1、高中高中数学数学联赛联赛讲义讲义 1 2020.7.8 一、填空题 1. 集合 3333 2222 1 log 3log 6log 12log 24 * 6 |2,AxxxN ， 则集合A中的元素个数为 _. 2. 计算 24 sin6sin8sin_ 141414 I 3. 设数列 01 ,., n a aa满足 1 0 0 2021 2021,1 n nk k aaan n ，则 2021 0 2_ k k k a . 4. 设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F P为椭圆上不与左右顶点重合 的任意一点，点, I G分别为 12 PFF的内心、重心，
2、当IG恒与x轴垂直时，椭圆的离心率 是_. 5. 在四面体ABCD中，60BACCADDAB ，4ABAC，6AD ， 设P 是BCD的外心，若APxAByACzAD，则实数组, ,_x y z 6. 设, ,a b c是三次方程 32 3570xxx的根，三次多项式P满足 ,P abc P bac， P cab，16P abc ，则 0_P. 7. 有_个虚部为正的复数z，使得 2 1f zziz的虚部和实部都是绝对值不超过 10 的整数. 8. 设, , ,a b c d是正实数， 且满足abcd， 2 2222 3 abcdabcd ， 则 ac bd 的最大值为_. 二、解答题 9.
3、设, , ,a b c d是非零实数，函数:fRR，且 cos2sin5cos8f xabxcxdx. 已知存在实数t，使得 4f ta. 证明：存在实数s，使得 0f s . 10. 设数列 , nnn abc满足 000 1,0,0abc，并且 1 1 1 1 1 1 , , . n nn n nn n nn c aa n a bb n b cc n 证明： 12 3 33 n nn a n . 11. 设,A B分别为椭圆 22 22 1 xy ab 和双曲线 22 22 1 xy ab 的公共左、右顶点，0ab是 给定的正常数，,P Q分别为椭圆上不同于,A B的动点，且满足 APBP
4、AQBQ ,1R. 设直线,AP BP AQ BQ的斜率为 1234 ,k k k k， 1 F和 2 F分别为椭圆和双 曲线的右焦点，若 21 / /PFQF，求 4444 1234 kkkk的值. 加试加试 一、 如图所示， 1 O与 2 O外切于点T，PQ为 1 O的弦，,PT QT分别交 2 O于点,R S， 分别过,P Q作 1 O的切线依次交 2 O于, ,A B D C， 直线,RD SA分别交PQ于,E F.求证： 2BACEAF . 二、设3k 是正整数，2! k n ，证明： n至少有一个大于 1 2k的素因子.其中 n 为n的所有正约数之和. 三、设 i xR，1,2,.,in，0,1,2,., i pin且 12 1 n ppp.定义 11 k nn k kiiii ii Sp xp x .证明： 2 22221 1 1 21 mmm SSS mm . 四、在1 1000的板上进行一种游戏，起初板旁放有n个筹码，游戏由两人轮流进行，第一 个游戏者在板上或板旁选择至多 17 个筹码，放入板上没占据的空格内，第二个游戏者从板 上取下任意多个占据连续格内的筹码放至板旁。 若第一个游戏者能将所有的n个筹码全放在 板上， 且占据连续的格子， 则他获胜。 试问， 使第一个游戏者必能获胜的n的最大值是多少？ 并说明理由
