1、第二十一章一元二次方程复习课主题主题1 1 一元二次方程及根的有关概念一元二次方程及根的有关概念【主题训练主题训练1 1】若若(a-3)+4x+5=0(a-3)+4x+5=0是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程,则则a a的值为的值为()C.C.3 3D.D.无法确定无法确定【自主解答自主解答】选选B.B.因为方程是关于因为方程是关于x x的一元二次方程的一元二次方程,所以所以a a2 2-7=2,7=2,且且a-30,a-30,解得解得a=-3.a=-3.2a7x【主题升华主题升华】一元二次方程的有关定义及根一元二次方程的有关定义及根1.1.一元二次方程满足的四个条件一元二次方程满
2、足的四个条件.A A整式方程整式方程B B只含有一个未知数只含有一个未知数C C未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2D D二次项系数不为二次项系数不为0 02.2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一次项的系数一次项的系数和常数项可以为和常数项可以为0.0.3.3.根能使方程左右两边相等根能使方程左右两边相等,已知一个根已知一个根,可代入确定方程中的可代入确定方程中的字母系数字母系数.1.1.下列方程中下列方程中,一定是一元二次方程的是一定是一元二次方程的是()2 2+bx+c=0+bx+c=0B.B.x x2 2=0=02 2+2y-+2y-
3、=0=02 2+-5=0-5=0【解析解析】选中的二次项系数缺少不等于选中的二次项系数缺少不等于0 0的条件的条件,C,C中含有两个中含有两个未知数未知数,D,D中的方程不是整式方程中的方程不是整式方程.12124x2.2.若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+5=0(a0)+bx+5=0(a0)的解是的解是x=1,x=1,则则2013-a-b2013-a-b的值是的值是()A.2 018A.2 018B.2 008B.2 008C.2 014C.2 014D.2 012D.2 012【解析解析】选选A.x=1A.x=1是一元二次方程是一元二次方程axax2 2+
4、bx+5=0+bx+5=0的一个根的一个根,aa1 12 2+b+b1+5=0,a+b=-5,2013-a-b=2013-(a+b)=1+5=0,a+b=-5,2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.2013-(-5)=2018.3.3.一元二次方程一元二次方程2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0的二次项系数是的二次项系数是,一次项一次项系数是系数是,常数项是常数项是.【解析解析】项和系数都包括它前面的符号项和系数都包括它前面的符号,所以二次项系数是所以二次项系数是2,2,一次项系数是一次项系数是-3,-3,常数项是常数项是-2.-2.答案答案:2 2-3-
5、3-2-2主题主题2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法【主题训练主题训练2 2】解方程解方程x x2 2-2x-1=0.-2x-1=0.【自主解答自主解答】移项得移项得:x:x2 2-2x=1,-2x=1,配方得配方得:x:x2 2-2x+1=2,-2x+1=2,即即(x-1)(x-1)2 2=2,=2,开方得开方得:x-1=:x-1=,x=1x=1 ,所以所以x x1 1=1+,x=1+,x2 2=1-.=1-.2222【备选例题备选例题】方程方程a a2 2-4a-7=0-4a-7=0的解是的解是.【解析解析】a a2 2-4a-7=0,-4a-7=0,移项得移项得:a:a2 2-
6、4a=7,-4a=7,配方得配方得:a:a2 2-4a+4=7+4,-4a+4=7+4,(a-2)(a-2)2 2=11,=11,两边直接开平方得两边直接开平方得:a-2=:a-2=,a=2 ,a=2 .答案答案:a a1 1=2+,a=2+,a2 2=2-=2-11111111【主题升华主题升华】一元二次方程解法选择一元二次方程解法选择若没有特别说明若没有特别说明,解法选择的基本顺序是直接开平方法解法选择的基本顺序是直接开平方法因式因式分解法分解法公式法公式法.配方法使用较少配方法使用较少,除非题目有明确要求才使用除非题目有明确要求才使用.1.1.已知已知b0,b0,关于关于x x的一元二次
7、方程的一元二次方程(x-1)(x-1)2 2=b=b的根的情况是的根的情况是()A.A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.没有实数根没有实数根D.D.有两个实数根有两个实数根【解析解析】选选C.(x-1)C.(x-1)2 2=b=b中中b0,b0,没有实数根没有实数根.2 2若将方程若将方程x x2 2+6x=7+6x=7化为化为(x+m)(x+m)2 2=16,=16,则则m=m=.【解析解析】在方程在方程x x2 2+6x=7+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的的两边同时加上一次项系数的一半的平方平方,得得x x2 2+6x+
8、3+6x+32 2=7+3=7+32 2,配方配方,得得(x+3)(x+3)2 2=16.=16.所以所以,m=3.,m=3.答案答案:3 33.3.解方程解方程:(x-3):(x-3)2 2-9=0.-9=0.【解析解析】移项得移项得:(x-3):(x-3)2 2=9,=9,两边开平方得两边开平方得x-3=x-3=3,3,所以所以x=3x=33,3,解得解得:x:x1 1=6,x=6,x2 2=0.=0.主题主题3 3 根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系【主题训练主题训练3 3】若若5k+200,5k+200,则关于则关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+4x
9、-k=0+4x-k=0的根的情况是的根的情况是()A.A.没有实数根没有实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D.D.无法判断无法判断【自主解答自主解答】选选A.=16+4k=(5k+20),A.=16+4k=(5k+20),5k+200,0,5k+200,0-4ac0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根.(2)(2)当当=b=b2 2-4ac=0-4ac=0时时,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根.(3)(3)当当=b=b2 2-4ac0-4acxx2 2).).12121 2xx11xxxx；2121
10、2(xx)4xx1 1下列一元二次方程有两个相等实数根的下列一元二次方程有两个相等实数根的是是()2 2+3=0+3=02 2+2x=0+2x=0C.(x+1)C.(x+1)2 2=0=0 D.(x+3)(x-1)=0D.(x+3)(x-1)=0【解析解析】选选C.C.选项选项一元二次方程的解一元二次方程的解A A项项方程可化为方程可化为x x2 2=-3,=-3,方程无解方程无解B B项项可化为可化为x(x+2)=0,x(x+2)=0,方程的解为方程的解为x x1 1=0,x=0,x2 2=-2=-2C C项项方程的解为方程的解为x x1 1=x=x2 2=-1=-1D D项项方程的解为方程
11、的解为x x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-32.2.已知一元二次方程已知一元二次方程:x x2 2+2x+3=0,+2x+3=0,x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.都有实数解都有实数解B.B.无实数解无实数解,有实数解有实数解C.C.有实数解有实数解,无实数解无实数解D.D.都无实数解都无实数解【解析解析】选选B.B.一元二次方程的判别式的值为一元二次方程的判别式的值为=b=b2 2-4ac=4-4ac=4-12=-80,12=-80,-4ac=4+12=160,所以方程有两个不相等的实数根所以方程有两个不相等的实数根.3.3.已知
12、一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-6x+c=0-6x+c=0有一个根为有一个根为2,2,则另一根为则另一根为()【解析解析】选选C.C.由题意由题意,把把2 2代入原方程得代入原方程得:2:22 2-6-62+c=0,2+c=0,解得解得c=8,c=8,把把c=8c=8代入方程得代入方程得x x2 2-6x+8=0,-6x+8=0,解得解得x x1 1=2,x=2,x2 2=4.=4.4.4.若若x x1 1,x,x2 2是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的两个根的两个根,则则x x1 1x x2 2的值是的值是()【解析解析】选选B.xB.x1 1x
13、 x2 2=,x=,x1 1x x2 2=-3.=-3.ca5.5.关于关于x x的方程的方程axax2 2-(3a+1)x+2(a+1)=0-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根x x1 1,x,x2 2,且有且有x x1 1-x-x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,则则a a的值是的值是()或或-1-1【解析解析】选选B.B.由题意由题意:x:x1 1+x+x2 2=,x=,x1 1x x2 2=,=,因为因为x x1 1-x x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,所以所以 -=1-a,-=1-a,即即 =1-a,=1-a,
14、解得解得a a1 1=1,=1,a a2 2=-1.=-1.当当a=1a=1时时,原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根,不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以a=-1.a=-1.3a 1a2a 2a3a 1a2a 2aa 1a主题主题4 4 一元二次方程的应用一元二次方程的应用【主题训练主题训练4 4】某校为某校为培养青少年科技创新能力培养青少年科技创新能力,举办了动漫制举办了动漫制作活动作活动,小明设计了点做圆周运动的一个小明设计了点做圆周运动的一个雏型雏型.如图所示如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点甲、乙两点分别从直径的两端点A,BA,B以顺时以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周
15、运动针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程甲运动的路程l(cm)(cm)与时间与时间t(s)t(s)满足关系满足关系:l=t=t2 2+t(t0),+t(t0),乙以乙以4cm/s4cm/s的速度匀速运动的速度匀速运动,半圆的长度为半圆的长度为21cm.21cm.1232(1)(1)甲运动甲运动4s4s后的路程是多少后的路程是多少?(2)(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间它们运动了多少时间?(3)(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间它们运动了多少时间?【自主解答自主解答】(1)(1)当当
16、t=4t=4时时,l=4 42 2+4=14(cm).4=14(cm).答答:甲运动甲运动4s4s后的路程是后的路程是14cm.14cm.(2)(2)设它们运动了设它们运动了msms后第一次相遇后第一次相遇,根据题意根据题意,得得:+4m=21,+4m=21,解得解得m m1 1=3,m=3,m2 2=-14(=-14(不合题意不合题意,舍去舍去).).答答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了它们运动了3s.3s.1232213(mm)22(3)(3)设它们运动了设它们运动了nsns后第二次相遇后第二次相遇,根据题意根据题意,得得:+4n=21+4n=21
17、3,3,解得解得n n1 1=7,n=7,n2 2=-18(=-18(不合题意不合题意,舍去舍去).).答答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了它们运动了7s.7s.213(nn)22【主题升华主题升华】一元二次方程解应用题的六个步骤一元二次方程解应用题的六个步骤1.1.审审审清题意审清题意,找出等量关系找出等量关系.2.2.设设直接设未知数或间接设未知数直接设未知数或间接设未知数.3.3.列列根据等量关系列出一元二次方程根据等量关系列出一元二次方程.4.4.解解解方程解方程,得出未知数的值得出未知数的值.5.5.验验既要检验是否是所列方程的解既要检验是否
18、是所列方程的解,又要检验是否符合实又要检验是否符合实际情况际情况.6.6.答答完整地写出答案完整地写出答案,注意单位注意单位.1.1.从一块正方形的木板上锯掉从一块正方形的木板上锯掉2m2m宽的长方形木条宽的长方形木条,剩下的面积剩下的面积是是48m48m2 2,则原来这块木板的面积是则原来这块木板的面积是()A.100 mA.100 m2 2B.64 mB.64 m2 2C.121 mC.121 m2 2D.144 mD.144 m2 2【解析解析】选选B.B.设正方形原边长是设正方形原边长是x,x,根据题意可得根据题意可得:(x-2)x=48,:(x-2)x=48,解得解得x x1 1=8
19、,x=8,x2 2=-6(=-6(不合题意不合题意,舍去舍去),),所以原边长是所以原边长是8,8,面积是面积是64m64m2 2.2.2.我国政府为解决老百姓看病难问题我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格决定下调药品的价格.某某种药经过两次降价种药经过两次降价,由每盒由每盒6060元调至元元调至元,则每次降价的百分率为则每次降价的百分率为.【解析解析】设每次降价的百分率为设每次降价的百分率为x,x,则根据题意则根据题意,得得60(1-60(1-x)x)2 2=48.6,=48.6,解得解得x x1 1=1.9(=1.9(不合题意不合题意,舍去舍去),x),x2 2=0.1=10
20、%.=0.1=10%.答案答案:10%10%3.3.为响应为响应“美丽广西清洁乡村美丽广西清洁乡村”的号召的号召,某校开展某校开展“美丽广西美丽广西清洁校园清洁校园”的活动的活动,该校经过精心设计该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积计算出需要绿化的面积为为498m498m2 2,绿化绿化150m150m2 2后后,为了更快地完成该项绿化工作为了更快地完成该项绿化工作,将每天的将每天的工作量提高为原来的倍工作量提高为原来的倍.结果一共用结果一共用2020天完成了该项绿化工作天完成了该项绿化工作.(1)(1)该项绿化工作原计划每天完成多少该项绿化工作原计划每天完成多少m m2 2?(2)(2)在
21、绿化工作中有一块面积为在绿化工作中有一块面积为170m170m2 2的矩形场地的矩形场地,矩形的长比矩形的长比宽的宽的2 2倍少倍少3m,3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?【解析解析】(1)(1)设该项绿化工作原计划每天完成设该项绿化工作原计划每天完成xmxm2 2,则提高工作则提高工作量后每天完成量后每天完成2 2,根据题意根据题意,得得 =20,=20,解得解得x=22.x=22.经检验经检验,x=22,x=22是原方程的根是原方程的根.答答:该项绿化工作原计划每天完成该项绿化工作原计划每天完成22m22m2 2.(2)(2)设矩形宽为设矩形宽为ym,ym,则长为则长为(2y-3)m,(2y-3)m,根据题意根据题意,得得y(2y-3)=170,y(2y-3)=170,解得解得y=10y=10或或y=-8.5(y=-8.5(不合题意不合题意,舍去舍去).).2y-3=17.2y-3=17.答答:这块矩形场地的长为这块矩形场地的长为17m,17m,宽为宽为10m.10m.150 498 150 x1.2x
