1、 专题专题 5 新定义问题新定义问题 例题精讲例题精讲 例例 1.割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它 的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合 体而无所失矣”刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率请你也用这个方法 求出二次函数 y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 174 【答案】 A 【解析】【解答】解：如图，设抛物线与坐标轴的交点为 A、B，则有： A（4，0），B（0，4）； 作直线 lAB，易求得直线 AB：y
2、=x+4， 所以设直线 l：y=x+h，当直线 l 与抛物线只有一个交点（相切）时，有： x+h= （x4）2 ， 整理得： x2x+4h=0， =14 （4h）=0，即 h=3； 所以直线 l：y=x+3； 设直线 l 与坐标轴的交点为 C、D，则 C（3，0）、D（0，3）， 因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于 S OCD小于 S OABS OCD= 33=4.5 S OAB= 44=8， 故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在 4.5S8 的范围内，选项中符合的只有 A， 故选 A 例例 2.定义一种对正整数 n 的“F”运算： 当 n 为奇数时，结果为 3n+5； 当 n
3、 为偶数时，结果为 （其中 k 是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行 例如，取 n=26，那么当 n=26 时，第 2016 次“F 运算”的结果是_ 【答案】 62 【解析】【解答】解：根据题意，得 当 n=26 时，第 1 次的计算结果是 =13， 第 2 次的计算结果是 133+5=44， 第 3 次的计算结果是 =11， 第 4 次的计算结果是 113+5=38， 第 5 次的计算结果是 =19， 第 6 次的计算结果是 193+5=62， 第 7 次的计算结果是 =31， 第 8 次的计算结果是 313+5=98， 第 9 次的计算结果是 =49， 第 10 次的计算结果是 49
4、3+5=152， 第 11 次的计算结果是 =19，以下每 6 次运算一循环， （20164）6=3352， 第 2016 次“F 运算”的结果与第 6 次的计算结果相同，为 62， 故答案为：62 例例 3.观察下列运算过程：S=1+3+32+33+32017+32018 ， 3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ， 得 2S=320191，S= 运用上面计算方法计算：1+5+52+53+52018=_ 【答案】 【解析】【解答】设 S=1+5+52+53+52018 ， 则 5S=5+52+53+54+52019， 得：4S=520191，所以 S= ， 故答案为： 例例
5、4.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求 积公式， 即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S= 现 已知 ABC 的三边长分别为 1，2， ，则 ABC 的面积为_ 【答案】1 【解析】【解答】解：S= ， ABC 的三边长分别为 1，2， ，则 ABC 的面积为： S= =1， 故答案为：1 例例 5.设双曲线 与直线 交于 ， 两点（点 在第三象限），将双曲线在第一象限 的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，将双曲线在第三象限的一支沿射线 的方向平移，使 其经过点 ，平移后的两条曲线相交于点 ， 两点，此时我称平移
6、后的两条曲线所围部分（如图中阴 影部分） 为双曲线的“眸”， 为双曲线的“眸径”当双曲线 的眸径为 6 时， 的值为_. 【答案】 【解析】【解答】解：双曲线是关于原点成中心对称， 点 P、Q 关于原点对称和直线 AB 对称 四边形 PAQB 是菱形 PQ=6 PO=3 根据题意可得出 APB 是等边三角形 在 Rt POB 中，OB=tan30PO= 3= 设点 B 的坐标为（x,x） 2x2=3 x2= =k 故答案为： 习题精炼习题精炼 一、单选题一、单选题 1.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换： f（x，y）=（y，x）如 f（2，3）=（3，2）；
7、 g（x，y）=（x，y），如 g（2，3）=（2，3） 按照以上变换有：f（g（2，3）=f（2，3）=（3，2），那么 g（f（6，7）等于（ ） A. （7，6） B. （7，6） C. （7，6） D. （7，6） 2.定义符号 mina，b的含义为：当 ab 时 mina，b=b；当 ab 时 mina，b=a如：min1，3=3， min4，2=4则 minx2+1，x的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 x+ （x 0）的最小值是 2”其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中设矩
8、形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形 的周长是 2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有 x= （00），解得 x=1，这时矩形的周长 2（x+ ） =4 最小，因此 x+ （x0）的最小值是 2模仿张华的推导，你求得式子 （x0）的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. 6 D. 10 4.如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能 作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2， 5.在求 1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时， 小林发现： 从第二个加数起
9、每一个加数都是前一个加数的 6 倍， 于是她设： S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 然后在式的两边都乘以 6，得： 6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610 得 6SS=6101，即 5S=6101，所以 S= ，得出答案后，爱动脑筋的小林想： 如果把“6”换成字母“a”（a0 且 a1），能否求出 1+a+a2+a3+a4+a2014的值？你的答案是（ ） A. B. C. D. a20141 6.阅读理解：如图 1，在平面内选一定点 O，引一条有方向的射线 Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任 一点 M 的位置可由MOx 的度数 与 OM
10、 的长度 m 确定，有序数对（，m）称为 M 点的“极坐标”，这样 建立的坐标系称为“极坐标系” 应用：在图 2 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正六边形的顶点 C 的 极坐标应记为（ ） A. （60，4） B. （45，4） C. （60，2 ） D. （50，2 ） 7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长 为 b，若，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C
11、. 5 D. 6 8.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AD=CD，AB=CB，詹姆斯 在探究筝形的性质时，得到如下结论： ACBD；AO=CO= AC； ABDCBD， 其中正确的结论有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 9.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如 796 就是一个“中高数”若 十位上数字为 7，则从 3、4、5、6、8、9 中任选两数，与 7 组成“中高数”的概率是（ ） A. B. C. D. 10.对于两个不相等的实数 a、b ， 我们规定符号 Maxa ， b表示
12、a、b 中的较大值，如：Max2，4=4， 按照这个规定，方程 Maxx，x = 的解为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1+ 或 1 D. 1+ 或1 11.设 a，b 是实数，定义的一种运算如下：ab=（a+b）2（ab）2 ， 则下列结论： 若 ab=0，则 a=0 或 b=0 a（b+c）=ab+ac 不存在实数 a，b，满足 ab=a2+5b2 设 a，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 a=b 时，ab 最大 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 12.宽与长的比是 （约 0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协 调和匀称的美感我们可
13、以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD、BC 的中点 E、F，连 接 EF：以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GHAD，交 AD 的延长线于点 H，则 图中下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 ABFE B. 矩形 EFCD C. 矩形 EFGH D. 矩形 DCGH 13.对于实数 a，b，定义符号 mina，b，其意义为：当 ab 时，mina，b=b；当 ab 时，mina，b=a例 如：min=2，1=1，若关于 x 的函数 y=min2x1，x+3，则该函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 14.已知点 A
14、在函数（x0）的图象上，点 B 在直线（k 为常数，且 k 0）上，若 A，B 两点关于原点对称，则称点 A，B 为函数 y1 ， y2 图象上的一对“友好点”请问这两个函数图象上的“友好 点”对数的情况为（ ） A. 只有 1 对或 2 对 B. 只有 1 对 C. 只有 2 对 D. 只有 2 对或 3 对 15.在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在 44 的正方形网格图形中（如图 1），从点 A 经过一 次跳马变换可以到达点 B，C，D，E 等处现有 2020 的正方形网格图形（如图 2）
15、，则从该正方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 16.定义x表示不超过实数 x 的最大整数，如1.8=1，1.4=2，3=3函数 y=x的图象如图所示， 则方程x= x2的解为（ ）#N A. 0 或 B. 0 或 2 C. 1 或 D. 或 二、填空题二、填空题 17.对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为 （x） 即当 n 为非负整数时， 若 n xn+ ， 则 （x） =n 如 （0.46）=0，（3.67）=4 给出下列关于（x）的结论： （1.493）=1；（2x）=2（x）；若（ ）=4
16、，则实数 x 的取值范围是 9x11；当 x0，m 为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有_（填 写所有正确的序号） 18.若 x 是不等于 1 的实数，我们把 称为 x 的差倒数，如 2 的差倒数是 =1，1 的差倒数为 ，现已知 x1= ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数，x4是 x3的差倒数，依此类推， 则 x2017=_ 19.在 ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B），过点 P 的直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC 相似， 我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线，简记为 P（l
17、x）（x 为自然数） （1） 如图， A=90， B=C， 当 BP=2PA 时， P （l1） 、 P （l2） 都是过点 P 的 ABC 的相似线 （其中 l1BC， l2AC），此外，还有_条； （2）如图，C=90，B=30，当=_时，P（lx）截得的三角形面积为 ABC 面积的 20.规定：x表示不大于 x 的最大整数，（x）表示不小于 x 的最小整数，x）表示最接近 x 的整数（xn+0.5， n 为整数），例如：2.3=2，（2.3）=3，2.3）=2则下列说法正确的是_（写出所有正确说法的 序号） 当 x=1.7 时，x+（x）+x）=6； 当 x=2.1 时，x+（x）+x）
18、=7； 方程 4x+3（x）+x）=11 的解为 1x1.5； 当1x1 时，函数 y=x+（x）+x 的图象与正比例函数 y=4x 的图象有两个交点 21.阅读理解： 如图 1， O 与直线 a、 b 都相切， 不论O 如何转动， 直线 a、 b 之间的距离始终保持不变 （等 于O 的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图 2 是利用圆的这一特性的例子，将等直径 的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的 方法将巨石推到金字塔顶的 拓展应用：如图 3 所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图 4，夹在平行线 c，
19、d 之间 的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线 c，d 之间的距离等于 2cm，则莱洛三角形 的周长为_cm 22.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形， 如果其中一个是等腰三角形， 另外一个三角形和原三角形相似， 那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线” 如图， 线段 CD 是 ABC 的“和谐分割线”， ACD 为等腰三角形 CBD 和 ABC 相似，A =46，则 ACB 的度数为_ 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 C 【解析】【解答】解：f（6，7）=（7，6）， g（f（6，7）=g（7，6）=（7，6） 故选
20、C 2.【答案】 A 【解析】【解答】解：在同一坐标系 xOy 中，画出函数二次函数 y=x2+1 与正比例函数 y=x 的图象，如 图所示设它们交于点 A、B 令x2+1=x，即 x2x1=0，解得：x= 或 ， A（ ， ），B（ ， ） 观察图象可知： 当 x 时，minx2+1，x=x2+1，函数值随 x 的增大而增大，其最大值为 ； 当 x 时，minx2+1，x=x，函数值随 x 的增大而减小，其最大值为 ； 当 x 时，minx2+1，x=x2+1，函数值随 x 的增大而减小，最大值为 综上所示，minx2+1，x的最大值是 故选：A 3.【答案】C 【解析】【解答】解：x0，
21、在原式中分母分子同除以 x， 即 =x+ ， 在面积是 9 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ， 矩形的周长是 2（x+ ）； 当矩形成为正方形时，就有 x= ，（x0）， 解得 x=3， 这时矩形的周长 2（x+ ）=12 最小， 因此 x+ （x0）的最小值是 6 故答案为：C 4.【答案】D 【解析】【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； B、12+12=（ ）2 ， 是等腰 直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是 = ，可知是顶角 120，底角 30的等腰三角形，故选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是 90，60，30的直角三角形，其中 903
22、0=3，符合“智慧三角形”的 定义，故选项正确 故选：D 5.【答案】B 【解析】【解答】解：设 S=1+a+a2+a3+a4+a2014 ， 则 aS=a+a2+a3+a4+a2014+a2015 ， ， 得：（a1）S=a20151， S= ， 即 1+a+a2+a3+a4+a2014= . 故答案为：B 6.【答案】 A 【解析】【解答】解：如图，设正六边形的中心为 D，连接 AD， ADO=3606=60，OD=AD， AOD 是等边三角形， OD=OA=2，AOD=60， OC=2OD=22=4， 正六边形的顶点 C 的极坐标应记为（60，4） 故选：A 7.【答案】 C 【解析】【
23、解答】如图所示， ， =21，大正方形的面积为 13，2ab=21 13=8，小正方形的面积为 138=5故答案为：C 8.【答案】 D 【解析】【解答】解：在 ABD 与 CBD 中， ， ABDCBD（SSS）， 故正确； ADB=CDB， 在 AOD 与 COD 中， ， AODCOD（SAS）， AOD=COD=90，AO=OC， ACDB， 故正确； 故选 D 9.【答案】 C 【解析】【解答】解：列表得： 9 379 479 579 679 879 8 378 478 578 678 978 6 376 476 576 876 976 5 375 475 675 875 975 4
24、 374 574 674 874 974 3 473 573 673 873 973 3 4 5 6 8 9 共有 30 种等可能的结果，与 7 组成“中高数”的有 12 种情况， 与 7 组成“中高数”的概率是：= 故选 C 10.【答案】 D 【解析】【分析】根据 x 与x 的大小关系，取 x 与x 中的最大值化简所求方程，求出解即可 【解答】当 xx ， 即 x0 时，所求方程变形得：x= ， 去分母得：x2+2x+1=0，即 x=1； 当 xx ， 即 x0 时，所求方程变形得：x= ，即 x22x=1， 解得：x=1+ 或 x=1 （舍去）， 经检验 x=1 与 x=1+ 都为分式方
25、程的解 故选：D 11.【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得：ab=（a+b）2（ab）2 （a+b）2（ab）2=0， 整理得：（a+b+ab）（a+ba+b）=0，即 4ab=0， 解得：a=0 或 b=0，正确； a（b+c）=（a+b+c）2（abc）2=4ab+4ac ab+ac=（a+b）2（ab）2+（a+c）2（ac）2=4ab+4ac， a（b+c）=ab+ac 正确； ab=a2+5b2 ， ab=（a+b）2（ab）2 ， 令 a2+5b2=（a+b）2（ab）2 ， 解得，a=0，b=0，故错误； ab=（a+b）2（ab）2=4ab， （ab）20，则 a22a
26、b+b20，即 a2+b22ab， a2+b2+2ab4ab， 4ab 的最大值是 a2+b2+2ab，此时 a2+b2+2ab=4ab， 解得，a=b， ab 最大时，a=b，故正确， 故选 C 12.【答案】D 【解析】【解答】解：设正方形的边长为 2，则 CD=2，CF=1 在直角三角形 DCF 中，DF= = FG= CG= 1 = 矩形 DCGH 为黄金矩形 故选 D 13.【答案】 D 【解析】【解答】解：由题意得： ，解得： ， 当 2x1x+3 时，x ， 当 x 时，y=min2x1，x+3=x+3， 由图象可知：此时该函数的最大值为 ； 当 2x1x+3 时，x ， 当 x
27、 时，y=min2x1，x+3=2x1， 由图象可知：此时该函数的最大值为 ； 综上所述，y=min2x1，x+3的最大值是当 x= 所对应的 y 的值， 如图所示，当 x= 时，y= ， 故答案为：D 14.【答案】 A 【解析】【解答】解：设 A（a,）,根据题意点 A 关于坐标原点对称的点 B（-a, ）在直线 y 2 = k x + 1 + k 上， =-ak+1+k,整理得：ka2-（k+1）a+1=0 ， 即（a-1）（ka-1）=0， a-1=0 或 ka-1=0， 则 a=1 或 ka-1=0， 若 k=0，则 a=1，此时方程只有 1 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只
28、有 1 对； 若 k0，则 a= ， 此时方程有 2 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有 2 对， 综上所述，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为 1 对或 2 对， 故选：A 15.【答案】 B 【解析】【解答】解：如图 1，连接 AC，CF，则 AF=3 ， 两次变换相当于向右移动 3 格，向上移动 3 格， 又MN=20 ， 20 3 = ，（不是整数） 按 ACF 的方向连续变换 10 次后，相当于向右移动了 1023=15 格，向上移动了 1023=15 格， 此时 M 位于如图所示的 55 的正方形网格的点 G 处，再按如图所示的方式变换 4 次即可到达点 N 处， 从该正
29、方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是 14 次， 故选：B 16.【答案】 A 【解析】【解答】解：当 1x2 时， x2=1，解得 x1= ，x2= ； 当 x=0， x2=0，x=0； 当1x0 时， x2=1，方程没有实数解； 当2x1 时， x2=1，方程没有实数解； 所以方程x= x2的解为 0 或 二、填空题 17.【答案】 【解析】【解答】解：（1.493）=1，正确； （2x）2（x），例如当 x=0.3 时，（2x）=1，2（x）=0，故错误； 若（ ）=4，则 4 x14+ ，解得：9x11，故正确； m 为整数，故（m+2013x）
30、=m+（2013x），故正确； （x+y）（x）+（y），例如 x=0.3，y=0.4 时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故错误； 综上可得正确 故答案为： 18.【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得， x1= ， x2= ， x3= ， x4= ， 20173=6721， x2017= ， 故答案为： 19.【答案】 1 ； 或 或 【解析】【解答】（1）存在另外 1 条相似线 如图 1 所示，过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQABC； 故答案为：1； （2）设 P（lx）截得的三角形面积为 S，S= S ABC ， 则相似比为 1：2 如图 2 所示，共有 4
31、条相似线： 第 1 条 l1 ， 此时 P 为斜边 AB 中点，l1AC，= ； 第 2 条 l2 ， 此时 P 为斜边 AB 中点，l2BC，= ； 第 3 条 l3 ， 此时 BP 与 BC 为对应边，且= ， =； 第 4 条 l4 ， 此时 AP 与 AC 为对应边，且= ， = ， = 故答案为： 或 或 20.【答案】 【解析】【解答】解：当 x=1.7 时， x+（x）+x） =1.7+（1.7）+1.7）=1+2+2=5，故错误；当 x=2.1 时， x+（x）+x） =2.1+（2.1）+2.1） =（3）+（2）+（2）=7，故正确；当 1x1.5 时， 4x+3（x）+x
32、） =41+32+1 =4+6+1 =11，故正确；1x1 时， 当1x0.5 时，y=x+（x）+x=1+0+x=x1， 当0.5x0 时，y=x+（x）+x=1+0+x=x1， 当 x=0 时，y=x+（x）+x=0+0+0=0， 当 0x0.5 时，y=x+（x）+x=0+1+x=x+1， 当 0.5x1 时，y=x+（x）+x=0+1+x=x+1， y=4x，则 x1=4x 时，得 x= ；x+1=4x 时，得 x= ；当 x=0 时，y=4x=0， 当1x1 时，函数 y=x+（x）+x 的图象与正比例函数 y=4x 的图象有三个交点，故错误， 故答案为： 21.【答案】2 【解析】【解答】解：如图 3，由题意知 AB=BC=AC=2cm， BAC=ABC=ACB=60， 在以点 C 为圆心、2 为半径的圆上， 的长为 = ， 则莱洛三角形的周长为 3=2， 故答案为：2 22.【答案】113或 92. 【解析】【解答】BCDBAC， BCD=A=46， ACD 为等腰三角形，ADCBCD， ADCA， ACCD， 当 AC=AD 时，ACD=ADC= （180-46）=67， ACB=67+46=113. 当 DA=DC 时，ACD=A=46，
