnan4a通项公式为：;,72,114,21,54补充补充1：写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式,4,3,2,11,1,1,1,12,41,31,21,15,1,1,1,13,4,3,2,14,41,31,21,16,0,2,0,27,9999,999,99,98 nan1 12na,1,1,1,13 nna13 nann114 nan15 nann1161 1171nna 1108nna 总结总结:(1)(1)掌握基本数列的通项公式掌握基本数列的通项公式.(2)(2)分数形式的数列分数形式的数列,保持分数线保持分数线,分子分母分子分母分别找通项分别找通项.(3)(
5、3)当数列中有分数当数列中有分数,又有整数时又有整数时,需要把整需要把整数化成分数数化成分数,即将分母补齐即将分母补齐,然后分子分母然后分子分母分别找通项分别找通项.(4)(4)数列中的项正负交叉出现时数列中的项正负交叉出现时,常用常用 (-(-1)1)n+1n+1或或(-1)(-1)n-1n-1来调解来调解.当数列中的项是负正当数列中的项是负正出现时出现时,常用常用(-1)(-1)n n来调解来调解.(5)(5)有的数列虽然有通项公式有的数列虽然有通项公式,但通项公式但通项公式不唯一不唯一.(6)(6)并不是所有的数列都有通项公式并不是所有的数列都有通项公式数列通项公式的常见求法数列通项公式
6、的常见求法 类型类型1.已知数列的前几项已知数列的前几项,求数列的通项公式求数列的通项公式(1)3,5,9,17,(2)(3)(4)12)(12(2nnnan22nan1nnnan12 nna,.638,356,154,32,.225,8,29,2,21,.544,433,322,211(5)_1,7,_13,19,(6)9,99,999,9999,)56()1(nann11091110992110999311099994110nna,.19,13,7,1类型二、类型二、前前n项和法项和法 已知前已知前n项和，求通项公式项和，求通项公式11 (1)(2)nnnSnaSSn 211212 21
7、1 2 2 21 (1)2(1)1 212 1 2nnnnnsnnnasnassnnnnnna 解解：当当时时当当时时 1 2nn 设设an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例例2：等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用 例例2 2：已知数列：已知数列a an n的前的前n n项和公项和公式为式为s sn n=2n=2n2 2-30n:-30n:这个数列是等差数列吗？求出它这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；的通项公式；解：将解：将n-1带入数列的前带入数列的前n项和公式，得项和公式，得 Sn-1=2(n-1)2
8、-30(n-1).因此因此 an=sn-sn-1=4n-32(n2)当当n=1时，时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所也适合上式，所以这个数列的通项公式为以这个数列的通项公式为 an=4n-32.又因为又因为 an-an-1=(4n-32)-4(n-1)-32=4(n2),所以所以an是等差数列。是等差数列。等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用 变式：已知数列an的前n项和公式为sn=2n2-30n+1 这个数列还是等差数列吗？求出它的通项公式；思考？思考？如果一个数列的前如果一个数列的前n n项和的公式是项和的公式是s sn n=an=an2 2+bn+c(a,
9、b,c+bn+c(a,b,c为常数），那么这为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？个数列一定是等差数列吗？结论：结论：当当c=0c=0时这个数列是等差时这个数列是等差数列数列 类型类型2.2.已知数列的前已知数列的前n n项和项和,即即s sn n与与n n的关系的关系,求数列的通项公式求数列的通项公式.例例1.1.已知数列的前已知数列的前n n项和项和s sn n=3=3n n2,2,求它的通求它的通项公式项公式?分析分析:大家首先需要理解数列的前大家首先需要理解数列的前n n项的和项的和与前与前 n1 n1项的和项的和.sn=a1+a2+a3+an-1+an 当当 n n2 2 时时 s
10、n-1=a1+a2+a3+an-1 an=snsn-1 解解:当当n=1时时,a1=s1=31_2=1 当当n 2n 2时时,an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=33n-1_3n-1 =23n-1 由于由于a a1=1=1不适合上式不适合上式.an=练习：已知数列的前练习：已知数列的前n n项和项和sn=2n_1 求数列的通项公式求数列的通项公式132n12n1n 31,nnnnaSaAB练习：已知数列的前n项和那么一定是等差数列一定是等比数列C 既是等差数列，又是等比数列 D 既不是等差数列，也不是等比数列12,S1解：当n=1时，a11233nnnnSSn当n
11、时，a12 3.n1n 满足上式，12 3.nnanN112 32 3nnnnaa3,是一个与n无关的常数 na一定是等比数列B例例7已知下列两数列已知下列两数列 的前的前n项和项和sn的的公式，求公式，求 的通项公式。的通项公式。（1）（2）nana12 nsn解：解：（1），当，当 时时 由于由于 也适合于此等式也适合于此等式 11s2n54)1(3)1(2)32(221nnnnnssannn1a54 nan（2），当，当 时时 由于由于 不适合于此等式不适合于此等式011 sa2n12 1)1()1(221nnnssannn1a)2(12)1(0nnnannnsn322【变式训练】【变式
12、训练】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n,分别求分别求它们的通项公式它们的通项公式a an n.(1)S(1)Sn n=2n=2n2 2+3n.(2)S+3n.(2)Sn n=3=3n n+1.+1.【解析】【解析】(1)(1)由题可知由题可知,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=2=21 12 2+3+31=5,1=5,当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2n=(2n2 2+3n)-2(n-1)+3n)-2(n-1)2 2+3(n-1)=4n+1.+3(n-1)=4n+1.当当n=1n=1时时,4,41+1=5=a1+
13、1=5=a1 1,所以所以a an n=4n+1.=4n+1.(2)(2)当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=3+1=4,=3+1=4,当当n2n2时时,a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3=(3n n+1)-(3+1)-(3n-1n-1+1)=2+1)=23 3n-1n-1.当当n=1n=1时时,2,23 31-11-1=2a=2a1 1,所以所以a an n=n 14 n 12 3n 2 n N*.，考点考点2 2 a an n与与S Sn n关系式的应用关系式的应用【典例【典例2 2】(1)(1)设数列设数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n
14、=n2 2,则则a a8 8的值为的值为()A.15A.15B.16B.16C.49C.49D.64D.64(2)(2)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1,S=1,Sn n=2a=2an+1n+1,则则S Sn n=(=()n 1n 1n 1n 1321A.2 B.()C.()D.232【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.(2)(2)选选B B方法一：因为方法一：因为a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n,所以由所以由S Sn n=2a=2a
15、n+1n+1得，得，S Sn n=2(S=2(Sn+1n+1-S Sn n)，整理得，整理得3S3Sn n=2S=2Sn+1n+1，所以，所以 所以数列所以数列SSn n 是以是以S S1 1=a=a1 1=1=1为首为首项，项，为公比的等比数列，所以为公比的等比数列，所以 故选故选B B方法二方法二:因为因为S Sn n=2a=2an+1n+1,所以所以S Sn-1n-1=2a=2an n(n2),(n2),两式相减得两式相减得:a:an n=2a=2an+1n+1-2a-2an n,所以所以n 1nS3S2，3q2n 1n3S()2，n 1na3.a2已知数列已知数列aan n,a,an
16、nNN*,S,Sn n=(a an n+2)+2)2 2.(1)(1)求证求证:a:an n 是等差数列是等差数列.(2)(2)设设b bn n=a an n-30,-30,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n的最小值的最小值.所以所以a an n-a-an-1n-1=4.=4.所以所以T Tn n=(n-15)=(n-15)2 2-225.-225.当当n=15n=15时时,数列数列bbn n 的前的前n n项和有最小值为项和有最小值为-225.-225.所以所以aan n 是首项为是首项为2,2,公差为公差为4 4的的等差数列等差数列.(b bn n=a an n-3
17、0=-30=(4n-2)-30=2n-31.(4n-2)-30=2n-31.例例2：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n(n2),求通项求通项an.练：练：111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,证,证明明：类型三、类型三、累加法累加法 形如形如 的递推的递推式式1()nnaaf n11223343221 1 2 3 .3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1)=1+2 an 得得二、迭加法（又叫累加法，逐加法）二、迭加法（又叫累加法，逐加法）例3，求数列：1，3，
18、6，10，15，21，的通项公式na解：两边相加得：212aa323 aa545 aanaann1naan4321)1(21nnan434aa .,)1(1,111nnnnannaaaa求通项公式满足例二、已知数列【典例【典例3 3】(1)(1)在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+则则a an n等于等于()A.2+lnnA.2+lnnB.2+(n-1)lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnC.2+nlnn D.1+n+lnnD.1+n+lnn1ln(1),n【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.由已知由已知,a,an+1n+
19、1-a-an n=ln ,a=ln ,a1 1=2,=2,所以所以a an n-a-an-1n-1=ln (n2),=ln (n2),a an-1n-1-a-an-2n-2=ln ,=ln ,a a2 2-a-a1 1=ln ,=ln ,n 1nnn 1n 1n 221将以上将以上n-1n-1个式子叠加，得个式子叠加，得=ln n.=ln n.所以所以a an n=2+ln n(n2),=2+ln n(n2),经检验经检验n=1n=1时也适合时也适合.故选故选A.A.n1nn 12aalnlnlnn 1n 21nn 12ln()n 1 n 21已知已知a a1 1=1,a=1,an+1n+1=
20、a=an n+2n+2n，求其通项公式，求其通项公式 na例例4：12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项练：练：122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通项项类型四、类型四、累乘法累乘法形如形如 的递推式的递推式1()nnaf na123412312342322123211 3,3,3,3 .3,3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3(-1)(-1)2(-1)2 2 3 2 3nn nn nna nn2若数列 是等比数，公比为 ，则,321naaaaq 个
21、111342312.,nnnnnqqqqaaqaaqaaqaaqaa.11nnqaa若数列 满足 ，其中数列 前 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到。na)(1nfaann)(nfnna若数列若数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2=2n na an n,则数列则数列aan n 的通项的通项公式公式，a an n=.(2)(2)由于由于 将这将这n-1n-1个等式叠乘得个等式叠乘得 =2=21+2+1+2+(n-1)+(n-1)=故故a an n=答案：答案：n12n 13n 12nn12n 1aaaa22,2,2aaaa，故，n1aa1n n 1221n
22、n 1221n n 122，【变式训练】【变式训练】根据下列条件根据下列条件,确定数列确定数列aan n 的通项公式的通项公式:(1)a(1)a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+2.+2.(2)a(2)a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1(n2).(n2).(3)a(3)a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+3n+2.+3n+2.n 1n构造数列构造数列an+为等比数列为等比数列题型：题型：已知数列已知数列an中中a1=1，an+1=pan+q,求求an 如何确定如何确定？待定系数法：即即 根据已知根据已知 =1(1)11nnqqappp 所以数
23、列所以数列 是等比数列是等比数列.1nqap )(1nnapa令ppaann 1例例5：111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足,求,求分析：配凑法分析：配凑法构造辅助数列构造辅助数列 11-1111 21 121 12(1)1 2 111 211 22nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公比比的的等等比比数数列列1pq21nna例 9，已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ，且 ，求通项公式 。na4212nnnaaa11a32ana解：4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 则数列 是以4为公差的等差数列 nn
24、naab1nb2)1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2)1(41naann两边分别相加得：)1(2)1(321 41nnaan3422nnan研究研究an+1=Aan+B的数列通项的数列通项 例例2：在：在an中中a1=2,an+1=3an+2,求数列的通项公式求数列的通项公式.11132,33 1131nnnnnnaaaaaa 解：由得，即（）111131,1 31nnnnaabbaa n，令b则数列是以为13 33,31nnnna n首 项，3为 公 比 的 等 比 数 列，得 b例例3:3:已知数列已知数列a an n,首项为
25、首项为2,2,且且an+1=2an+2 求数列求数列a an n的通项公式的通项公式解解:an+1=2an+2 an+1+2=2an+4 an+1+2=2(an+2)数列数列an+2是以是以a1+2=4为首项为首项,以以2 2为为公比的等比数列公比的等比数列2221nnaa an+2=42n-1 an=2n+1_2 例例4.4.已知数列已知数列 an,an+1=3an+4,且且a1=1 求数列求数列 an的通项公式的通项公式?解解:设设an+1+r=3(an+r)则则 an+1+r=3an+3r an+1=3an+2r 由已知由已知 an+1=3an+4 2r=4,r=2 an+1+2=3(a
26、n+2)数列数列an+2是是a1+2=3为首项为首项,以以3 3为公比的等为公比的等比数列比数列 an+2=33n-1 an=3n+1_2 形如形如an+1=can+d 当当c=0c=0时时,an+1=d an=d 此数列为常数数列此数列为常数数列 当当c=1c=1时时,an+1=an+d an+1_an=d3221nnaa【加固训练】【加固训练】1.1.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知已知2a2an n-2-2n n=S=Sn n,则数列则数列aan n 的通项公式的通项公式a an n=.【解析】【解析】令令n=1n=1得得a a1 1=2.=2.由由2
27、a2an n-2-2n n=S=Sn n得得2a2an+1n+1-2-2n+1n+1=S=Sn+1n+1,-整理得整理得a an+1n+1=2a=2an n+2+2n n,即即 即数列即数列 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为 的等差的等差数列，故数列，故 故故a an n=(n+1)=(n+1)2 2n-1n-1答案：答案：(n+1)(n+1)2 2n-1n-1n 1nn 1naa1222，nna 212nna1n 11n 1222 ，2、已知数列、已知数列an，a1=1,an+1=nnaa求,1323、数列、数列an中中,a1=1,2an=nnana求),2(21例例6：111,21n
28、nnnnaaaaaa 数数列列满满足足:求求通通项项公公式式取倒法取倒法构造辅助数列构造辅助数列类型六、形如类型六、形如 的递推式的递推式1nnnpaaqap111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)221 21nnnnnaaan 当当c c变为变为n n时，上式化为时，上式化为 用叠加法用叠加法例例6 6：在数列：在数列an,a1=1,求求an解解：两边取倒数两边取倒数nnnnaaa11naann11111112aa21123aa11nnnaanannnaa 111.31134aa21
29、121naann1111naann2)1(14321111 nnnaan2212)1(12nnnnan222nnan数列数列an中中,a1=1,nnnnaNnaaa，求221、形如、形如 的递推式的递推式11nnnnaapaa例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1(-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）111,20(2),21(1)2nnnnnnnsaas snas已知数列前 项和为，且求证为例1等差数列；求的、通项公式。
30、1111nnsss2为等差数列（n-1）2=2nns1=2n112(1)nnnassn1又-=2n(1)nan 12n(2)n 11;2a 而1,12,2(1)nnann 12n 例例7 7：设：设an是首项为是首项为1 1的正数数列，且的正数数列，且（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 (nN)求它的通项公式求它的通项公式?解解:（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 分解因式为分解因式为 (an+1+an)(n+1)an+1nan=0 数列数列an是正数数列是正数数列 an+1+an0 (n+1)an+1nan=0 (n+1)an+1=nan.设设an是首项为是首项为1的
31、正数数列的正数数列，且且 求数列求数列an的通项公式的通项公式()nnnnaanananN 22110(2014(2014安徽高考安徽高考)数列数列aan n 满足满足a a1 1=1,na=1,nan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n+n(n+1),n+n(n+1),nN N*.(1)(1)证明证明:数列数列 是等差数列是等差数列.(2)(2)设设b bn n=3=3n n,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n.所以所以a an n=n=n2 2,从而从而b bn n=n=n3 3n n,、相除法相除法形如形如 的递推式的递推式11nnnaAaB A例例7：1
32、113,33,nnnnaaaaa n n数数 列列满满 足足:求求通通 项项 公公 式式.11111 33 133 133 -1 1333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是 以以 为为 首首 项项，以以为为 公公 差差 的的 等等 差差 数数 列列（）1nnnap aq 型的递推公式型的递推公式 .已知数列已知数列an中中a1=2，an+1=2an+求数列求数列an的通项公式。的通项公式。12n 1nnnap aq 型的递推公式型的递推公式 例例5.已知数列已知数列an中中a1=2，an+1=4an+求数列求数列an的通项公式。的通项公式。12n142(2,3,4,
33、)nnnaan 思思路路鉴鉴赏赏：解解法法一一（构构造造1 1）142nnnaa 112122nnnnaa 1112(1)22nnnnaa 法法二二（构构造造2 2）1124(2)nnnnaa 142nnnaa 111()244nnnnnaa 法法三三（构构造造3 3）142nnnaa 9银卷 十八 第 题 22120071,6,.nnnaaaanNan1数列 a满足a则2211,6,nnnaaaa1解：由a，3456aaaa则，51657a 11,a82,aa6nnaa6即 是周期2007a334 6 3a 3a 5.周期函数周期函数 数列 满足 数列 的前 n积为 ，则 等于解：na na
34、nnaa11,2a11nT2010a1)1().()(a(,1.a3a,.2,1,21,167020102009200865432120102010200920086543214321aaaaaaaaTaaaaaaaaaaaan的数列，所以是周期为所以an是等差数列，是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若若a1=1,且且an+am=an+m(n,mN*),则则an=_解解:n=m=1时，时，a2=a1+a1=2,得得a1=1,a2=2m=1时时,由由an+am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1-an=1n2.若若b1=2，且，且bmbn=bm+n，则，则bn=_解：解：n=
35、m=1时，时，b2=b1b1=4,即即b1=2，b2=4，m=1时时,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn b1=2bn，故故bn是首项为是首项为b1=2，公比为，公比为q=2的等比数列，的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习练习拓展视野拓展视野：数列数列 an 中中,求求an及及 Sn.为首项为首项,1为公差的等差数列为公差的等差数列.113,2,nnnaaS 1,nnnaSS 解解：122,nnnSS 111.22nnnnSS 2nnS所所以以是是以以1113222Sa 1,22nnSn 12(21).nnSn 即即1nnnaSS a1=3不适合上式不适合上式.当当n2时时,2(23)2,nn 23,1,(23)2,2.nnnann 课堂小结课堂小结:nnaa求数列的通项公式满足下列条件已知数列例,:2,2(1):11nnaaa问题一nnaaa3,2:)2(11naaann11,2(1):问题二nnnaaa3,2(2)1123,2:11nnaaa问题三利用等差数利用等差数列定义列定义利用等比数利用等比数列定义列定义累加法累加法累乘法累乘法待定系待定系数法数法构造新数列构造新数列
