1、 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理(动静法动静法)学习目的目的要求目的要求1对惯性力的概念有清晰的理解。对惯性力的概念有清晰的理解。2掌握质点系惯性力简化的方法，能掌握质点系惯性力简化的方法，能正确地计算平动、定轴转动和平面运动正确地计算平动、定轴转动和平面运动刚体惯性力系的主矢和主矩，注意不同刚体惯性力系的主矢和主矩，注意不同运动刚体惯性力系简化中心的选择。运动刚体惯性力系简化中心的选择。3能熟练地应用达朗贝尔原理（动静能熟练地应用达朗贝尔原理（动静法）求解动力学问题。法）求解动力学问题。达朗贝尔达朗贝尔 (1717-1783)是法国著名的物是法国著名的物 理学家、数学家和天文学家
2、，一生研究了理学家、数学家和天文学家，一生研究了 大量课题，完成了涉及多个科学领域的论大量课题，完成了涉及多个科学领域的论 文和专著，其中最著名的有文和专著，其中最著名的有8卷巨著卷巨著数学数学 手册手册、力学专著、力学专著动力学动力学、23卷的卷的 文集文集、百科全书百科全书的序言等等。他的的序言等等。他的 很多研究成果记载于很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点宇宙体系的几个要点研究研究中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬
3、礼。会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、三角级数理论、流体力学的主要开拓者。另外，达朗贝三角级数理论、流体力学的主要开拓者。另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论、力学、天文学等方面都有所尔在复数的性质、概率论、力学、天文学等方面都有所研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。第一节第一节 惯性力惯性力 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 开普勒：任何物体都将给予企图改变它运动开普勒：任何物体都将给予企图改变它运动状态的其它物体以阻力（惯性力）。状态的其它物体
4、以阻力（惯性力）。当物体受到力的作用，其运动状态发生变化时当物体受到力的作用，其运动状态发生变化时，由于物体的，由于物体的惯性惯性，对外界产生反作用，抵抗运动，对外界产生反作用，抵抗运动的变化。这种抵抗力称为的变化。这种抵抗力称为惯性力惯性力。惯性力惯性力的大小等于质量乘加速度，方向与加速的大小等于质量乘加速度，方向与加速度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上。FI=ma 13-1 13-1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理NFFam0amFFN令令amFI惯性力惯性力有有0INFFF 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理:作用
5、在质点的主动力、作用在质点的主动力、约束力和约束力和虚加的惯性力虚加的惯性力在形式上组成平衡力系在形式上组成平衡力系.动静法动静法应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法解题步骤：解题步骤：1、分析质点所受的主动力和约束力；、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。FI=ma例例13-113-1已知已知:60,m3.0,kg1.0lm求求:.,TFv用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解解解:2sinInvFmaml
6、0ITFFgm0,cos0bTFFmg0,sin0nTIFFF解得解得N96.1cosmgFTsm1.2sin2mlFvT 13-2 13-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理记记)(eiF为作用于第为作用于第i i个质点上外力的合力个质点上外力的合力.)(iiF为作用于第为作用于第i i个质点上内力的合力个质点上内力的合力.则有则有 00000IiiieiIiiieiFMFMFMFFFniFFFIiNii,2,10质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动质点系中每个质点上作用的主动力力,约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系约束力和它的惯性力在形式上组成
7、平衡力系.因因 ,0,00iiiiFMF有有 0000IieiIieiFMFMFF也称为质点系的达朗贝尔原理也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.已知：已知：如图所示如图所示,定滑轮的半径为定滑轮的半径为r,质量为质量为m均匀分布在轮缘均匀分布在轮缘 上上,绕水平轴绕水平轴转动转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为为m1 1和和m2 2的重物的重物(m m2),),绳与轮间不打滑绳与轮间不打滑,轴承摩擦轴承摩擦 忽略不计。忽略不计。求：重物
8、的加速度求：重物的加速度.例例13-213-2解解:amFamFII2211,amrmFiitIi0,02211armramgmamgmMiO由由mararmarmii解得解得gmmmmma2121rvmFinIi2已知：已知：飞轮质量为飞轮质量为m,半径为半径为,以匀角速度以匀角速度 定轴转动，设定轴转动，设 轮辐质量不计轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力不考虑重力 的影响的影响.求求:轮缘横截面的张力轮缘横截面的张力.例例13-313-3解解:22RRRmamFiniiIi0cos,0AIixFFF0sin,0BIiyFFF令令,0i2mRR2mF222
9、0Adcos2mRR2mF2220Bdsin 13-3 13-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 CeiIRamFF 刚体平移刚体平移惯性力系向质心简化惯性力系向质心简化.只简化为一个力只简化为一个力CIRamF2 2 刚体定轴转动刚体定轴转动0ICM惯性力系向点惯性力系向点O简化简化.()()IOiIiiiCi iCCCMr Frmamramra 平移刚体的惯性力系可以简化为平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向反向。加速度方向反向。COiIiFCairCri
10、itiitIirmamF2iiniinIirmamFtnIxxIixIixIiMMFMFMF)sin(cos2iiiiiiiizrmzrm由由iiiiiiryrxsin,cos有有iiiiiixIzymzxmM2记记iiizxiiizyzxmJzymJ,为为对于对于z 轴的惯性积轴的惯性积.2yzxzIxJJM同理同理2xzyzIyJJM2tnIzzI izI ii iii izMMFMFmr rmrJ IzzMJ IOIxIyizMM iMjM k如果刚体如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中简化中心取此平面与转轴的交点心取此平面与转轴的交点,则则0,0
11、iiiyziiixzzymJzxmJzIzIOJMM刚体作平面运动刚体作平面运动（平行于质量对称面）（平行于质量对称面）IcCIRCMJFma 向质心简化向质心简化第三节 刚体惯性力系的简化1、平移刚体惯性力系的简化、平移刚体惯性力系的简化刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。力。其方向与平移加速度的方向相反，大小等于其方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积刚体质量与加速度的乘积。刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关以刚体
12、质心为简化中心（各点相对质心静止）以刚体质心为简化中心（各点相对质心静止）CmaFIR0MIC第三节 刚体惯性力系的简化2、定轴转动刚体惯性力系的简化、定轴转动刚体惯性力系的简化 MIOCanCanRFRF)(RnCCCiimmmaaaaFRFziiiiOJrrmMM)(OFRF 第三节 刚体惯性力系的简化当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。一个力偶。定轴转动刚体惯性力系的简化定轴转动刚体惯性力系的简化MIC MIORFRF)(RnCCCmmaaaF第三节
13、刚体惯性力系的简化3、平面运动刚体惯性力系的简化、平面运动刚体惯性力系的简化 具有质量对称平面的刚体具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。与质量对称平面互相平行。惯性力系简化为对称平面内惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。的一个力和一个力偶。MIC 例题例题1 1、质量为、质量为m、半径为、半径为R的均质圆板的均质圆板C，绕其，绕其边缘一点边缘一点O转动，设在图示瞬时的角速度为转动，设在图示瞬时的角速度为，角，角加速度为加速度为，求此时，求此时圆板圆板惯性力系分别向惯性力系分别向C点和点和O点简化的结果。点简化的结果。COMI=(
14、mR2)/2FIn=m 2RFI=m RFIn=m 2RFI=m RMI=(3mR2)/2第三节 刚体惯性力系的简化 例题例题2、均质杆均质杆OA长长l，质量为，质量为m，其，其O端用铰端用铰链支承，链支承，A端用细绳悬挂，如图所示，试求将细绳端用细绳悬挂，如图所示，试求将细绳突然剪断瞬时，铰链突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。的约束反力。OAFOxFOymg（ml2）/12m l/2第三节 刚体惯性力系的简化例题例题3、已知圆盘、已知圆盘 m,r,a,只滚不滑。只滚不滑。求求:圆盘中心的加速度及摩擦力。圆盘中心的加速度及摩擦力。CmgNFs=a/raJC=JCa/rma已知：如图所示均质杆的质
15、量为已知：如图所示均质杆的质量为m,长为长为l,绕定轴绕定轴O转动的角转动的角 速度为速度为 ,角加速度为角加速度为 .求：惯性力系向点求：惯性力系向点及质心简化的结果及质心简化的结果(方向在图上画出方向在图上画出).例例13-413-4解解:2lmFtIO22lmFnIO231mlMIO已知：如图所示已知：如图所示,电动机定子及其外壳总质量为电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于质心位于O 处处.转子的质量为转子的质量为m2,质心位于质心位于 处处,偏心矩偏心矩e,图示平面为转子的质量对称面图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定电动机用地角螺钉固定 于水平基础上于水平基础上,轴轴
16、O O与水平基础间的距离为与水平基础间的距离为h h.运动开始时运动开始时,转子质心转子质心位于最低位置位于最低位置,转子以匀角速度转子以匀角速度 转动转动.求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力.例例13-513-5解解:22emFI0sin,0IxxFFF20,sinsin0AIMMm geF h因因得,t22sinxFm et temgmmFycos2221themtgemMsinsin222120,()cos0yyIFFmm gF已知：已知：如图所示如图所示,电动绞车安装在梁上电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上梁的两端搁在支座上,绞车与梁共重为绞车
17、与梁共重为P.绞盘半径为绞盘半径为R,与电机转子固结在一与电机转子固结在一 起起,转动惯量为转动惯量为J,质心位于质心位于O 处处.绞车以加速度绞车以加速度a提升质提升质 量为量为m的重物的重物,其它尺寸如图其它尺寸如图.求：支座求：支座A，B受到的附加约束力受到的附加约束力.例例13-613-6解解:maFI解得解得:RJmlaPlmglllFA232211RaJJM0I2231200BIIOAMmglF lPlMFll00IBAyFPmgFFFRJmlalllPmglllFB13211211AFBFIOMIF上式中前两项为静约束力上式中前两项为静约束力,附加约束力为附加约束力为RJmlll
18、aFA221RJmlllaFB121已知：均质圆盘已知：均质圆盘1,m R均质杆均质杆22,.lR m纯滚动纯滚动.求：求：F 多大多大,能使杆能使杆B 端刚好离开地面端刚好离开地面?纯滚动的条件纯滚动的条件?例例13-713-7B解解:刚好离开地面时刚好离开地面时,地面约束力为零地面约束力为零.030cos30sin022gRmaRmMAga3研究研究 AB 杆杆AxFAyFICF解得解得gmmF3232120sin30cos300DMFR F R MF RmgRIAIAIC研究整体研究整体得得2111,2aFm a Mm RRIAIAABDFIAFmgSFNF2m gICFIAM0021a
19、mmFFFsxgmFs123gmmfFfFsNss21解得解得21123mmmFFfNss00 xIxRxBxAxFFFFF 13-4 13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力00yIyRyByAyFFFFF00zRBzzFFF00 xIxyAyBxMMOAFOBFM00yIyBxAxyMMOBFOAFM解得解得 1AxyRxIyIxFMF OBMF OBAB OBFMOBFMABFIyIxRyxAy1 1BxyRxIyIxFMF OAMF OAAB OAFMOAFMABFIyIxRyxBy1RzBzFF0,0IyIxIyIxMMFF即即:000022xzyzIyyz
20、xzIxCyIyCxIxJJMJJMmaFmaF必有必有0Ca0yzxzJJ通过质心的惯性主轴称为通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴中心惯性主轴引起的轴承约束力称动约束力引起的轴承约束力称动约束力,由由IOIRMF,称满足称满足的轴的轴z z为为惯性主轴惯性主轴0yzxzJJ动约束力为零的条件为动约束力为零的条件为:静平衡：静平衡：刚体的转轴通过质心，刚体除重力外，没有受刚体的转轴通过质心，刚体除重力外，没有受 到其他主动力作用，则刚体在任意位置可以静到其他主动力作用，则刚体在任意位置可以静 止不动。止不动。动平衡：动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体当刚体的转轴通过质心且为惯性主
21、轴时，刚体 转动不出现动约束力。转动不出现动约束力。因此因此,避免出现轴承动约束力的条件是避免出现轴承动约束力的条件是:刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴.转轴转轴AB与轮盘的质量对称面垂直与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心但轮盘的质心C不在转轴上不在转轴上,偏心距偏心距 当轮盘以均转速当轮盘以均转速 转动转动.已知：如图所示已知：如图所示,轮盘轮盘(连同轴连同轴)的质量的质量,kg20m.mm1.0er12000minn求：轴承求：轴承A,B的约束力的约束力例例13-813-8解解:222n158easms13012000 m10000.13160NnInFmanINBNAFmgFF211680NN31609.82021NAFNBFIFemg
