1、 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学数学 本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷 （非选择题）两部分， 共卷 （非选择题）两部分， 共 150 分， 考试用时分， 考试用时 120分钟 第分钟 第 卷卷 1 至至 3 页，第页，第卷卷 4 至至 6 页页 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试
2、结粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 第第 I 卷卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干 净净后，再选涂其他答案标号后，再选涂其他答案标号 2本卷共本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件A与事件与事件B互斥，那么互斥，那么 ()( )(
3、 )P ABP AP B 如果事件如果事件A与事件与事件B相互独立，那么相互独立，那么 ()( ) ( )P ABP A P B 球的表面积公式球的表面积公式 2 4SR，其中，其中R表示球的半径表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设全集 3, 2, 1,0,1,2,3U ，集合 1,0,1,2, 3,0,2,3AB ，则 U AB （ ） A. 3,3 B. 0,2 C. 1,1 D. 3, 2, 1,1,3 【答案】C 【解析】 【分析】 首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集
4、合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知： U 2, 1,1B ，则 U 1,1AB . 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 2.设aR，则“ 1a ”是“ 2 aa ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式 2 aa可得： 1a 或0a ， 据此可知：1a 是 2 aa的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基
5、础题. 3.函数 2 4 1 x y x 的图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得： 2 4 1 x fxf x x ，则函数 f x为奇函数，其图象关于坐标原点 对称，选项 CD错误； 当1x 时， 4 20 1 1 y ，选项 B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域， 判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性， 判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性， 判断图象的
6、对称性 (4) 从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项 4.从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：mm） ，将所得数据分为 9组： 5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零 件中，直径落在区间5.43,5.47)内的个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直方图确定直径落在区间5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间5.43,5.47之间的零件频率为：6.25
7、5.000.020.225， 则区间5.43,5.47内零件的个数为：80 0.22518. 故选：B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 5.若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】 求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即 222 2 32 32 3 3 2 R ， 所以，这个球的表面积为 22 44336SR . 故选：C. 【点睛】本题考查正方体
8、的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求 多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有： （1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长 方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； （2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助 球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； （3）如果设计几何 体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 6.设 0.8 0.7 0.7 1 3,log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. bca D.
9、 cab 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的性质，即可得出, ,a b c的大小关系. 【详解】因为 0.7 31a ， 0.8 0.80.7 1 33 3 ba ， 0.70.7 log0.8log0.71c ， 所以1cab . 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数 函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性： x ya，当1a 时，函数递增；当01a时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：logayx，当1a 时，函数递增；当01a时
10、，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或 1 等. 7.设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, ) b的直线为l若C的一 条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ） A. 22 1 44 xy B. 2 2 1 4 y x C. 2 2 1 4 x y D. 22 1xy 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的焦点1,0可求得直线l的方程为1 y x b ，即得直线的斜率为b，再根据双曲线的渐近线的 方程为 b yx a ，可得 b b a ，1 b b a 即可求出, a b，得到双曲线的方程 【详
11、解】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为1 y x b ，即直线的斜率为b， 又双曲线的渐近线的方程为 b yx a ，所以 b b a ，1 b b a ，因为0,0ab，解得1,1ab 故选：D 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用， 属于基础题 8.已知函数( ) sin 3 f xx 给出下列结论： ( )f x的最小正周期为2； 2 f 是 ( )f x的最大值； 把函数 sinyx 的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，可得到函数( )yf x的图象 其中所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 【答案】B
12、【解析】 【分析】 对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为( )sin() 3 f xx ，所以周期 2 2T ，故正确； 51 ()sin()sin1 22362 f ，故不正确； 将函数 sinyx 的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，得到sin() 3 yx 的图象， 故正确. 故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是 一道容易题. 9.已知函数 3, 0, ( ) ,0. xx f x xx 若函数 2 ( )( )2()g xf xkxxkR恰有 4个零点，则k的取值范围 是（ ） A. 1 ,(
13、2 2,) 2 B. 1 ,(0,2 2) 2 C. (,0)(0,2 2) D. (,0)(2 2,) 【答案】D 【解析】 【分析】 由(0)0g， 结合已知， 将问题转化为|2|ykx与 ( ) ( ) | f x h x x 有3个不同交点， 分0,0,0kkk三 种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g，所以要使( )g x恰有 4个零点，只需方程 ( ) |2| | f x kx x 恰有 3个实根 即可， 令 ( )h x ( ) | f x x ，即|2|ykx与 ( ) ( ) | f x h x x 的图象有3个不同交点. 因为 2, 0( ) ( )
14、1,0 xxf x h x xx ， 当0k 时，此时 2y ，如图 1， 2y 与 ( ) ( ) | f x h x x 有2个不同交点，不满足题意； 当k0时，如图 2，此时|2|ykx与 ( ) ( ) | f x h x x 恒有3个不同交点，满足题意； 当0k 时，如图 3，当2ykx与 2 yx=相切时，联立方程得 2 20xkx， 令0 得 2 80k ，解得 2 2k （负值舍去） ，所以 2 2k . 综上，k的取值范围为(,0)(2 2,). 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 绝密绝密启用前启用前 2020
15、 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学数学 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 30 分试题中包含两个空的，答对分试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5分分 10.i是虚数单位，复数 8 2 i i _ 【答案】3 2i 【解析】 【分析】 将分子分母同乘以分母的共轭复数，然
16、后利用运算化简可得结果. 【详解】 82815 10 32 2225 iiii i iii . 故答案为：3 2i. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 11.在 5 2 2 x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 【答案】10 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项公式，整理后令x的指数为 2，即可求出 【详解】因为 5 2 2 x x 的展开式的通项公式为 55 3 155 2 2 20,1,2,3,4,5 r rrrrr r TC xCxr x ，令 5 32r，解得1r 所以 2 x的系数为 1 5 210C 故答案为：10 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，
17、属于基础题 12.已知直线380xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若| 6AB ，则r的值为 _ 【答案】5 【解析】 【分析】 根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公 式 22 | 2ABrd ，即可求得r 【详解】因为圆心0,0到直线380xy的距离 8 4 1 3 d ， 由 22 | 2ABrd 可得 22 624r ，解得=5r 故答案为：5 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 假定两球是否落入盒子互不影
18、响，则甲、乙两球都落入 盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 【答案】 (1). 1 6 (2). 2 3 【解析】 【分析】 根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的 概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 1 , 2 3 ， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子概率为 111 236 ， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为 111 (1)(1) 233 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 2 3 . 故答案为： 1 6 ； 2 3 . 【点睛】本题主要考查独
19、立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知 0,0ab ，且1ab ，则 118 22abab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为 8 2 ab ab ，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0abab ，1ab , 1188 2222 abab abababab 88 24 22 abab abab ，当且仅当ab=4 时取等号， 结合1ab ,解得 23,23ab ，或23,23ab时，等号成立. 故答案为：4 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形ABC
20、D中，60 ,3BAB ，6BC ，且 3 , 2 ADBCAD AB ，则实数 的值为_，若 ,M N是线段BC上的动点，且| | 1MN ，则DM DN 的最小值为_ 【答案】 (1). 1 6 (2). 13 2 【解析】 【分析】 可得120BAD，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点,0M x，则点1,0N x（其中05x） ，得出DM DN 关于x的函数 表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN 的最小值. 【详解】 ADBC ，/AD BC，180120BADB， cos120AB ADBC ABBCAB 13
21、639 22 ， 解得 1 6 ， 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy， 66,0BCC，, 3,60ABABC，A的坐标为 3 3 3 , 22 A , 又 1 6 ADBC,则 5 3 3 , 22 D ，设,0M x，则1,0N x（其中05x） ， 53 3 , 22 DMx ， 33 3 , 22 DNx ， 2 2 2 533 32113 42 22222 DM DNxxxxx ， 所以，当2x时，DM DN 取得最小值13 2 . 故答案为： 1 6 ；13 2 . 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考
22、查计算能力，属于 中等题. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求sin2 4 A 的值 【答案】 （） 4 C =； （） 2 13 sin 13 A； （） 17 2 sin 2 426 A . 【解析】 【分析】 （）直接利用余弦定理运算即可； （）由（）及正弦定理即可得到答案； （）先计算出sin ,cos ,AA进一步求出sin
23、2 ,cos2AA，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 （）在ABC中，由2 2,5,13abc及余弦定理得 222 825 132 cos 222 2 25 abc C ab ， 又因为(0, )C，所以 4 C =； （）在ABC中，由 4 C =， 2 2,13ac 及正弦定理，可得 2 2 2 sin 2 sin 13 aC A c 2 13 13 ； （）由ac知角A为锐角，由 2 13 sin 13 A，可得 2 cos1 sinAA 3 13 13 ， 进而 2 125 sin22sincos,cos22cos1 1313 AAAAA ， 所以 12252 sin(2)s
24、in2 coscos2 sin 444132132 AAA 17 2 26 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学 运算能力，是一道容易题. 17.如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC， 1 3CC ，点,DE分 别在棱 1 AA和棱 1 CC上，且12,ADCEM 为棱 11 AB的中点 （）求证： 11 C MB D； （）求二面角 1 BB ED的正弦值； （）求直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值 【答案】 （）证明见解析； （） 30 6 ； （） 3 3 . 【解析】
25、【分析】 以C为原点，分别以 1 ,CA CB CC的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. （）计算出向量 1 C M和 1 B D的坐标，得出 11 0C M BD，即可证明出 11 C MB D； （）可知平面 1 BB E的一个法向量为CA，计算出平面 1 B ED的一个法向量为n，利用空间向量法计算出 二面角 1 BB ED的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （）利用空间向量法可求得直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值. 【详解】依题意，以C为原点，分别以CA、CB、 1 CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角 坐标系（如图） ， 可得0,0
26、,0C、2,0,0A、0,2,0B、 1 0,0,3C、 1 2,0,3A、 1 0,2,3B、2,0,1D、0,0,2E、1,1,3M. （）依题意， 1 1,1,0C M ， 1 2, 2, 2B D ， 从而 11 2200C M BD ，所以 11 C MB D； （）依题意，2,0,0CA是平面 1 BB E的一个法向量， 1 0,2,1EB ，2,0, 1ED 设, ,nx y z为平面 1 DB E的法向量， 则 1 0 0 n EB n ED ，即 20 20 yz xz ， 不妨设1x ，可得1, 1,2n 26 cos, 626 C CA n A C n A n ， 2 3
27、0 sin,1 cos, 6 CA nCA n 所以，二面角 1 BB ED的正弦值为 30 6 ； （）依题意，2,2,0AB 由（）知1, 1,2n 为平面 1 DB E的一个法向量，于是 43 cos, 32 26 AB n AB n ABn 所以，直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值为 3 3 . 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力， 属于中档题. 18.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 (0, 3)A ， 右焦点为F， 且| |OAOF， 其中O为原点 （）求椭圆方程； （）已知点C满足3O
28、C OF ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点） ，直线AB与以C为圆心的圆相切 于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程 【答案】 （） 22 1 189 xy ； （） 1 3 2 yx，或3yx 【解析】 【分析】 （）根据题意，并借助 222 abc，即可求出椭圆的方程； （）利用直线与圆相切，得到CPAB，设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进 而求出P点坐标，再根据CPAB，求出直线AB的斜率，从而得解. 【详解】 （）椭圆 22 22 10 xy ab ab 的一个顶点为 0, 3A， 3b， 由OAOF，得3cb， 又由 222 abc，得 222 8313a
29、， 所以，椭圆的方程为 22 1 189 xy ； （）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CPAB， 根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在， 设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为3ykx+ =，即3ykx， 22 3 1 189 ykx xy ，消去y，可得 22 21120kxkx，解得 0x或 2 12 21 k x k . 将 2 12 21 k x k 代入3ykx，得 2 22 1263 2121 3 k y kk k k ， 所以，点B的坐标为 2 22 1263 , 21 21 kk kk ， 因为P为线段AB的中点，点A的坐标为0, 3， 所以点P的坐标为 2
30、2 63 , 21 21 k kk ， 由3OC OF ，得点C的坐标为1,0， 所以，直线CP的斜率为 2 2 2 3 0 3 21 6 261 1 21 CP k k kk k k ， 又因为CPAB，所以 2 3 1 261 k kk ， 整理得 2 2310kk ，解得 1 2 k 或1k . 所以，直线AB的方程为 1 3 2 yx或3yx. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式 以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置 关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 19.
31、已知 n a为等差数列， n b为等比数列， 11543543 1,5,4abaaabbb （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n a的前n项和为 n S，求证： 2* 21nnn S SSn N； （）对任意的正整数n，设 2 1 1 32 , ,. nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列 n c的前2n项和 【答案】 （） n an， 1 2n n b ； （）证明见解析； （） 4654 219 49 n n n n . 【解析】 【分析】 ()由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； ()利用()的结
32、论首先求得数列 n a前 n 项和，然后利用作差法证明即可； ()分类讨论 n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 21 1 n k k c 和 2 1 n k k c 的值，据此进一步计算数列 n c的前 2n项和即可. 【详解】()设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为 q. 由 1 1a ， 543 5aaa，可得 d=1. 从而 n a的通项公式为 n an. 由 1543 1,4bbbb， 又 q0，可得 2 440qq，解得 q=2， 从而 n b的通项公式为 1 2n n b . ()证明：由()可得 (1) 2 n n n
33、 S ， 故 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn ， 22 2 1 1 12 4 n Snn ， 从而 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn ， 所以 2 21nnn S SS . ()当 n奇数时， 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn ， 当 n为偶数时， 1 1 1 2 n n n n an c b ， 对任意的正整数 n，有 2222 21 11 222 1 212121 kkn nn k kk c kkn ， 和 2 231 11 211352321 444444 nn k knn kk
34、knn c 由得 2 2314 1 11352321 444444 n k nn k nn c 由得 2 211 1 21 1 31222112144 1 4444444 1 4 nn k nnn k nn c ， 由于 11 21 1 121221121156544 1 44334444123 4 1 4 n nnnn nnn ， 从而得： 2 1 565 99 4 n k n k n c . 因此， 2 212 111 4654 219 49 n nnn kkk n kkk n ccc n . 所以，数列 n c的前 2n项和为 4654 219 49 n n n n . 【点睛】本题主要
35、考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等 题. 20.已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR，( )fx 为 ( )f x的导函数 （）当6k 时， （i）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （ii）求函数 9 ( )( )( )g xf xfx x 的单调区间和极值； （）当3k时，求证：对任意的 12 ,1,)xx ，且 12 xx，有 1212 12 2 fxfxf xf x xx 【答案】 （） （i）98yx； （ii）( )g x的极小值为(1)1g，无极大值； （）证明见解析. 【解析】 【分析】 () (i)首先求
36、得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得 g x 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （）首先确定导函数的解析式，然后令 1 2 x t x ，将原问题转化为与t有关的函数，然后构造新函数，利用 新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】() (i) 当 k=6 时， 3 6lnf xxx， 2 6 3fxx x .可得 11f， 19f， 所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为191yx ，即98yx. (ii) 依题意， 32 3 36ln,0,g xxxxx x . 从而可得 2 2 63 36gxxx x
37、x ， 整理可得： 3 2 3(1) (1) ( ) xx g x x ， 令 0gx ，解得1x . 当 x变化时， ,gxg x的变化情况如下表： x () 0,1 1x () 1,+? gx 0 g x 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+)； g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值. （）证明：由 3 ( )lnf xxkx，得 2 ( )3 k fxx x . 对任意的 12 ,1,)xx ，且 12 xx，令 1 2 (1) x tt x ，则 121212 2xxfxfxf xf x 2233 1 121212 1
38、22 332ln xkk xxxxxxk xxx 3322 121 121212 212 332 ln xxx xxx xx xkk xxx 332 2 1 3312lnxtttk tt t . 令 1 ( )2ln ,1,)h xxxx x . 当 x1时， 2 2 121 ( )110h x xxx ， 由此可得 h x在1,单调递增，所以当 t1时， 1h th，即 1 2ln0tt t . 因为 2 1x ， 323 331(1)0tttt ，3k ， 所以 33232 2 11 3312ln33132lnxtttk ttttttt tt 32 3 36ln1ttt t . 由()(i
39、i)可知，当1t 时， 1g tg，即 32 3 36ln1ttt t ， 故 32 3 36ln10ttt t 由可得 121212 20xxfxfxf xf x . 所以，当3k 时，任意的 12 ,1,x x ，且 12 xx，有 1212 12 2 fxfxf xf x xx . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数 的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
